【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第44讲空间向量及其运算和空间位置关系学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第44讲空间向量及其运算和空间位置关系学案

第44讲　空间向量及其运算和空间位置关系 考试说明 1.了解空间向量的概念, 了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.‎ ‎2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.‎ ‎3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.‎ ‎4.理解直线的方向向量与平面的法向量.‎ ‎5.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系.‎ ‎6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理).‎ 考情分析 考点 考查方向 考例 考查热度 空间向量的线性运算 空间向量的表示与线性运算 ‎☆☆☆‎ 空间向量基本定理 向量共面 ‎☆☆☆‎ 空间向量在空间位置关系上的应用 利用空间向量证明平行与垂直问题 ‎★☆☆‎ ‎【课前双基巩固】‎ 知识聚焦 ‎1.互相平行或重合　同一平面　a=λb　xa+yb+ c　1‎ ‎2.(1)|a||b|cos　(2)a·b=0　(3)a2‎ ‎3.(a1+b1,a2+b2,a3+b3)　(a1-b1,a2-b2,a3-b3)　a1b1+a2b2+a3b‎3　‎a1=λb1,a2=λb2,a3=λb‎3　‎a1b1+a2b2+a3b3=0‎ 对点演练 ‎1.-　[解析 a∥b⇒a= b⇒⇒‎ ‎2.l⊥α　[解析 ∵a=(1,0,2),n=(-2,0,-4),∴n=‎-2a,即a∥n,∴l⊥α.‎ ‎3.　[解析 + (+)=+=.‎ ‎4.- a+b+c　[解析 由图可知,=+=+=+ (-)=c+ (b-a)=- a+b+c.‎ ‎5.④　[解析 若a与b共线,则a,b所在的直线可能平行也可能重合,故①不正确;三个向量a,b,c中任两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故②不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一个向量p才一定能表示为p=xa+yb+ c,故③不正确;据向量运算法则可知④正确.‎ ‎6.-13　[解析 a+b=(10,-5,-2),a-b=(-2,1,-6),∴(a+b)·(a-b)=-13.‎ ‎7.平行　[解析 由题意得,=(-3,-3,3),=(1,1,-1),∴=-3,∴与共线.又AB与CD没有公共点,∴AB∥CD.‎ ‎【课堂考点探究】‎ 例1　[思路点拨 结合平行六面体的结构特征,运用空间向量的加法、减法运算,逐步把所求的向量用向量a,b,c表示,化简即可得出结果.‎ 解:(1)∵P是C1D1的中点,‎ ‎∴ =++=a++=a+c+=a+c+b.‎ ‎(2)∵N是BC的中点,‎ ‎∴=++=-a+b+‎ ‎=-a+b+=-a+b+c.‎ ‎(3)∵M是AA1的中点,‎ ‎∴=+=+=-a+=a+b+c,‎ 又=+=+=+=c+a,‎ ‎∴+ =+=a+b+c.‎ 变式题　(1)　(2)++　[解析 (1)--=- (+)=-=+=.‎ ‎(2)因为== (+),所以=+= (+)+=++.‎ 例2　[思路点拨 (1)证明E,F,G,H四点共面,可转化为证明能表示为与的线性组合;(2)证明BD∥平面EFGH,可转化为证明与平面EFGH内的向量共线,或能表示为平面EFGH内的两条不共线的向量的线性组合.‎ 证明:(1)连接BG,则=+=+ (+)‎ ‎=++=+,‎ 由共面向量定理知,E,F,G,H四点共面.‎ ‎(2)因为=-=-= (-)=,且E,H,B,D四点不共线,所以EH∥BD.‎ 又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH,所以BD∥平面EFGH.‎ 变式题　解:∵= ,= ,‎ ‎∴=++= ++ ‎ ‎= (+)+= (+)+‎ ‎= +=- =- (+)‎ ‎=(1- ) - ,‎ 由共面向量定理知,向量与向量,共面.‎ 例3　[思路点拨 (1)证明AB⊥平面EDC转化为证明向量与平面ECD内的两条不共线的向量的数量积为0,再根据直线与平面垂直的判定定理,得到AB⊥平面EDC;(2)证明EP∥平面BCD,转化为证明被平面BCD内的两条不共线的向量线性表示.‎ 证明:(1)设=a,=b,=c,‎ 则===90°,‎ ‎∴a·b=b·c=c·a=0.‎ 根据向量的线性运算,得=-=c-a.‎ 由E是AB的中点,得= (a+c),‎ ‎∴·=(c-a)· (a+c)= (c2-a2)=0,‎ ‎·=(c-a)·b=c·b-a·b=0,‎ ‎∴⊥,即AB⊥CE,‎ ‎⊥,即AB⊥CD.‎ 又CE∩CD=C,∴AB⊥平面EDC.‎ ‎(2)连接EF,EG,‎ ‎∵E,F,G分别为AB,AD,AC的中点,‎ ‎∴GE∥CB,GE=CB,GF∥CD,GF=CD,‎ 则=c,= b.‎ 由P为FG上任一点,设=λ=λb,‎ ‎∴=-=λb-c=λ-.‎ 又与不共线,根据向量共面的充要条件可知,,共面.‎ ‎∵EP⊄平面BCD,∴EP∥平面BCD.‎ 变式题　解:记=a,=b,=c,‎ 则|a|=|b|=|c|=1,===60°,‎ ‎∴a·b=b·c=c·a=.‎ ‎(1)||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×++=6,‎ ‎∴||=,即AC1的长为.‎ ‎(2)证明:∵=a+b+c,=b-a,‎ ‎∴·=(a+b+c)·(b-a)=a·b+|b|2+b·c-|a|2-a·b-a·c=b·c-a·c=0.‎ ‎∴⊥,∴AC1⊥BD.‎ ‎(3)=b+c-a,=a+b,∴||=,||=,‎ ‎·=(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=1,‎ ‎∴cos<,>==.‎ ‎∴异面直线AC与BD1夹角的余弦值为.‎ ‎【备选理由】空间向量的基本概念和运算是本讲的主要内容,下面的例1就是针对空间向量的线性运算而设置的,例2是共面向量的证明,例3是针对空间向量的坐标运算设置的.‎ ‎1　[配合例1使用 如图,平行六面体ABCD - A1B‎1C1D1中,=a,=b,=c,E为A1D1的中点,F为BC1与B‎1C的交点.‎ ‎(1)用基底{a,b,c}表示下列向量:,,.‎ ‎(2)在图中画出++化简后的向量.‎ 解:(1)=+=+-=a-b+c,‎ ‎=++=-a+b+c,‎ ‎=+=a+ (b+c)=a+b+c.‎ ‎(2)++=+(+)=+=+=.‎ 连接DA1,则即为所求.‎ ‎2　[配合例2使用 正方体ABCD - A1B‎1C1D1中,E,F分别为BB1和A1D1的中点.求证:向量,,是共面向量. ‎ 证明:∵=++=-+= (+)-=-,‎ ‎∴向量,,是共面向量.‎ ‎3　[配合例3使用 如图所示,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,过点E作EF⊥BP交BP于点F.‎ ‎(1)证明:PA∥平面EDB;‎ ‎(2)证明:PB⊥平面EFD.‎ 证明:以D为坐标原点,射线DA,DC,DP分别为x轴、y轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系.设DC=a.‎ ‎(1)连接AC交BD于点G,连接EG.‎ 依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),E.‎ 因为底面ABCD是正方形,‎ 所以G是此正方形的中心,‎ 故点G的坐标为,‎ 所以=(a,0,-a),=,‎ 则=2,故PA∥EG.‎ 而EG⊂平面EDB,PA⊄平面EDB,‎ 所以PA∥平面EDB.‎ ‎(2)依题意得B(a,a,0),所以=(a,a,-a).‎ 又=,‎ 故·=0+-=0, ‎ 所以PB⊥DE.‎ 由题可知EF⊥PB,且EF∩DE=E,‎ 所以PB⊥平面EFD.‎