伊春市2020年中考数学试题及答案

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伊春市2020年中考数学试题及答案

第 1页(共 34页) 伊春市 2020 年中考数学试题及答案 (农垦、森工用) 一、选择题(每题 3 分,满分 30 分) 1.(3 分)下列各运算中,计算正确的是( ) A.a2+2a2=3a4 B.x8﹣x2=x6 C.(x﹣y)2=x2﹣xy+y2 D.(﹣3x2)3=﹣27x6 2.(3 分)下列图标中是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 3.(3 分)如图,由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图,则所需的 小正方体的个数最少是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4.(3 分)一组从小到大排列的数据:x,3,4,4,5(x 为正整数),唯一的众数是 4,则 数据 x 是( ) A.1 B.2 C.0 或 1 D.1 或 2 5.(3 分)已知 2+ 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+m=0 的一个实数根,则实数 m 的值 是( ) A.0 B.1 C.﹣3 D.﹣1 6.(3 分)系统找不到该试题 7.(3 分)已知关于 x 的分式方程 ﹣4= 的解为非正数,则 k 的取值范围是( ) A.k≤﹣12 B.k≥﹣12 C.k>﹣12 D.k<﹣12 8.(3 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,过点 D 作 DH⊥AB 于点 H, 连接 OH,若 OA=6,OH=4,则菱形 ABCD 的面积为( ) 第 2页(共 34页) A.72 B.24 C.48 D.96 9.(3 分)学校计划用 200 元钱购买 A、B 两种奖品,A 种每个 15 元,B 种每个 25 元,在 钱全部用完的情况下,有多少种购买方案( ) A.2 种 B.3 种 C.4 种 D.5 种 10.(3 分)如图,正方形 ABCD 的边长为 a,点 E 在边 AB 上运动(不与点 A,B 重合), ∠DAM=45°,点 F 在射线 AM 上,且 AF= BE,CF 与 AD 相交于点 G,连接 EC、 EF、EG.则下列结论: ① ∠ECF=45°; ② △AEG 的周长为(1+ )a; ③ BE2+DG2=EG2; ④ △EAF 的面积的最大值是 a2; ⑤ 当 BE= a 时,G 是线段 AD 的中点. 其中正确的结论是( ) A. ①②③ B. ②④⑤ C. ①③④ D. ①④⑤二、填空题(每题 3 分,满分 30 分) 11.(3 分)2019 年 1 月 1 日,“学习强国”平台全国上线,截至 2019 年 3 月 17 日,某市党 员“学习强国”客户端注册人数约 1180000,将数据 1180000 用科学记数法表示为 . 12.(3 分)在函数 y= 中,自变量 x 的取值范围是 . 第 3页(共 34页) 13.(3 分)如图,Rt△ABC 和 Rt△EDF 中,BC∥DF,在不添加任何辅助线的情况下,请 你添加一个条件 ,使 Rt△ABC 和 Rt△EDF 全等. 14.(3 分)一个盒子中装有标号为 1,2,3,4,5 的五个小球,这些球除了标号外都相同, 从中随机摸出一个小球,是偶数的概率为 . 15.(3 分)若关于 x 的一元一次不等式组 的解是 x>1,则 a 的取值范围是 . 16.(3 分)如图,AD 是△ABC 的外接圆 ⊙ O 的直径,若∠BCA=50°,则∠ADB= °. 17.(3 分)小明在手工制作课上,用面积为 150 π cm2,半径为 15cm 的扇形卡纸,围成一个 圆锥侧面,则这个圆锥的底面半径为 cm. 18.(3 分)如图,在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60°,将△ABD 沿射线 BD 方向 平移,得到△EFG,连接 EC、GC.求 EC+GC 的最小值为 . 19.(3 分)在矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a,点 E 在边 BC 上,且 BE= a,连接 AE, 将△ABE 沿 AE 折叠.若点 B 的对应点 B′落在矩形 ABCD 的边上,则折痕的长为 . 20.(3 分)如图,直线 AM 的解析式为 y=x+1 与 x 轴交于点 M,与 y 轴交于点 A,以 OA 为边作正方形 ABCO,点 B 坐标为(1,1).过 B 点作直线 EO1⊥MA 交 MA 于点 E,交 x 轴于点 O1,过点 O1 作 x 轴的垂线交 MA 于点 A1.以 O1A1 为边作正方形 O1A1B1C1,点 B1 的坐标为(5,3).过点 B1 作直线 E1O2⊥MA 交 MA 于 E1,交 x 轴于点 O2,过点 O2 第 4页(共 34页) 作 x 轴的垂线交 MA 于点 A2.以 O2A2 为边作正方形 O2A2B2C2,…,则点 B2020 的坐 标 . 三、解答题(满分 60 分) 21.(5 分)先化简,再求值:(1﹣ )÷ ,其中 a=sin30°. 22.(6 分)如图,正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐 标系中,△ABC 的三个顶点 A(5,2)、B(5,5)、C(1,1)均在格点上. (1)将△ABC 向下平移 5 个单位得到△A1B1C1,并写出点 A1 的坐标; (2)画出△A1B1C1 绕点 C1 逆时针旋转 90°后得到的△A2B2C1,并写出点 A2 的坐标; (3)在(2)的条件下,求△A1B1C1 在旋转过程中扫过的面积(结果保留 π ). 23.(6 分)如图,已知二次函数 y=﹣x2+(a+1)x﹣a 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 位于点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C,已知△BAC 的面积是 6. (1)求 a 的值; (2)在抛物线上是否存在一点 P,使 S△ABP=S△ABC.若存在请求出 P 坐标,若不存在请 说明理由. 第 5页(共 34页) 24.(7 分)某公司工会组织全体员工参加跳绳比赛,工会主席统计了公司 50 名员工一分钟 跳绳成绩,列出的频数分布直方图如图所示,(每个小组包括左端点,不包括右端点). 求:(1)该公司员工一分钟跳绳的平均次数至少是多少. (2)该公司一名员工说:“我的跳绳成绩是我公司的中位数”请你给出该员工跳绳成绩 的所在范围. (3)若该公司决定给每分钟跳绳不低于 140 个的员工购买纪念品,每个纪念品 300 元, 则公司应拿出多少钱购买纪念品. 25.(8 分)为抗击疫情,支持武汉,某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武 汉两地,快递车比货车多往返一趟,如图表示两车离物流公司的距离 y(单位:千米)与 快递车所用时间 x(单位:时)的函数图象,已知货车比快递车早 1 小时出发,到达武汉 后用 2 小时装卸货物,按原速、原路返回,货车比快递车最后一次返回物流公司晚 1 小 时. 第 6页(共 34页) (1)求 ME 的函数解析式; (2)求快递车第二次往返过程中,与货车相遇的时间; (3)求两车最后一次相遇时离武汉的距离.(直接写出答案) 26.(8 分)以 Rt△ABC 的两边 AB、AC 为边,向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG,连接 EG,过点 A 作 AM⊥BC 于 M,延长 MA 交 EG 于点 N. (1)如图 ① ,若∠BAC=90°,AB=AC,易证:EN=GN; (2)如图 ② ,∠BAC=90°;如图 ③ ,∠BAC≠90°,(1)中结论,是否成立,若成立, 选择一个图形进行证明;若不成立,写出你的结论,并说明理由. 27.(10 分)某农谷生态园响应国家发展有机农业政策,大力种植有机蔬菜,某超市看好甲、 乙两种有机蔬菜的市场价值,经调查甲种蔬菜进价每千克 m 元,售价每千克 16 元;乙种 蔬菜进价每千克 n 元,售价每千克 18 元. (1)该超市购进甲种蔬菜 10 千克和乙种蔬菜 5 千克需要 170 元;购进甲种蔬菜 6 千克 和乙种蔬菜 10 千克需要 200 元.求 m,n 的值. (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100 千克,且投入资金不少于 1160 元又不 多于 1168 元,设购买甲种蔬菜 x 千克,求有哪几种购买方案. (3)在(2)的条件下,超市在获得的利润取得最大值时,决定售出的甲种蔬菜每千克 第 7页(共 34页) 捐出 2a 元,乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院,若要保证捐款后的利润率不低于 20%,求 a 的最大值. 28.(10 分)如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABCD 的边 AB 长是 x2﹣3x﹣18=0 的根, 连接 BD,∠DBC=30°,并过点 C 作 CN⊥BD,垂足为 N,动点 P 从 B 点以每秒 2 个 单位长度的速度沿 BD 方向匀速运动到 D 点为止;点 M 沿线段 DA 以每秒 个单位长度 的速度由点 D 向点 A 匀速运动,到点 A 为止,点 P 与点 M 同时出发,设运动时间为 t 秒(t>0). (1)线段 CN= ; (2)连接 PM 和 MN,求△PMN 的面积 s 与运动时间 t 的函数关系式; (3)在整个运动过程中,当△PMN 是以 PN 为腰的等腰三角形时,直接写出点 P 的坐标. 第 8页(共 34页) 2020 年黑龙江省伊春市中考数学试卷(农垦、森工用) 参考答案与试题解析 一、选择题(每题 3 分,满分 30 分) 1.(3 分)下列各运算中,计算正确的是( ) A.a2+2a2=3a4 B.x8﹣x2=x6 C.(x﹣y)2=x2﹣xy+y2 D.(﹣3x2)3=﹣27x6 【分析】根据合并同类项法则,完全平方公式,幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子 的值,再判断即可. 【解答】解:A、结果是 3a2,故本选项不符合题意; B、x8 和﹣x2 不能合并,故本选项不符合题意; C、结果是 x2﹣2xy+y2,故本选项不符合题意; D、结果是﹣27x6,故本选项符合题意; 故选:D. 【点评】本题考查了合并同类项法则,完全平方公式,幂的乘方和积的乘方等知识点, 能正确求出每个式子的值是解此题的关键. 2.(3 分)下列图标中是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 【解答】解:A.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意; B.是中心对称图形,故本选项符号题意; C.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意; D.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意. 故选:B. 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找 对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后两 部分重合. 3.(3 分)如图,由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图,则所需的 第 9页(共 34页) 小正方体的个数最少是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【分析】左视图底面有 2 个小正方体,主视图底面有 2 个小正方体,则可以判断出该几 何体底面最少有 2 个小正方体,最多有 4 个.根据这个思路可判断出该几何体有多少个 小立方块. 【解答】解:左视图与主视图相同,可判断出底面最少有 2 个,第二层最少有 1 个小正 方体,第三层最少有 1 个小正方体, 则这个几何体的小立方块的个数最少是 2+1+1=4 个. 故选:C. 【点评】考查了由三视图判断几何体的知识,根据题目中要求的以最少的小正方体搭建 这个几何体,可以想象出左视图的样子,然后根据“俯视图打地基,正视图疯狂盖,左 视图拆违章”很容易就知道小正方体的个数. 4.(3 分)一组从小到大排列的数据:x,3,4,4,5(x 为正整数),唯一的众数是 4,则 数据 x 是( ) A.1 B.2 C.0 或 1 D.1 或 2 【分析】根据众数的定义得出正整数 x 的值即可. 【解答】解:∵一组从小到大排列的数据:x,3,4,4,5(x 为正整数),唯一的众数是 4, ∴数据 x 是 1 或 2. 故选:D. 【点评】本题主要考查了众数的定义,根据众数是一组数据中出现次数最多的数得出 x 的值是解题的关键. 5.(3 分)已知 2+ 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+m=0 的一个实数根,则实数 m 的值 是( ) A.0 B.1 C.﹣3 D.﹣1 【分析】把 x=2+ 代入方程就得到一个关于 m 的方程,就可以求出 m 的值. 第 10页(共 34页) 【解答】解:根据题意,得 (2+ )2﹣4×(2+ )+m=0, 解得 m=1; 故选:B. 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解(根)的意义:能使一元二次方程左右两边 相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这 个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根. 6.(3 分)系统找不到该试题 7.(3 分)已知关于 x 的分式方程 ﹣4= 的解为非正数,则 k 的取值范围是( ) A.k≤﹣12 B.k≥﹣12 C.k>﹣12 D.k<﹣12 【分析】表示出分式方程的解,由解为非正数得出关于 k 的不等式,解出 k 的范围即可. 【解答】解:方程 ﹣4= 两边同时乘以(x﹣3)得: x﹣4(x﹣3)=﹣k, ∴x﹣4x+12=﹣k, ∴﹣3x=﹣k﹣12, ∴x= +4, ∵解为非正数, ∴ +4≤0, ∴k≤﹣12. 故选:A. 【点评】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式,熟练掌握分式方程的解法和一 元一次不等式的解法是解题的关键. 8.(3 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,过点 D 作 DH⊥AB 于点 H, 连接 OH,若 OA=6,OH=4,则菱形 ABCD 的面积为( ) 第 11页(共 34页) A.72 B.24 C.48 D.96 【分析】根据菱形的性质得 O 为 BD 的中点,再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半,得 BD 的长度,最后由菱形的面积公式求得面积. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD, ∵DH⊥AB, ∴∠BHD=90°, ∴BD=2OH, ∵OH=4, ∴BD=8, ∵OA=6, ∴AC=12, ∴菱形 ABCD 的面积= . 故选:C. 【点评】本题主要考查了菱形的性质,直角三角形的性质,菱形的面积公式,关键是根 据直角三角形的性质求得 BD. 9.(3 分)学校计划用 200 元钱购买 A、B 两种奖品,A 种每个 15 元,B 种每个 25 元,在 钱全部用完的情况下,有多少种购买方案( ) A.2 种 B.3 种 C.4 种 D.5 种 【分析】设购买了 A 种奖品 x 个,B 种奖品 y 个,根据学校计划用 200 元钱购买 A、B 两 种奖品,其中 A 种每个 15 元,B 种每个 25 元,钱全部用完可列出方程,再根据 x,y 为 非负整数可求出解. 【解答】解:设购买了 A 种奖品 x 个,B 种奖品 y 个, 根据题意得:15x+25y=200, 化简整理得:3x+5y=40,得 y=8﹣ x, ∵x,y 为非负整数, ∴ , , , ∴有 3 种购买方案: 方案 1:购买了 A 种奖品 0 个,B 种奖品 8 个; 第 12页(共 34页) 方案 2:购买了 A 种奖品 5 个,B 种奖品 5 个; 方案 3:购买了 A 种奖品 10 个,B 种奖品 2 个. 故选:B. 【点评】本题考查了二元一次方程的应用,关键是读懂题意,根据题意列出二元一次方 程,然后根据解为非负整数确定出 x,y 的值. 10.(3 分)如图,正方形 ABCD 的边长为 a,点 E 在边 AB 上运动(不与点 A,B 重合), ∠DAM=45°,点 F 在射线 AM 上,且 AF= BE,CF 与 AD 相交于点 G,连接 EC、 EF、EG.则下列结论: ① ∠ECF=45°; ② △AEG 的周长为(1+ )a; ③ BE2+DG2=EG2; ④ △EAF 的面积的最大值是 a2; ⑤ 当 BE= a 时,G 是线段 AD 的中点. 其中正确的结论是( ) A. ①②③ B. ②④⑤ C. ①③④ D. ①④⑤【分析】 ① 正确.如图 1 中,在 BC 上截取 BH=BE,连接 EH.证明△FAE≌△EHC(SAS) 即可解决问题. ②③ 错误.如图 2 中,延长 AD 到 H,使得 DH=BE,则△CBE≌△CDH(SAS),再证 明△GCE≌△GCH(SAS)即可解决问题. ④ 正确.设 BE=x,则 AE=a﹣x,AF= x,构建二次函数,利用二次函数的性质解决 最值问题. ⑤ 正确.当 BE= a 时,设 DG=x,则 EG=x+ a,利用勾股定理构建方程可得 x= 即 可解决问题. 第 13页(共 34页) 【解答】解:如图 1 中,在 BC 上截取 BH=BE,连接 EH. ∵BE=BH,∠EBH=90°, ∴EH= BE, ∵AF= BE, ∴AF=EH, ∵∠DAM=∠EHB=45°,∠BAD=90°, ∴∠FAE=∠EHC=135°, ∵BA=BC,BE=BH, ∴AE=HC, ∴△FAE≌△EHC(SAS), ∴EF=EC,∠AEF=∠ECH, ∵∠ECH+∠CEB=90°, ∴∠AEF+∠CEB=90°, ∴∠FEC=90°, ∴∠ECF=∠EFC=45°,故 ① 正确, 如图 2 中,延长 AD 到 H,使得 DH=BE,则△CBE≌△CDH(SAS), ∴∠ECB=∠DCH, ∴∠ECH=∠BCD=90°, ∴∠ECG=∠GCH=45°, ∵CG=CG,CE=CH, ∴△GCE≌△GCH(SAS), ∴EG=GH, ∵GH=DG+DH,DH=BE, ∴EG=BE+DG,故 ③ 错误, ∴△AEG 的周长=AE+EG+AG=AE+AH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a,故 ②错误, 设 BE=x,则 AE=a﹣x,AF= x, ∴S△AEF= •(a﹣x)×x=﹣ x2+ ax=﹣ (x2﹣ax+ a2﹣ a2)=﹣ (x﹣ a) 2+ a2, 第 14页(共 34页) ∵﹣ <0, ∴x= a 时,△AEF 的面积的最大值为 a2.故 ④ 正确, 当 BE= a 时,设 DG=x,则 EG=x+ a, 在 Rt△AEG 中,则有(x+ a)2=(a﹣x)2+( a)2, 解得 x= , ∴AG=GD,故 ⑤ 正确, 故选:D. 【点评】本题考查正方形的性质,全等三角形的判定和性质,二次函数的应用等知识, 解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题,属于中考选择题中的压 轴题. 二、填空题(每题 3 分,满分 30 分) 11.(3 分)2019 年 1 月 1 日,“学习强国”平台全国上线,截至 2019 年 3 月 17 日,某市党 员“学习强国”客户端注册人数约 1180000,将数据 1180000 用科学记数法表示为 1.18 ×106 . 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相 第 15页(共 34页) 同.当原数绝对值≥10 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 【解答】解:1180000=1.18×106, 故答案为:1.18×106. 【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其 中 1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 12.(3 分)在函数 y= 中,自变量 x 的取值范围是 x>1.5 . 【分析】根据被开方数大于等于 0,分母不等于 0 列式计算即可得解. 【解答】解:由题意得 2x﹣3>0, 解得 x>1.5. 故答案为:x>1.5. 【点评】本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为 0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负. 13.(3 分)如图,Rt△ABC 和 Rt△EDF 中,BC∥DF,在不添加任何辅助线的情况下,请 你添加一个条件 AB=ED 答案不唯一 ,使 Rt△ABC 和 Rt△EDF 全等. 【分析】根据全等三角形的判定解答即可. 【解答】解:∵Rt△ABC 和 Rt△EDF 中, ∴∠BAC=∠DEF=90°, ∵BC∥DF, ∴∠DFE=∠BCA, ∴添加 AB=ED, 在 Rt△ABC 和 Rt△EDF 中 , ∴Rt△ABC≌Rt△EDF(AAS), 故答案为:AB=ED 答案不唯一. 第 16页(共 34页) 【点评】此题考查全等三角形的判定,关键是根据全等三角形的判定方法解答. 14.(3 分)一个盒子中装有标号为 1,2,3,4,5 的五个小球,这些球除了标号外都相同, 从中随机摸出一个小球,是偶数的概率为 . 【分析】直接利用概率公式计算可得. 【解答】解:∵盒子中共装有 5 个小球,其中标号为偶数的有 2、4 这 2 个小球, ∴从中随机摸出一个小球,是偶数的概率为 , 故答案为: . 【点评】本题主要考查概率公式,解题的关键是掌握随机事件 A 的概率 P(A)=事件 A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数. 15.(3 分)若关于 x 的一元一次不等式组 的解是 x>1,则 a 的取值范围是 a≤ 2 . 【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大可得答案. 【解答】解:解不等式 x﹣1>0,得:x>1, 解不等式 2x﹣a>0,得:x> , ∵不等式组的解集为 x>1, ∴ ≤1, 解得 a≤2, 故答案为:a≤2. 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知 “同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键. 16.(3 分)如图,AD 是△ABC 的外接圆 ⊙ O 的直径,若∠BCA=50°,则∠ADB= 50 °. 【分析】根据圆周角定理即可得到结论. 第 17页(共 34页) 【解答】解:∵AD 是△ABC 的外接圆 ⊙ O 的直径, ∴点 A,B,C,D 在 ⊙ O 上, ∵∠BCA=50°, ∴∠ADB=∠BCA=50°, 故答案为:50. 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,圆周角定理,熟练掌握圆周角定理是解题 的关键. 17.(3 分)小明在手工制作课上,用面积为 150 π cm2,半径为 15cm 的扇形卡纸,围成一个 圆锥侧面,则这个圆锥的底面半径为 10 cm. 【分析】先根据扇形的面积公式:S= l•R(l 为弧长,R 为扇形的半径)计算出扇形的 弧长,然后根据圆锥的侧面展开图为扇形,扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长,利用 圆的周长公式计算出圆锥的底面半径. 【解答】解:∵S= l•R, ∴ •l•15=150 π ,解得 l=20 π , 设圆锥的底面半径为 r, ∴2 π •r=20 π , ∴r=10(cm). 故答案为:10. 【点评】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为扇形,扇形的弧长等于圆锥的底 面圆的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长;也考查了扇形的面积公式:S= l•R(l 为 弧长,R 为扇形的半径). 18.(3 分)如图,在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60°,将△ABD 沿射线 BD 方向 平移,得到△EFG,连接 EC、GC.求 EC+GC 的最小值为 . 【分析】根据菱形的性质得到 AB=1,∠ABD=30°,根据平移的性质得到 EG=AB=1, 第 18页(共 34页) EG∥AB,推出四边形 EGCD 是平行四边形,得到 ED=GC,于是得到 EC+GC 的最小值 =EC+GD 的最小值,根据平移的性质得到点 E 在过点 A 且平行于 BD 的定直线上,作点 D 关于定直线的对称点 M,连接 CM 交定直线于 AE,解直角三角形即可得到结论. 【解答】解:∵在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60°, ∴AB=CD=1,∠ABD=30°, ∵将△ABD 沿射线 BD 的方向平移得到△EGF, ∴EG=AB=1,EG∥AB, ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∴∠BAD=120°, ∴EG=CD,EG∥CD, ∴四边形 EGCD 是平行四边形, ∴ED=GC, ∴EC+GC 的最小值=EC+GD 的最小值, ∵点 E 在过点 A 且平行于 BD 的定直线上, ∴作点 D 关于定直线的对称点 M,连接 CM 交定直线于 E, 则 CM 的长度即为 EC+GC 的最小值, ∵∠EAD=∠ADB=30°,AD=1, ∴∠ADM=60°,DH=MH= AD= , ∴DM=1, ∴DM=CD, ∵∠CDM=∠MDG+∠CDB=90°+30°=120°, ∴∠M=∠DCM=30°, ∴CM=2× CD= . 故答案为: . 第 19页(共 34页) 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题,菱形的性质,矩形的判定和性质,解直角 三角形,平移的性质,正确地理解题意是解题的关键. 19.(3 分)在矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a,点 E 在边 BC 上,且 BE= a,连接 AE, 将△ABE 沿 AE 折叠.若点 B 的对应点 B′落在矩形 ABCD 的边上,则折痕的长为 或 . 【分析】分两种情况: ① 当点 B'落在 AD 边上时,证出△ABE 是等腰直角三角形,得出 AE= AB= ; ② 当点 B'落在 CD 边上时,证明△ADB'∽△B'CE,得出 = ,求出 BE= a= ,由勾股定理求出 AE 即可. 【解答】解:分两种情况: ① 当点 B'落在 AD 边上时,如图 1 所示: ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠BAD=∠B=90°, ∵将△ABE 沿 AE 折叠.点 B 的对应点 B′落在矩形 ABCD 的 AD 边上, ∴∠BAE=∠B'AE= ∠BAD=45°, ∴△ABE 是等腰直角三角形, ∴AB=BE=1,AE= AB= ; 第 20页(共 34页) ② 当点 B'落在 CD 边上时,如图 2 所示: ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°,AD=BC=a, ∵将△ABE 沿 AE 折叠.点 B 的对应点 B′落在矩形 ABCD 的 CD 边上, ∴∠B=∠AB'E=90°,AB'=AB=1,BE'=BE= a, ∴CE=BC﹣BE=a﹣ a= a,B'D= = , 在△ADB'和△B'CE 中,∠B'AD=∠EB'C=90°﹣∠AB'D,∠D=∠C=90°, ∴△ADB'∽△B'CE, ∴ = ,即 = , 解得:a= ,或 a=0(舍去), ∴BE= a= , ∴AE= = = ; 综上所述,折痕的长为 或 ; 故答案为: 或 . 【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相 似三角形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质是解 题的关键. 20.(3 分)如图,直线 AM 的解析式为 y=x+1 与 x 轴交于点 M,与 y 轴交于点 A,以 OA 为边作正方形 ABCO,点 B 坐标为(1,1).过 B 点作直线 EO1⊥MA 交 MA 于点 E,交 x 轴于点 O1,过点 O1 作 x 轴的垂线交 MA 于点 A1.以 O1A1 为边作正方形 O1A1B1C1,点 B1 的坐标为(5,3).过点 B1 作直线 E1O2⊥MA 交 MA 于 E1,交 x 轴于点 O2,过点 O2 作 x 轴的垂线交 MA 于点 A2.以 O2A2 为边作正方形 O2A2B2C2,…,则点 B2020 的坐标 (2 第 21页(共 34页) ×3n﹣1,3n) . 【分析】由 B 坐标为(1,1)根据题意求得 A1 的坐标,进而得 B1 的坐标,继续求得 B2, B3,B4,B5 的坐标,根据这 5 点的坐标得出规律,再按规律得结果. 【解答】解:∵点 B 坐标为(1,1), ∴OA=AB=BC=CO=CO1=1, ∵A1(2,3), ∴A1O1=A1B1=B1C1=C1O2=3, ∴B1(5,3), ∴A2(8,9), ∴A2O2=A2B2=B2C2=C2O3=9, ∴B2(17,9), 同理可得 B4(53,27), B5(161,81), … 由上可知, , ∴当 n=2020 时, . 故答案为:(2×3n﹣1,3n). 第 22页(共 34页) 【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质,正方形的性质,等腰直角三角形的性 质,规律变化,关键是求出前几个点的坐标得出规律. 三、解答题(满分 60 分) 21.(5 分)先化简,再求值:(1﹣ )÷ ,其中 a=sin30°. 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案, 【解答】解:当 a=sin30°时, 所以 a= 原式= • = • = =﹣1 【点评】本题考查分式的运算,解题的关键是熟练运用分式的运算法则,本题属于基础 题型. 22.(6 分)如图,正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐 标系中,△ABC 的三个顶点 A(5,2)、B(5,5)、C(1,1)均在格点上. (1)将△ABC 向下平移 5 个单位得到△A1B1C1,并写出点 A1 的坐标; (2)画出△A1B1C1 绕点 C1 逆时针旋转 90°后得到的△A2B2C1,并写出点 A2 的坐标; (3)在(2)的条件下,求△A1B1C1 在旋转过程中扫过的面积(结果保留 π ). 【分析】(1)依据△ABC 向下平移 5 个单位,即可得到△A1B1C1,进而写出点 A1 的坐标; 第 23页(共 34页) (2)依据△A1B1C1 绕点 C1 逆时针旋转 90°,即可得到的△A2B2C1,进而写出点 A2 的 坐标; (3)依据扇形面积公式和三角形面积公式,即可得到△A1B1C1 在旋转过程中扫过的面积. 【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求,点 A1 的坐标为(5,﹣3); (2)如图所示,△A2B2C1 即为所求,点 A2 的坐标为(0,0); (3)如图,△A1B1C1 在旋转过程中扫过的面积为: + = 8 π +6. 【点评】本题考查了利用平移变换和旋转变换作图、扇形面积的计算等,利用平移变换 作图时要先找到图形的关键点,分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点 后,再顺次连接对应点即可得到平移后的图形. 23.(6 分)如图,已知二次函数 y=﹣x2+(a+1)x﹣a 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 位于点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C,已知△BAC 的面积是 6. (1)求 a 的值; (2)在抛物线上是否存在一点 P,使 S△ABP=S△ABC.若存在请求出 P 坐标,若不存在请 说明理由. 第 24页(共 34页) 【分析】(1)由 y=﹣x2+(a+1)x﹣a,令 y=0,即﹣x2+(a+1)x﹣a=0,可求出 A、B 坐标结合三角形的面积,解出 a=﹣3; (2)根据题意 P 的纵坐标为±3,分别代入解析式即可求得横坐标,从而求得 P 的坐标. 【解答】解:(1)∵y=﹣x2+(a+1)x﹣a, 令 x=0,则 y=﹣a, ∴C(0,﹣a), 令 y=0,即﹣x2+(a+1)x﹣a=0 解得 x1=a,x2=1 由图象知:a<0 ∴A(a,0),B(1,0) ∵S△ABC=6 ∴ (1﹣a)(﹣a)=6 解得:a=﹣3,(a=4 舍去); (2)∵a=﹣3, ∴C(0,3), ∵S△ABP=S△ABC. ∴P 点的纵坐标为±3, 把 y=3 代入 y=﹣x2﹣2x+3 得﹣x2﹣2x+3=3,解得 x=0 或 x=﹣2, 把 y=﹣3 代入 y=﹣x2﹣2x+3 得﹣x2﹣2x+3=﹣3,解得 x=﹣1+ 或 x=﹣1﹣ , ∴P 点的坐标为(﹣2,3)或(﹣1+ ,﹣3)或(﹣1﹣ ,﹣3). 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的 性质,求得交点坐标是解题的关键. 24.(7 分)某公司工会组织全体员工参加跳绳比赛,工会主席统计了公司 50 名员工一分钟 跳绳成绩,列出的频数分布直方图如图所示,(每个小组包括左端点,不包括右端点). 求:(1)该公司员工一分钟跳绳的平均次数至少是多少. (2)该公司一名员工说:“我的跳绳成绩是我公司的中位数”请你给出该员工跳绳成绩 的所在范围. (3)若该公司决定给每分钟跳绳不低于 140 个的员工购买纪念品,每个纪念品 300 元, 则公司应拿出多少钱购买纪念品. 第 25页(共 34页) 【分析】(1)要求平均次数至少是多少,可每组都取最小值计算平均数即可; (2)找出中位数所在的成绩范围, (3)样本中获奖的有 7 人,求出费用即可. 【 解 答 】 解 :( 1 ) 该 公 司 员 工 一 分 钟 跳 绳 的 平 均 数 为 : = =100.8, 答:该公司员工一分钟跳绳的平均次数至少是 100.8 个; (2)把 50 个数据从小到大排列后,处在中间位置的两个数都在 100~120 这个范围; (3)300×(5+2)=2100(元), 答:公司应拿出 2100 元钱购买纪念品. 【点评】考查频数分布直方图的意义和制作方法,理解频数、频率、总数之间的关系是 正确计算的前提. 25.(8 分)为抗击疫情,支持武汉,某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武 汉两地,快递车比货车多往返一趟,如图表示两车离物流公司的距离 y(单位:千米)与 快递车所用时间 x(单位:时)的函数图象,已知货车比快递车早 1 小时出发,到达武汉 后用 2 小时装卸货物,按原速、原路返回,货车比快递车最后一次返回物流公司晚 1 小 时. 第 26页(共 34页) (1)求 ME 的函数解析式; (2)求快递车第二次往返过程中,与货车相遇的时间; (3)求两车最后一次相遇时离武汉的距离.(直接写出答案) 【分析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式即可; (2)利用待定系数法分别求出 BC 与 FG 的解析式,再联立解答即可; (3)根据题意列式计算即可. 【解答】解:(1)设 ME 的函数解析式为 y=kx+b(k≠0),由 ME 经过(0,50),(3, 200)可得: ,解得 , ∴ME 的解析式为 y=50x+50; (2)设 BC 的函数解析式为 y=mx+n,由 BC 经过(4,0),(6,200)可得: ,解得 , ∴BC 的函数解析式为 y=100x﹣400; 设 FG 的函数解析式为 y=px+q,由 FG 经过(5,200),(9,0)可得: ,解得 , ∴FG 的函数解析式为 y=﹣50x+450, 解方程组 得 , 同理可得 x=7h, 第 27页(共 34页) 答:货车返回时与快递车图中相遇的时间 h,7h; (3)(9﹣7)×50=100(km), 答:两车最后一次相遇时离武汉的距离为 100km. 【点评】本题考查了一次函数的应用,主要利用了待定系数法求一次函数解析式,相遇 问题,读懂题目信息,理解两车的运动过程是解题的关键. 26.(8 分)以 Rt△ABC 的两边 AB、AC 为边,向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG,连接 EG,过点 A 作 AM⊥BC 于 M,延长 MA 交 EG 于点 N. (1)如图 ① ,若∠BAC=90°,AB=AC,易证:EN=GN; (2)如图 ② ,∠BAC=90°;如图 ③ ,∠BAC≠90°,(1)中结论,是否成立,若成立, 选择一个图形进行证明;若不成立,写出你的结论,并说明理由. 【分析】(1)由等腰直角三角形的性质得出∠MAC=45°,证得∠EAN=∠NAG,由等 腰三角形的性质得出结论; (2)如图 1,2,证明方法相同,利用“AAS”证明△ABM 和△EAP 全等,根据全等三 角形对应边相等可得 EP=AM,同理可证 GQ=AM,从而得到 EP=GQ,再利用“AAS” 证明△EPN 和△GQN 全等,根据全等三角形对应边相等可得 EN=NG. 【解答】解:(1)证明:∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠ACB=45°, ∵AM⊥BC, ∴∠MAC=45°, ∴∠EAN=∠MAC=45°, 同理∠NAG=45°, ∴∠EAN=∠NAG, 第 28页(共 34页) ∵四边形 ABDE 和四边形 ACFG 为正方形, ∴AE=AB=AC=AG, ∴EN=GN. (2)如图 1,∠BAC=90°时,(1)中结论成立. 理由:过点 E 作 EP⊥AN 交 AN 的延长线于 P,过点 G 作 GQ⊥AM 于 Q, ∵四边形 ABDE 是正方形, ∴AB=AE,∠BAE=90°, ∴∠EAP+∠BAM=180°﹣90°=90°, ∵AM⊥BC, ∴∠ABM+∠BAM=90°, ∴∠ABM=∠EAP, 在△ABM 和△EAP 中, , ∴△ABM≌△EAP(AAS), ∴EP=AM, 同理可得:GQ=AM, ∴EP=GQ, 在△EPN 和△GQN 中, , ∴△EPN≌△GQN(AAS), ∴EN=NG. 第 29页(共 34页) 如图 2,∠BAC≠90°时,(1)中结论成立. 理由:过点 E 作 EP⊥AN 交 AN 的延长线于 P,过点 G 作 GQ⊥AM 于 Q, ∵四边形 ABDE 是正方形, ∴AB=AE,∠BAE=90°, ∴∠EAP+∠BAM=180°﹣90°=90°, ∵AM⊥BC, ∴∠ABM+∠BAM=90°, ∴∠ABM=∠EAP, 在△ABM 和△EAP 中, , ∴△ABM≌△EAP(AAS), ∴EP=AM, 同理可得:GQ=AM, ∴EP=GQ, 在△EPN 和△GQN 中, , ∴△EPN≌△GQN(AAS), ∴EN=NG. 【点评】本题是四边形综合题,考查了正方形的性质,全等三角形的判定及性质,等腰 三角形的性质,等腰直角三角形的性质等知识;正确作出辅助线,构造全等三角形,运 用全等三角形的性质是解题的关键. 第 30页(共 34页) 27.(10 分)某农谷生态园响应国家发展有机农业政策,大力种植有机蔬菜,某超市看好甲、 乙两种有机蔬菜的市场价值,经调查甲种蔬菜进价每千克 m 元,售价每千克 16 元;乙种 蔬菜进价每千克 n 元,售价每千克 18 元. (1)该超市购进甲种蔬菜 10 千克和乙种蔬菜 5 千克需要 170 元;购进甲种蔬菜 6 千克 和乙种蔬菜 10 千克需要 200 元.求 m,n 的值. (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100 千克,且投入资金不少于 1160 元又不 多于 1168 元,设购买甲种蔬菜 x 千克,求有哪几种购买方案. (3)在(2)的条件下,超市在获得的利润取得最大值时,决定售出的甲种蔬菜每千克 捐出 2a 元,乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院,若要保证捐款后的利润率不低于 20%,求 a 的最大值. 【分析】(1)根据“该超市购进甲种蔬菜 10 千克和乙种蔬菜 5 千克需要 170 元;购进甲 种蔬菜 6 千克和乙种蔬菜 10 千克需要 200 元”,即可得出关于 m,n 的二元一次方程组, 解之即可得出结论; (2)设购买甲种蔬菜 x 千克,则购买乙种蔬菜(100﹣x)千克,根据总价=单价×数量 结合投入资金不少于 1160 元又不多于 1168 元,即可得出关于 x 的一元一次不等式组, 解之即可得出 x 的取值范围,再结合 x 为正整数即可得出各购买方案; (3)设超市获得的利润为 y 元,根据总利润=每千克的利润×销售数量可得出 y 关于 x 的函数关系式,利用一次函数的性质可得出获得利润最多的方案,由总利润=每千克的 利润×销售数量结合捐款后的利润率不低于 20%,即可得出关于 a 的一元一次不等式, 解之取其最大值即可得出结论. 【解答】解:(1)依题意,得: , 解得: . 答:m 的值为 10,n 的值为 14. (2)设购买甲种蔬菜 x 千克,则购买乙种蔬菜(100﹣x)千克, 依题意,得: , 解得:58≤x≤60. ∵x 为正整数, ∴x=58,59,60, ∴有 3 种购买方案,方案 1:购买甲种蔬菜 58 千克,乙种蔬菜 42 千克;方案 2:购买甲 第 31页(共 34页) 种蔬菜 59 千克,乙种蔬菜 41 千克;方案 3:购买甲种蔬菜 60 千克,乙种蔬菜 40 千克. (3)设超市获得的利润为 y 元,则 y=(16﹣10)x+(18﹣14)(100﹣x)=2x+400. ∵k=2>0, ∴y 随 x 的增大而增大, ∴当 x=60 时,y 取得最大值,最大值为 2×60+400=520. 依题意,得:(16﹣10﹣2a)×60+(18﹣14﹣a)×40≥(10×60+14×40)×20%, 解得:a≤1.8. 答:a 的最大值为 1.8. 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的性 质以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次 方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式组;(3)利用一次函数 的性质,找出利润最大的购物方案. 28.(10 分)如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABCD 的边 AB 长是 x2﹣3x﹣18=0 的根, 连接 BD,∠DBC=30°,并过点 C 作 CN⊥BD,垂足为 N,动点 P 从 B 点以每秒 2 个 单位长度的速度沿 BD 方向匀速运动到 D 点为止;点 M 沿线段 DA 以每秒 个单位长度 的速度由点 D 向点 A 匀速运动,到点 A 为止,点 P 与点 M 同时出发,设运动时间为 t 秒(t>0). (1)线段 CN= 3 ; (2)连接 PM 和 MN,求△PMN 的面积 s 与运动时间 t 的函数关系式; (3)在整个运动过程中,当△PMN 是以 PN 为腰的等腰三角形时,直接写出点 P 的坐标. 【分析】(1)解方程求出 AB 的长,由直角三角形的性质可求 BD,BC 的长,CN 的长; (2)分三种情况讨论,由三角形的面积可求解; (3)分两种情况讨论,由等腰三角形的性质和勾股定理可求解. 【解答】解:(1)∵AB 长是 x2﹣3x﹣18=0 的根, 第 32页(共 34页) ∴AB=6, ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD=BC,AB=CD=6,∠BCD=90°, ∵∠DBC=30°, ∴BD=2CD=12,BC= CD=6 , ∵∠DBC=30°,CN⊥BD, ∴CN= BC=3 , 故答案为:3 . (2)如图,过点 M 作 MH⊥BD 于 H, ∵AD∥BC, ∴∠ADB=∠DBC=30°, ∴MH= MD= t, ∵∠DBC=30°,CN⊥BD, ∴BN= CN=9, 当 0<t< 时,△PMN 的面积 s= ×(9﹣2t)× t=﹣ t2+ t; 当 t= 时,点 P 与点 N 重合,s=0, 当 <t≤6 时,△PMN 的面积 s= ×(2t﹣9)× t= t2﹣ t; (3)如图,过点 P 作 PE⊥BC 于 E, 第 33页(共 34页) 当 PN=PM=9﹣2t 时, ∵PM2=MH2+PH2, ∴(9﹣2t)2=( t)2+(12﹣2t﹣ t)2, ∴t=3 或 t= , ∴BP=6 或 , 当 BP=6 时, ∵∠DBC=30°,PE⊥BC, ∴PE= BP=3,BE= PE=3 , ∴点 P(3 ,3), 当 BP= 时, 同理可求点 P( , ), 当 PN=NM=9﹣2t 时, ∵NM2=MH2+NH2, ∴(9﹣2t)2=( t)2+( t﹣3)2, ∴t=3 或 24(不合题意舍去), ∴BP=6, ∴点 P(3 ,3), 综上所述:点 P 坐标为(3 ,3)或( , ). 【点评】本题是四边形综合题,考查了矩形的性质,一元二次方程的解法,三角形的面 积公式,勾股定理,等腰三角形的性质等知识,利用分类讨论思想解决问题是本题的关 键. 第 34页(共 34页) 声明:试 题解析著作权 属菁优网所有 ,未经书面同 意,不得复制 发布 日期:2020/7/21 8:40:31 ;用户: 智翰文化;邮 箱:zhwh998@xyh.com ;学号:37494973
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