【物理】2018届一轮复习教科版曲线运动运动的合成与分解教案
第四章 曲线运动 万有引力与航天
[全国卷考情分析]
基础考点
常考考点(2013－2016考情统计)
命题概率
常考角度
匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度(Ⅰ)
运动的合成与分解(Ⅱ)
'16乙卷T18(6分)
'15Ⅱ卷T16(6分)
综合命题概率50%
(1)对运动的合成与分解的考查
(2)对平抛运动规律的考查
(3)对圆周运动中角速度、线速度关系及向心力的考查
(4)平抛运动、圆周运动与功能关系的综合考查
(5)天体质量、密度的计算
(6)卫星运动的各物理量间的比较
(7)卫星的发射与变轨问题
离心现象(Ⅰ)
抛体运动(Ⅱ)
'15Ⅰ卷T18(6分)
'14Ⅱ卷T15(6分)
独立命题概率50%
第二宇宙速度和第三宇宙速度(Ⅰ)
匀速圆周运动的向心力(Ⅱ)
'16甲卷T16(6分)
'14Ⅰ卷T20(6分)
'13Ⅱ卷T21(6分)
综合命题概率100%
经典时空观和相对论时空观(Ⅰ)
万有引力定律及其应用(Ⅱ)
'16乙卷T17(6分)
'15Ⅰ卷T21(6分)
'14Ⅰ卷T19(6分)
'14Ⅱ卷T18(6分)
'13Ⅰ卷T20(6分)
'13Ⅱ卷T20(6分)
独立命题概率100%
以上4个考点未曾独立命题
环绕速度(Ⅱ)
'15Ⅱ卷T16(6分)
'13Ⅰ卷T20(6分)
独立命题概率30%
第1节曲线运动__运动的合成与分解
(1)速度发生变化的运动，一定是曲线运动。(×)
(2)做曲线运动的物体加速度一定是变化的。(×)
(3)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化。(×)
(4)曲线运动可能是匀变速运动。(√)
(5)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。(√)
(6)合运动的速度一定比分运动的速度大。(×)
(7)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。(×)
(8)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则。(√)
突破点(一) 物体做曲线运动的条件与轨迹分析
1．运动轨迹的判断
(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动。
(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。
2．合力方向与速率变化的关系
[多角练通]
1.(2017·苏北三市联考)内壁光滑的牛顿管抽成真空，现让牛顿管竖直倒立，同时水平向右匀速移动，则管中羽毛的运动轨迹可能是( )
解析：选C 羽毛在水平方向做匀速运动，在竖直方向做自由落体运动，加速度方向向下，根据合力方向指向轨迹曲线的凹侧可知，羽毛的运动轨迹可能是C。
2．关于曲线运动，下列说法中正确的是( )
A．做曲线运动的物体速度方向必定变化
B．速度变化的运动必定是曲线运动
C．加速度恒定的运动不可能是曲线运动
D．加速度变化的运动必定是曲线运动
解析：选A 做曲线运动的物体速度大小不一定变化，但速度方向必定变化，A正确；速度变化的运动可能是速度方向在变，也可能是速度大小在变，不一定是曲线运动，B错误；加速度恒定的运动可能是匀变速直线运动，也可能是匀变速曲线运动，C错误；加速度变化的运动可能是变速直线运动，也可能是变速曲线运动，D错误。
3.如图所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是( )
A．质点经过C点的速率比D点的大
B．质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°
C．质点经过D点时的加速度比B点的大
D．质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小
解析：选A 质点做匀变速曲线运动，所以加速度不变，C错误；由于在D点速度方向与加速度方向垂直，则在A、B、C点时速度方向与加速度方向的夹角为钝角，B错误；质点由C到D速率减小，所以C点速率比D点大，A正确；质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先减小后增大，D错误。
突破点(二) 运动的合成与分解的应用
1．合运动与分运动的关系
等时性
各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)
等效性
各分运动叠加起来与合运动有相同的效果
独立性
一个物体同时参与几个运动，其中的任何一个分运动都会保持其运动性质不变，并不会受其他分运动的干扰。虽然各分运动互相独立，但是合运动的性质和轨迹由它们共同决定
2．运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。
3．合运动的性质和轨迹的判断
(1)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动。
(2)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。
[典例] (多选)在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t＝0时刻起，由坐标原点O(0,0)开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图像如图甲、乙所示，下列说法中正确的是( )
A．前2 s内物体沿x轴做匀加速直线运动
B．后2 s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向
C．4 s末物体坐标为(4 m,4 m)
D．4 s末物体坐标为(6 m,2 m)
[思路点拨]
(1)判断物体运动性质时要分析物体的加速度特点及加速度与速度方向间的关系。
(2)确定物体在某时刻的坐标时，要沿x轴和y轴分别计算物体的位移。
[解析] 前2 s内物体在y轴方向速度为0，由题图甲知物体沿x轴方向做匀加速直线运动，A正确；后2 s内物体在x轴方向做匀速运动，在y轴方向做初速度为0的匀加速运动，加速度沿y轴方向，合运动是曲线运动，B错误；4 s内物体在x轴方向上的位移是x＝m＝6 m，在y轴方向上的位移为y＝×2×2 m＝2 m，所以4 s末物体坐标为(6 m,2 m)，D正确，C错误。
[答案] AD
[集训冲关]
1．(2017·淄博二模)质量为2 kg的质点在xy平面上运动，x方向的速度—时间图像和y
方向的位移—时间图像分别如图所示，则质点( )
A．初速度为4 m/s
B．所受合外力为4 N
C．做匀变速直线运动
D．初速度的方向与合外力的方向垂直
解析：选B x轴方向初速度为vx＝4 m/s，y轴方向初速度vy＝3 m/s，质点的初速度v0＝＝5 m/s，故A错误；x轴方向的加速度a＝2 m/s2，y轴方向做匀速直线运动，质点所受合力F合＝ma＝4 N，故B正确；x轴方向的合力恒定不变，y轴方向做匀速直线运动，合力为零，则质点的合力恒定不变，做匀变速曲线运动，故C错误；合力沿x轴方向，而初速度方向既不沿x轴方向，也不沿y轴方向，质点初速度的方向与合外力方向不垂直，故D错误，故选B项。
2.(2017·衡阳联考)如图所示，当汽车静止时，车内乘客看到窗外雨滴沿竖直方向OE匀速运动。现从t＝0时汽车由静止开始做甲、乙两种匀加速启动，甲种状态启动后t1时刻，乘客看到雨滴从B处离开车窗，乙种状态启动后t2时刻，乘客看到雨滴从F处离开车窗，F为AB的中点。则t1∶t2为( )
A．2∶1 B．1∶ C．1∶ D．1∶(－1)
解析：选A 雨滴在竖直方向的分运动为匀速直线运动，其速度大小与水平方向的运动无关，故t1∶t2＝∶＝2∶1，选项A正确。
3．(多选)(2017·山东实验中学高三段考)一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)，关于物体的运动，下列说法正确的是( )
A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动
B．物体在y轴方向上做匀加速直线运动
C．物体运动的轨迹是一条直线
D．物体运动的轨迹是一条曲线
解析：选BC 对应位移时间公式x＝v0t＋at2，x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t，可得初速度：v0x＝－4 m/s，v0y＝6 m/s；
加速度：ax＝－4 m/s2，ay＝6 m/s2；
物体在x轴上分运动的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故A错误；物体在y轴方向的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故B正确；题中分运动的初速度和加速度数值完全相同，故合运动的初速度数值和方向也是相同的；合运动的初速度方向与加速度方向相同，故合运动一定是匀加速直线运动；故C正确，D错误。
突破点(三) 小船渡河问题
1．小船渡河问题的分析思路
2．小船渡河的两类问题、三种情景
渡河时间最短
当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河位移最短
如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船
t1，v2＝ B．t2>t1，v2＝
C．t2＝t1，v2 ＝ D．t2＝t1，v2＝
解析：选C 设河宽为d，船自身的速度为v，与河岸上游的夹角为θ，对垂直河岸的分运动，过河时间t＝，则t1＝t2；对合运动，过河时间t＝＝，解得v2＝，C正确。
3.(2017·潍坊统考)如图所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝x(m/s)(x的单位为m)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法正确的是( )
A．小船渡河的轨迹为直线
B．小船在河水中的最大速度是5 m/s
C．小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度
D．小船渡河的时间是160 s
解析：选B 小船在南北方向上做匀速直线运动，在东西方向上先加速，到达河中间后再减速，小船的合运动是曲线运动，A错误；当小船运动到河中间时，东西方向上的分速度最大，此时小船的合速度最大，最大值vm＝5 m/s，B正确；小船在距南岸200 m处的速度等于在距北岸200 m处的速度，C错误；小船的渡河时间t＝＝200 s，D错误。
突破点(四) 绳(杆)端速度分解问题
两物体通过绳(杆)相牵连，当两物体都发生运动时，两物体的速度往往不相等，但因绳(杆)的长度是不变的，因此两物体的速度沿绳(杆)方向的分速度大小是相等的。
[典例] (多选)如图甲所示，有一个沿水平方向做匀速直线运动的半径为R的半圆柱体，半圆柱面上搁着一个只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未达到半圆柱体的最高点之前( )
A．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做匀减速直线运动
B．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做减速直线运动
C．半圆柱体以速度为v向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vtan θ
D．半圆柱体以速度为v向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vsin θ
[模型建立]
以杆与半圆柱体接触点为研究对象，沿接触点的弹力方向即半径方向两物体的速度分量相等。半圆柱体可以简化为长度为R的杆OA，O点代表半圆柱体的运动，A点代表杆AB的运动，如图乙所示。
[解析] O点向右运动，O点的运动使杆AO绕A点逆时针转动的同时，沿杆OA方向向上推动A点；
竖直杆的实际运动(A点的速度)方向竖直向上，使A点绕O点逆时针转动的同时，沿OA方向(弹力方向)与OA杆具有相同的速度。速度分解如图丙所示，对O点，v1＝vsin θ，对于A点，vAcos θ＝v1，解得vA＝vtan θ，O点(半圆柱体)向右匀速运动时，杆向上运动，θ角减小，tan θ减小，vA减小，但杆不做匀减速运动，A错误，B正确；由vA＝vtan θ可知C正确，D错误。
[答案] BC
[应用领悟]
绳(杆)端速度分解思路及常见模型
[集训冲关]
1.(2017·邯郸检测)如图所示，汽车用跨过定滑轮的轻绳提升物块A。汽车匀速向右运动，在物块A到达滑轮之前，关于物块A，下列说法正确的是( )
A．将竖直向上做匀速运动
B．将处于超重状态
C．将处于失重状态
D．将竖直向上先加速后减速
解析：选B 设汽车向右运动的速度为v，绳子与水平方向的夹角为α，物块上升的速度为v′，则vcos α＝v′，汽车匀速向右运动，α减小，v′增大，物块向上加速运动，A、D错误；物块加速度向上，处于超重状态，B正确，C错误。
2．(2017·北京朝阳区二模)如图所示 ，长为L的直棒一端可绕固定轴转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 棒与平台接触点的实际运动即合运动，方向是垂直于棒指向左上方，如图所示，合速度v实＝ωL，沿竖直向上方向上的速度分量等于v，即ωLsin α＝v，所以ω＝。所以A、C、D均错，B正确。
3.(2017·安徽“江淮十校”联考)如图所示，AB杆以恒定角速度绕A点转动，并带动套在水平杆OC上的质量为M的小环运动，运动开始时，AB杆在竖直位置，则小环M的加速度将( )
A．逐渐增大 B．先减小后增大
C．先增大后减小 D．逐渐减小
解析：选A 设经过时间t，∠OAB＝ωt，则AM的长度为，则AB杆上小环M绕A点的线速度v＝ω·。将小环M的速度沿AB杆方向和垂直于AB杆方向分解，垂直于AB杆上分速度等于小环M绕A点的线速度v′，则小环M的速度v′＝＝
，随着时间的延长，小环M的速度的大小不断变大，故A正确，B、C、D错误。
生活中的运动合成问题
(一)骑马射箭
1.(多选)民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则( )
A．运动员放箭处离目标的距离为
B．运动员放箭处离目标的距离为
C．箭射到固定目标的最短时间为
D．箭射到固定目标的最短时间为
解析：选BC 要想以箭在空中飞行的时间最短的情况下击中目标，v2必须垂直于v1，并且v1、v2的合速度方向指向目标，如图所示，故箭射到目标的最短时间为，C对，D错；运动员放箭处离目标的距离为，又x＝v1t＝v1·，故＝ ＝，A错，B对。
(二)下雨打伞
2．雨滴在空中以4 m/s的速度竖直下落，人打伞以3 m/s的速度向西急行，如果希望雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向什么方向？
解析：雨滴相对于人的速度方向即为伞柄的指向。雨滴相对人有向东3 m/s的速度v1，有竖直向下的速度v2＝4 m/s，如图所示，雨滴对人的合速度
v＝＝5 m/s。
tan α＝＝，即α＝37°。
答案：向西倾斜，与竖直方向成37°角
(三)转台投篮
3．趣味投篮比赛中，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，相对平台静止，向平台圆心处的球筐内投篮球。则下图各俯视图中篮球可能被投入球筐(图中箭头指向表示投篮方向)的是( )
解析：选C 当沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度沿球筐方向，球就会被投入球筐。故C正确，A、B、D错误。
(四)风中骑车
4．某人骑自行车以4 m/s的速度向正东方向行驶，天气预报报告当时是正北风，风速为4 m/s，那么，骑车人感觉到的风向和风速为( )
A．西北风 风速为4 m/s
B．西北风 风速为4 m/s
C．东北风 风速为4 m/s
D．东北风 风速为4 m/s
解析：选D 以骑车人为参考系，人向正东方向骑行，感觉风向正西，风速大小为v1＝4 m/s，当时有正北风，人感觉到的风向为正南，风速为v2＝4 m/s，如图所示，可求得人感觉到的风向为东北风，风速v＝4 m/s，D正确。
对点训练：物体做曲线运动的条件与轨迹分析
1．(2017·重庆月考)关于两个运动的合成，下列说法正确的是( )
A．两个直线运动的合运动一定也是直线运动
B．方向不共线的两个匀速直线运动的合运动一定也是匀速直线运动
C．小船渡河的运动中，小船的对地速度一定大于水流速度
D．小船渡河的运动中，水流速度越大，小船渡河所需时间越短
解析：
选B 两个直线运动可以合成为直线运动(匀速直线＋匀速直线)，也可以合成为曲线运动(匀变速直线＋匀速直线)，故选项A错误；两个分运动为匀速直线运动，没有分加速度，合运动就没有加速度，则合运动一定是匀速直线运动，则选项B正确；小船对地的速度是合速度，其大小可以大于水速(分速度)，等于水速，或小于水速，故选项C错误；渡河时间由小船垂直河岸方向的速度决定，由运动的独立性知与水速的大小无关，选项D错误。
2.(多选)一质点在xOy平面内的运动轨迹如图所示，下列判断正确的是( )
A．质点沿x轴方向可能做匀速运动
B．质点沿y轴方向可能做变速运动
C．若质点沿y轴方向始终匀速运动，则沿x轴方向可能先加速后减速
D．若质点沿y轴方向始终匀速运动，则沿x轴方向可能先减速后加速
解析：选BD 质点做曲线运动，合力大致指向轨迹凹侧，即加速度大致指向轨迹凹侧，由题图可知加速度方向指向弧内，不可能沿y轴方向，x轴方向有加速度分量，所以沿x轴方向上，质点不可能做匀速运动，y轴方向可能有加速度分量，故质点沿y轴方向可能做变速运动，A错误，B正确；质点在x轴方向先沿正方向运动，后沿负方向运动，最终在x轴方向上的位移为零，所以质点沿x轴方向不能一直加速，也不能先加速后减速，只能先减速后反向加速，C错误，D正确。
3.(2017·合肥一模)如图所示，在长约1.0 m的一端封闭的玻璃管中注满清水，水中放一个大小适当的圆柱形的红蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧，并迅速竖直倒置，红蜡块就沿玻璃管由管口匀速上升到管底。将此玻璃管倒置安装在小车上，并将小车置于水平导轨上。若小车一端连接细线绕过定滑轮悬挂小物体，小车从A位置由静止开始运动，同时红蜡块沿玻璃管匀速上升。经过一段时间后，小车运动到虚线表示的B位置。按照装置图建立坐标系，在这一过程中红蜡块实际运动的轨迹可能是( )
解析：选C 红蜡块在水平方向上做初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向上做匀速直线运动，其合力方向水平向右，指向轨迹的凹侧，故选项C正确，A、B、D均错误。
对点训练：运动的合成与分解的应用
4．(2017·海南七校联考)帆船船头指向正东以速度v(静水中速度)航行，海面正刮着南风，风速为v，以海岸为参考系，不计阻力。关于帆船的实际航行方向和速度大小，下列说法正确的是( )
A．帆船沿北偏东30°方向航行，速度大小为2v
B．帆船沿东偏北60°方向航行，速度大小为v
C．帆船沿东偏北30°方向航行，速度大小为2v
D．帆船沿东偏南60°方向航行，速度大小为v
解析：选A 由于帆船的船头指向正东，并以相对静水中的速度v航行，南风以v的风速吹来，当以海岸为参考系时，实际速度v实＝ ＝2v，cos α＝＝，α＝30°，即帆船沿北偏东30°方向航行，选项A正确。
5．在一个光滑水平面内建立平面直角坐标系xOy，质量为1 kg 的物体原来静止在坐标原点O(0,0)，t＝0时受到如图所示随时间变化的外力作用，图甲中Fx表示沿x轴方向的外力，图乙中Fy表示沿y轴方向的外力，下列描述正确的是( )
A．0～4 s内物体的运动轨迹是一条直线
B．0～4 s内物体的运动轨迹是一条抛物线
C．前2 s内物体做匀加速直线运动，后2 s内物体做匀加速曲线运动
D．前2 s内物体做匀加速直线运动，后2 s内物体做匀速圆周运动
解析：选C 0～2 s内物体沿x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，2 s时受沿y轴方向的恒力作用，与速度方向垂直，故2～4 s内物体做类平抛运动，C项正确。
6.如图所示，在竖直平面内的xOy坐标系中，Oy竖直向上，Ox水平。设平面内存在沿x轴正方向的恒定风力。一小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出，初速度为v0＝4 m/s，不计空气阻力，到达最高点的位置如图中M点所示，(坐标格为正方形，g取10 m/s2)求：
(1)小球在M点的速度v1；
(2)在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回x轴时的位置N；
(3)小球到达N点的速度v2的大小。
解析：(1)设正方形的边长为s0。
小球竖直方向做竖直上抛运动，v0＝gt1,2s0＝t1
水平方向做匀加速直线运动，3s0＝t1
解得v1＝6 m/s。
(2)由竖直方向运动的对称性可知，小球再经过t1到x轴，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，所以回到x轴时落到x＝12处，位置N的坐标为(12,0)，运动轨迹及N如图。
(3)到N点时竖直分速度大小为v0＝4 m/s，
水平分速度vx＝a水平tN＝2v1＝12 m/s，
故v2＝＝4 m/s。
答案：(1)6 m/s (2)见解析图 (3)4 m/s
对点训练：小船渡河问题
7．(2017·重庆月考)如图所示，某河段两岸平行，越靠近中央水流速度越大。一条小船(可视为质点)沿垂直于河岸的方向航行，它在静水中的速度为v，沿水流方向及垂直于河岸方向建立直角坐标系xOy，则该小船渡河的大致轨迹是( )
解析：选C 沿垂直于河岸方向航行的小船速度不变，但水流速度越靠近中央越大，因此小船过河过程中先具有向下游的加速度，后具有向上游的加速度，结合曲线运动的轨迹特点可知，加速度方向应指向轨迹的凹侧，故只有选项C正确。
8.(2017·雅安月考)如图所示，小船过河时，船头偏向上游与水流方向成α角，船相对于静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸。现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是( )
A．减小α角，增大船速v
B．增大α角，增大船速v
C．减小α角，保持船速v不变
D．增大α角，保持船速v不变
解析：选B 因为合速度方向指向河岸且大小不变，由运动的合成知识可得：vcos β＝v水，α＋β＝180°，而vsin β不变，则当水流速度稍有增大时，可减小β角(即增大α角)，同时增大船速v，选项B正确；减小α角，增大船速v，合速度方向将变化，A错误；保持船速v不变，减小或增大α角，合速度都将变化，C、D错误。
9．(2017·合肥检测)有一条两岸平直、河水均匀流动，流速恒为v的大河，一条小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直，小船在静水中的速度大小为，回程与去程所用时间之比为( )
A．3∶2 B．2∶1
C．3∶1 D．2∶1
解析：选B 设河宽为d，则去程所用的时间t1＝＝；返程时的合速度：v′＝ ＝，回程的时间为：t2＝＝；故回程与去程所用时间之比为t2∶t1＝2∶1，选项B正确。
对点训练：绳(杆)端速度分解问题
10．如图所示，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，则下列v t图像中，最接近物体B的运动情况的是( )
解析：选A 将与物体A相连的绳端速度v分解为沿绳伸长方向的速度v1和垂直于绳方向的速度v2，则物体B的速度vB＝v1＝vsin θ，在t＝0时刻θ＝0°， vB＝0，C项错误；之后随θ增大，sin θ增大，B的速度增大，但开始时θ变化快，速度增加得快，图线的斜率大，随θ增大，速度增加得慢，若绳和杆足够长，则物体B的速度趋近于A的速度，只有A项正确。
11.(2017·石家庄检测)一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B球的速度大小为v2，则( )
A．v2＝v1 B．v2＝2v1
C．v2＝v1 D．v2＝v1
解析：
选C 球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin 30°＝v1，球B此时速度方向与杆成
α＝60°角，因此v21＝v2cos 60°＝v2，沿杆方向两球速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，C项正确。
考点综合训练
12.(2017·烟台模拟)如图所示，物体A、B经无摩擦的定滑轮用细线连在一起，A物体受水平向右的力F的作用，此时B匀速下降，A水平向左运动，可知( )
A．物体A做匀速运动
B．物体A做加速运动
C．物体A所受摩擦力逐渐增大
D．物体A所受摩擦力不变
解析：选B 设系在A上的细线与水平方向夹角为θ，物体B的速度为vB，大小不变，细线的拉力为FT，则物体A的速度vA＝，FfA＝μ(mg－FTsin θ), 因物体B下降，θ增大，故vA增大，物体A做加速运动，A错误，B正确；物体B匀速下降，FT不变，故随θ增大，FfA减小，C、D均错误。
13.(多选)如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M。C点与O点距离为L，现在杆的另一端用力使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓慢转至水平(转过了90°角)，此过程中下列说法正确的是( )
A．重物M做匀速直线运动
B．重物M做匀变速直线运动
C．重物M的最大速度是ωL
D．重物M的速度先增大后减小
解析：选CD 与杆垂直的速度v是C点的实际速度，vT是细绳的速度，即重物M的速度。设vx与v的夹角是θ，则vT＝vcos θ，开始时θ减小，则vT增大；当杆与细绳垂直(θ＝0)时，重物M的速度最大，为vmax＝ωL，然后再减小，C、D正确。
14．河宽60 m，水流速度v1＝6 m/s，小船在静水中的速度v2＝3 m/s，求：
(1)它渡河的最短时间；
(2)它渡河的最短航程。
解析：(1)设小船与岸成θ角开出，如图甲所示。
渡河时间为t＝
当θ＝90°时渡河时间最短，tmin＝＝ s＝20 s。
(2)因为船速小于水速，所以小船一定向下游漂移。如图乙所示，以v1矢量末端为圆心，以v2矢量的大小为半径画弧，从v1矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短。
由图可知，最短航程为
x短＝＝d＝×60 m＝120 m。
答案：(1)20 s (2)120 m
