【数学】2021届一轮复习人教版（理）第10章第9讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布作业

【数学】2021届一轮复习人教版（理）第10章第9讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布作业

对应学生用书[练案78理]‎ 第九讲　离散型随机变量的均值与方差、正态分布(理)‎ A组基础巩固 一、选择题 ‎1．已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为(　B　)‎ A．n＝4，p＝0.6　 B．n＝6，p＝0.4‎ C．n＝8，p＝0.3　 D．n＝24，p＝0.1‎ ‎[解析]　由二项分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，解得n＝6，p＝0.4.故选B．‎ ‎2．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数分别为φ1(x)和φ2(x)，其图象如图所示，则有(　A　)‎ A．μ1<μ2，σ1<σ2　 B．μ1<μ2，σ1>σ2‎ C．μ1>μ2，σ1<σ2　 D．μ1>μ2，σ1>σ2‎ ‎[解析]　f(x)＝e中x＝μ是对称轴，故μ1<μ2；σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小曲线越“高瘦”，故σ1<σ2.故选A．‎ ‎3．(2020·广、深、珠三校联考)已知某离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P m 则X的数学期望E(X)＝(　B　)‎ A．　 B．1　‎ C．　 D．2‎ ‎[解析]　m＝1－－－＝，‎ ‎∴E(X)＝1×＋2×＋3×＝1.故选B．‎ ‎4．(2019·河北唐山一模)随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ ‎<6)＝0.6，则μ＝(　C　)‎ A．6　 B．5　‎ C．4　 D．3‎ ‎[解析]　由题意可知P(ξ≥6)＝1－P(ξ<2)－P(2<ξ<6)＝0.2，‎ ‎∴P(ξ≥6)＝P(ξ<2)，∴μ＝＝4.选C．‎ ‎5．(2019·广东广州模拟)从某班6名学生(其中男生4人，女生2人)中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选3人中女生人数为ξ，则数学期望E(ξ)＝(　B　)‎ A．　 B．1　‎ C．　 D．2‎ ‎[解析]　因为ξ＝0,1,2，‎ 所以P(ξ＝0)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝，‎ 因此E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1，选B．‎ ‎6．(2019·山西孝义摸底)一个摊主在一旅游景点设摊，游客向摊主支付2元进行1次游戏．游戏规则：在一个不透明的布袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球，游客从布袋中随机摸出2个小球，若摸出的小球同色，则游客获得3元奖励；若异色，则游客获得1元奖励．则摊主从每次游戏中获得的利润(单位：元)的期望值是(　A　)‎ A．0.2　 B．0.3　‎ C．0.4　 D．0.5‎ ‎[解析]　摊主从每次游戏中获得的利润(单位：元)的期望值是E(X)＝2－(3×＋1×)＝0.2.‎ ‎7．(2020·甘肃兰州一中月考)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝(　B　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　由题意知X～B(5，)，‎ ‎∴＝3，解得m＝2，‎ ‎∴X～B(5，)，∴D(X)＝5××＝.‎ 二、填空题 ‎8．(2019·太原五中统考)袋中有大小、质地均相同的4个红球与2个白球．若从中有放回地依次取出一个球，记6次取球中取出红球的次数为ξ，则ξ的期望E(ξ)＝4 .‎ ‎[解析]　依题意得，ξ的可能取值分别是0,1,2,3,4,5,6，且每次取球取出红球的概率均是＝，故ξ～B(6，)，因此E(ξ)＝6×＝4.‎ ‎9．(2019·甘肃民乐模拟)若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4.设ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≥3)＝0.158 7，则σ＝2 .‎ ‎[解析]　∵P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，‎ ‎∴P(ξ≥μ＋σ)＝×(1－0.682 6)＝0.158 7，‎ ‎∵ξ～N(1，σ2)，P(ξ≥1＋σ)＝0.158 7＝P(ξ≥3)，‎ ‎∴1＋σ＝3，则σ＝2.‎ 三、解答题 ‎10．(2020·陕西汉中质检)某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男生人数)，如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为；‎ ‎(1)求该小组中女生的人数；‎ ‎(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎[解析]　(1)设该小组中有n个女生，‎ 根据题意，得＝，‎ 解得n＝6或n＝4(舍去)，‎ ‎∴该小组中有6个女生；‎ ‎(2)由题意，ξ取值为0,1,2,3；‎ P(ξ＝0)＝××＝，‎ P(ξ＝1)＝C×××＋()2×＝，‎ P(ξ＝2)＝C×××＋()2×＝＝，‎ P(ξ＝3)＝()2×＝＝；‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎11．(2019·辽宁省大连市模拟)某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布N(500,52)(单位：g)．‎ ‎(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于‎485 g的概率约为多少？‎ ‎(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于‎485 g，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由．‎ 附：X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 6，‎ P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 4，‎ P(p－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 4.‎ ‎[解析]　(1)设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为X g，由题意可知X～N(500,52)．‎ 由于485＝500－3×5，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知 P(X<485)＝(1－P(500－3×5≤X≤500＋3×5)≈×0.002 6＝0.001 3.‎ ‎(2)检测员的判断是合理的．‎ 因为如果生产线不出现异常的话，由(1)可知，随机抽取两包检查，质量都小于‎485 g的概率约为0.001 3×0.001 3＝1.69×10－6，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的．‎ ‎12．(2020·四省名校联考)2019女排世界杯于‎2019年9月14日到‎9月29日举行，中国女排以十一胜卫冕女排世界杯冠军四人进入最佳阵容，女排精神，已经是一种文化．为了了解某市居民对排球知识的了解情况．某机构随机抽取了100人参与排球知识问卷调查，将得分情况整理后作出的直方图如下：‎ ‎(1)求图中实数a的值，并估算平均得分(每组数据以区间的中点值为代表)；‎ ‎(2)得分在90分以上的称为“铁杆球迷”，以样本频率估计总体概率，从该市居民中随机抽取4人，记这四人中“铁杆球迷”的人数为X，求X的分布列及数学期望．‎ ‎[解析]　(1)因为‎10a＝1－0.05－0.1－0.2－0.25－0.1＝0.3，‎ 所以a＝0.03，‎ 平均得分为45×0.05＋55×0.1＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.1＝74.‎ ‎(2)以样本频率估计总体概率，则从该市居民中任意抽取一人，是“铁杆球迷”的概率为，‎ 则X～B(4，)，‎ 所以P(X＝k)＝C()k()4－k，‎ k＝0,1,2,3,4，‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.656 1‎ ‎0.291 6‎ ‎0.048 6‎ ‎0.003 6‎ ‎0.000 1‎ E(X)＝4×＝.‎ B组能力提升 ‎1．(2019·嘉兴模拟)甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后通过的人数X的数学期望是(　A　)‎ A．　 B．　‎ C．1　 D． ‎[解析]　显然X～B(2，)，∴E(X)＝2×＝.故选A．‎ ‎2．(2020·山西大学附中诊断)已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(01.75，则p的取值范围为(　A　)‎ A．(0，)　 B．(0，)‎ C．(，1)　 D．(，1)‎ ‎[解析]　X的分布列如下：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p p p(1－p)‎ ‎1－2p＋p2‎ ‎　　∴E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－2p＋p2)‎ ‎＝p2－3p＋3>1.75(00，解得0

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