伊春市2020年中考数学试题及答案

伊春市2020年中考数学试题及答案

第 1页（共 34页） 伊春市 2020 年中考数学试题及答案 （农垦、森工用） 一、选择题（每题 3 分，满分 30 分） 1．（3 分）下列各运算中，计算正确的是（ ） A．a2+2a2＝3a4 B．x8﹣x2＝x6 C．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2 D．（﹣3x2）3＝﹣27x6 2．（3 分）下列图标中是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．（3 分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的 小正方体的个数最少是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（3 分）一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x 为正整数），唯一的众数是 4，则 数据 x 是（ ） A．1 B．2 C．0 或 1 D．1 或 2 5．（3 分）已知 2+ 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+m＝0 的一个实数根，则实数 m 的值 是（ ） A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣1 6．（3 分）系统找不到该试题 7．（3 分）已知关于 x 的分式方程 ﹣4＝ 的解为非正数，则 k 的取值范围是（ ） A．k≤﹣12 B．k≥﹣12 C．k＞﹣12 D．k＜﹣12 8．（3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 D 作 DH⊥AB 于点 H， 连接 OH，若 OA＝6，OH＝4，则菱形 ABCD 的面积为（ ） 第 2页（共 34页） A．72 B．24 C．48 D．96 9．（3 分）学校计划用 200 元钱购买 A、B 两种奖品，A 种每个 15 元，B 种每个 25 元，在 钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A．2 种 B．3 种 C．4 种 D．5 种 10．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 a，点 E 在边 AB 上运动（不与点 A，B 重合）， ∠DAM＝45°，点 F 在射线 AM 上，且 AF＝ BE，CF 与 AD 相交于点 G，连接 EC、 EF、EG．则下列结论： ① ∠ECF＝45°； ② △AEG 的周长为（1+ ）a； ③ BE2+DG2＝EG2； ④ △EAF 的面积的最大值是 a2； ⑤ 当 BE＝ a 时，G 是线段 AD 的中点． 其中正确的结论是（ ） A． ①②③ B． ②④⑤ C． ①③④ D． ①④⑤二、填空题（每题 3 分，满分 30 分） 11．（3 分）2019 年 1 月 1 日，“学习强国”平台全国上线，截至 2019 年 3 月 17 日，某市党 员“学习强国”客户端注册人数约 1180000，将数据 1180000 用科学记数法表示为 ． 12．（3 分）在函数 y＝ 中，自变量 x 的取值范围是 ． 第 3页（共 34页） 13．（3 分）如图，Rt△ABC 和 Rt△EDF 中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请 你添加一个条件 ，使 Rt△ABC 和 Rt△EDF 全等． 14．（3 分）一个盒子中装有标号为 1，2，3，4，5 的五个小球，这些球除了标号外都相同， 从中随机摸出一个小球，是偶数的概率为 ． 15．（3 分）若关于 x 的一元一次不等式组 的解是 x＞1，则 a 的取值范围是 ． 16．（3 分）如图，AD 是△ABC 的外接圆 ⊙ O 的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝ °． 17．（3 分）小明在手工制作课上，用面积为 150 π cm2，半径为 15cm 的扇形卡纸，围成一个 圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为 cm． 18．（3 分）如图，在边长为 1 的菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，将△ABD 沿射线 BD 方向 平移，得到△EFG，连接 EC、GC．求 EC+GC 的最小值为 ． 19．（3 分）在矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝a，点 E 在边 BC 上，且 BE＝ a，连接 AE， 将△ABE 沿 AE 折叠．若点 B 的对应点 B′落在矩形 ABCD 的边上，则折痕的长为 ． 20．（3 分）如图，直线 AM 的解析式为 y＝x+1 与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 A，以 OA 为边作正方形 ABCO，点 B 坐标为（1，1）．过 B 点作直线 EO1⊥MA 交 MA 于点 E，交 x 轴于点 O1，过点 O1 作 x 轴的垂线交 MA 于点 A1．以 O1A1 为边作正方形 O1A1B1C1，点 B1 的坐标为（5，3）．过点 B1 作直线 E1O2⊥MA 交 MA 于 E1，交 x 轴于点 O2，过点 O2 第 4页（共 34页） 作 x 轴的垂线交 MA 于点 A2．以 O2A2 为边作正方形 O2A2B2C2，…，则点 B2020 的坐 标 ． 三、解答题（满分 60 分） 21．（5 分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中 a＝sin30°． 22．（6 分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐 标系中，△ABC 的三个顶点 A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上． （1）将△ABC 向下平移 5 个单位得到△A1B1C1，并写出点 A1 的坐标； （2）画出△A1B1C1 绕点 C1 逆时针旋转 90°后得到的△A2B2C1，并写出点 A2 的坐标； （3）在（2）的条件下，求△A1B1C1 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 π ）． 23．（6 分）如图，已知二次函数 y＝﹣x2+（a+1）x﹣a 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，已知△BAC 的面积是 6． （1）求 a 的值； （2）在抛物线上是否存在一点 P，使 S△ABP＝S△ABC．若存在请求出 P 坐标，若不存在请 说明理由． 第 5页（共 34页） 24．（7 分）某公司工会组织全体员工参加跳绳比赛，工会主席统计了公司 50 名员工一分钟 跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）． 求：（1）该公司员工一分钟跳绳的平均次数至少是多少． （2）该公司一名员工说：“我的跳绳成绩是我公司的中位数”请你给出该员工跳绳成绩 的所在范围． （3）若该公司决定给每分钟跳绳不低于 140 个的员工购买纪念品，每个纪念品 300 元， 则公司应拿出多少钱购买纪念品． 25．（8 分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武 汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离 y（单位：千米）与 快递车所用时间 x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早 1 小时出发，到达武汉 后用 2 小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚 1 小 时． 第 6页（共 34页） （1）求 ME 的函数解析式； （2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间； （3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案） 26．（8 分）以 Rt△ABC 的两边 AB、AC 为边，向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG，连接 EG，过点 A 作 AM⊥BC 于 M，延长 MA 交 EG 于点 N． （1）如图 ① ，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易证：EN＝GN； （2）如图 ② ，∠BAC＝90°；如图 ③ ，∠BAC≠90°，（1）中结论，是否成立，若成立， 选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由． 27．（10 分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、 乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克 m 元，售价每千克 16 元；乙种 蔬菜进价每千克 n 元，售价每千克 18 元． （1）该超市购进甲种蔬菜 10 千克和乙种蔬菜 5 千克需要 170 元；购进甲种蔬菜 6 千克 和乙种蔬菜 10 千克需要 200 元．求 m，n 的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100 千克，且投入资金不少于 1160 元又不 多于 1168 元，设购买甲种蔬菜 x 千克，求有哪几种购买方案． （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克 第 7页（共 34页） 捐出 2a 元，乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于 20%，求 a 的最大值． 28．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB 长是 x2﹣3x﹣18＝0 的根， 连接 BD，∠DBC＝30°，并过点 C 作 CN⊥BD，垂足为 N，动点 P 从 B 点以每秒 2 个 单位长度的速度沿 BD 方向匀速运动到 D 点为止；点 M 沿线段 DA 以每秒 个单位长度 的速度由点 D 向点 A 匀速运动，到点 A 为止，点 P 与点 M 同时出发，设运动时间为 t 秒（t＞0）． （1）线段 CN＝ ； （2）连接 PM 和 MN，求△PMN 的面积 s 与运动时间 t 的函数关系式； （3）在整个运动过程中，当△PMN 是以 PN 为腰的等腰三角形时，直接写出点 P 的坐标． 第 8页（共 34页） 2020 年黑龙江省伊春市中考数学试卷（农垦、森工用） 参考答案与试题解析 一、选择题（每题 3 分，满分 30 分） 1．（3 分）下列各运算中，计算正确的是（ ） A．a2+2a2＝3a4 B．x8﹣x2＝x6 C．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2 D．（﹣3x2）3＝﹣27x6 【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子 的值，再判断即可． 【解答】解：A、结果是 3a2，故本选项不符合题意； B、x8 和﹣x2 不能合并，故本选项不符合题意； C、结果是 x2﹣2xy+y2，故本选项不符合题意； D、结果是﹣27x6，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方等知识点， 能正确求出每个式子的值是解此题的关键． 2．（3 分）下列图标中是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．是中心对称图形，故本选项符号题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找 对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两 部分重合． 3．（3 分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的 第 9页（共 34页） 小正方体的个数最少是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】左视图底面有 2 个小正方体，主视图底面有 2 个小正方体，则可以判断出该几 何体底面最少有 2 个小正方体，最多有 4 个．根据这个思路可判断出该几何体有多少个 小立方块． 【解答】解：左视图与主视图相同，可判断出底面最少有 2 个，第二层最少有 1 个小正 方体，第三层最少有 1 个小正方体， 则这个几何体的小立方块的个数最少是 2+1+1＝4 个． 故选：C． 【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，根据题目中要求的以最少的小正方体搭建 这个几何体，可以想象出左视图的样子，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左 视图拆违章”很容易就知道小正方体的个数． 4．（3 分）一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x 为正整数），唯一的众数是 4，则 数据 x 是（ ） A．1 B．2 C．0 或 1 D．1 或 2 【分析】根据众数的定义得出正整数 x 的值即可． 【解答】解：∵一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x 为正整数），唯一的众数是 4， ∴数据 x 是 1 或 2． 故选：D． 【点评】本题主要考查了众数的定义，根据众数是一组数据中出现次数最多的数得出 x 的值是解题的关键． 5．（3 分）已知 2+ 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+m＝0 的一个实数根，则实数 m 的值 是（ ） A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣1 【分析】把 x＝2+ 代入方程就得到一个关于 m 的方程，就可以求出 m 的值． 第 10页（共 34页） 【解答】解：根据题意，得 （2+ ）2﹣4×（2+ ）+m＝0， 解得 m＝1； 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边 相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这 个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 6．（3 分）系统找不到该试题 7．（3 分）已知关于 x 的分式方程 ﹣4＝ 的解为非正数，则 k 的取值范围是（ ） A．k≤﹣12 B．k≥﹣12 C．k＞﹣12 D．k＜﹣12 【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于 k 的不等式，解出 k 的范围即可． 【解答】解：方程 ﹣4＝ 两边同时乘以（x﹣3）得： x﹣4（x﹣3）＝﹣k， ∴x﹣4x+12＝﹣k， ∴﹣3x＝﹣k﹣12， ∴x＝ +4， ∵解为非正数， ∴ +4≤0， ∴k≤﹣12． 故选：A． 【点评】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一 元一次不等式的解法是解题的关键． 8．（3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 D 作 DH⊥AB 于点 H， 连接 OH，若 OA＝6，OH＝4，则菱形 ABCD 的面积为（ ） 第 11页（共 34页） A．72 B．24 C．48 D．96 【分析】根据菱形的性质得 O 为 BD 的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半，得 BD 的长度，最后由菱形的面积公式求得面积． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∵DH⊥AB， ∴∠BHD＝90°， ∴BD＝2OH， ∵OH＝4， ∴BD＝8， ∵OA＝6， ∴AC＝12， ∴菱形 ABCD 的面积＝ ． 故选：C． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根 据直角三角形的性质求得 BD． 9．（3 分）学校计划用 200 元钱购买 A、B 两种奖品，A 种每个 15 元，B 种每个 25 元，在 钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A．2 种 B．3 种 C．4 种 D．5 种 【分析】设购买了 A 种奖品 x 个，B 种奖品 y 个，根据学校计划用 200 元钱购买 A、B 两 种奖品，其中 A 种每个 15 元，B 种每个 25 元，钱全部用完可列出方程，再根据 x，y 为 非负整数可求出解． 【解答】解：设购买了 A 种奖品 x 个，B 种奖品 y 个， 根据题意得：15x+25y＝200， 化简整理得：3x+5y＝40，得 y＝8﹣ x， ∵x，y 为非负整数， ∴ ， ， ， ∴有 3 种购买方案： 方案 1：购买了 A 种奖品 0 个，B 种奖品 8 个； 第 12页（共 34页） 方案 2：购买了 A 种奖品 5 个，B 种奖品 5 个； 方案 3：购买了 A 种奖品 10 个，B 种奖品 2 个． 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，关键是读懂题意，根据题意列出二元一次方 程，然后根据解为非负整数确定出 x，y 的值． 10．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 a，点 E 在边 AB 上运动（不与点 A，B 重合）， ∠DAM＝45°，点 F 在射线 AM 上，且 AF＝ BE，CF 与 AD 相交于点 G，连接 EC、 EF、EG．则下列结论： ① ∠ECF＝45°； ② △AEG 的周长为（1+ ）a； ③ BE2+DG2＝EG2； ④ △EAF 的面积的最大值是 a2； ⑤ 当 BE＝ a 时，G 是线段 AD 的中点． 其中正确的结论是（ ） A． ①②③ B． ②④⑤ C． ①③④ D． ①④⑤【分析】 ① 正确．如图 1 中，在 BC 上截取 BH＝BE，连接 EH．证明△FAE≌△EHC（SAS） 即可解决问题． ②③ 错误．如图 2 中，延长 AD 到 H，使得 DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证 明△GCE≌△GCH（SAS）即可解决问题． ④ 正确．设 BE＝x，则 AE＝a﹣x，AF＝ x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决 最值问题． ⑤ 正确．当 BE＝ a 时，设 DG＝x，则 EG＝x+ a，利用勾股定理构建方程可得 x＝ 即 可解决问题． 第 13页（共 34页） 【解答】解：如图 1 中，在 BC 上截取 BH＝BE，连接 EH． ∵BE＝BH，∠EBH＝90°， ∴EH＝ BE， ∵AF＝ BE， ∴AF＝EH， ∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°， ∴∠FAE＝∠EHC＝135°， ∵BA＝BC，BE＝BH， ∴AE＝HC， ∴△FAE≌△EHC（SAS）， ∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH， ∵∠ECH+∠CEB＝90°， ∴∠AEF+∠CEB＝90°， ∴∠FEC＝90°， ∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故 ① 正确， 如图 2 中，延长 AD 到 H，使得 DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS）， ∴∠ECB＝∠DCH， ∴∠ECH＝∠BCD＝90°， ∴∠ECG＝∠GCH＝45°， ∵CG＝CG，CE＝CH， ∴△GCE≌△GCH（SAS）， ∴EG＝GH， ∵GH＝DG+DH，DH＝BE， ∴EG＝BE+DG，故 ③ 错误， ∴△AEG 的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故 ②错误， 设 BE＝x，则 AE＝a﹣x，AF＝ x， ∴S△AEF＝ •（a﹣x）×x＝﹣ x2+ ax＝﹣ （x2﹣ax+ a2﹣ a2）＝﹣ （x﹣ a） 2+ a2， 第 14页（共 34页） ∵﹣ ＜0， ∴x＝ a 时，△AEF 的面积的最大值为 a2．故 ④ 正确， 当 BE＝ a 时，设 DG＝x，则 EG＝x+ a， 在 Rt△AEG 中，则有（x+ a）2＝（a﹣x）2+（ a）2， 解得 x＝ ， ∴AG＝GD，故 ⑤ 正确， 故选：D． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压 轴题． 二、填空题（每题 3 分，满分 30 分） 11．（3 分）2019 年 1 月 1 日，“学习强国”平台全国上线，截至 2019 年 3 月 17 日，某市党 员“学习强国”客户端注册人数约 1180000，将数据 1180000 用科学记数法表示为 1.18 ×106 ． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 第 15页（共 34页） 同．当原数绝对值≥10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：1180000＝1.18×106， 故答案为：1.18×106． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其 中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 12．（3 分）在函数 y＝ 中，自变量 x 的取值范围是 x＞1.5 ． 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得 2x﹣3＞0， 解得 x＞1.5． 故答案为：x＞1.5． 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 13．（3 分）如图，Rt△ABC 和 Rt△EDF 中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请 你添加一个条件 AB＝ED 答案不唯一 ，使 Rt△ABC 和 Rt△EDF 全等． 【分析】根据全等三角形的判定解答即可． 【解答】解：∵Rt△ABC 和 Rt△EDF 中， ∴∠BAC＝∠DEF＝90°， ∵BC∥DF， ∴∠DFE＝∠BCA， ∴添加 AB＝ED， 在 Rt△ABC 和 Rt△EDF 中 ， ∴Rt△ABC≌Rt△EDF（AAS）， 故答案为：AB＝ED 答案不唯一． 第 16页（共 34页） 【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答． 14．（3 分）一个盒子中装有标号为 1，2，3，4，5 的五个小球，这些球除了标号外都相同， 从中随机摸出一个小球，是偶数的概率为 ． 【分析】直接利用概率公式计算可得． 【解答】解：∵盒子中共装有 5 个小球，其中标号为偶数的有 2、4 这 2 个小球， ∴从中随机摸出一个小球，是偶数的概率为 ， 故答案为： ． 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件 A 的概率 P（A）＝事件 A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 15．（3 分）若关于 x 的一元一次不等式组 的解是 x＞1，则 a 的取值范围是 a≤ 2 ． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大可得答案． 【解答】解：解不等式 x﹣1＞0，得：x＞1， 解不等式 2x﹣a＞0，得：x＞ ， ∵不等式组的解集为 x＞1， ∴ ≤1， 解得 a≤2， 故答案为：a≤2． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知 “同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 16．（3 分）如图，AD 是△ABC 的外接圆 ⊙ O 的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝ 50 °． 【分析】根据圆周角定理即可得到结论． 第 17页（共 34页） 【解答】解：∵AD 是△ABC 的外接圆 ⊙ O 的直径， ∴点 A，B，C，D 在 ⊙ O 上， ∵∠BCA＝50°， ∴∠ADB＝∠BCA＝50°， 故答案为：50． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题 的关键． 17．（3 分）小明在手工制作课上，用面积为 150 π cm2，半径为 15cm 的扇形卡纸，围成一个 圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为 10 cm． 【分析】先根据扇形的面积公式：S＝ l•R（l 为弧长，R 为扇形的半径）计算出扇形的 弧长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，利用 圆的周长公式计算出圆锥的底面半径． 【解答】解：∵S＝ l•R， ∴ •l•15＝150 π ，解得 l＝20 π ， 设圆锥的底面半径为 r， ∴2 π •r＝20 π ， ∴r＝10（cm）． 故答案为：10． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底 面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；也考查了扇形的面积公式：S＝ l•R（l 为 弧长，R 为扇形的半径）． 18．（3 分）如图，在边长为 1 的菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，将△ABD 沿射线 BD 方向 平移，得到△EFG，连接 EC、GC．求 EC+GC 的最小值为 ． 【分析】根据菱形的性质得到 AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到 EG＝AB＝1， 第 18页（共 34页） EG∥AB，推出四边形 EGCD 是平行四边形，得到 ED＝GC，于是得到 EC+GC 的最小值 ＝EC+GD 的最小值，根据平移的性质得到点 E 在过点 A 且平行于 BD 的定直线上，作点 D 关于定直线的对称点 M，连接 CM 交定直线于 AE，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：∵在边长为 1 的菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°， ∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°， ∵将△ABD 沿射线 BD 的方向平移得到△EGF， ∴EG＝AB＝1，EG∥AB， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAD＝120°， ∴EG＝CD，EG∥CD， ∴四边形 EGCD 是平行四边形， ∴ED＝GC， ∴EC+GC 的最小值＝EC+GD 的最小值， ∵点 E 在过点 A 且平行于 BD 的定直线上， ∴作点 D 关于定直线的对称点 M，连接 CM 交定直线于 E， 则 CM 的长度即为 EC+GC 的最小值， ∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝1， ∴∠ADM＝60°，DH＝MH＝ AD＝ ， ∴DM＝1， ∴DM＝CD， ∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°， ∴∠M＝∠DCM＝30°， ∴CM＝2× CD＝ ． 故答案为： ． 第 19页（共 34页） 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角 三角形，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键． 19．（3 分）在矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝a，点 E 在边 BC 上，且 BE＝ a，连接 AE， 将△ABE 沿 AE 折叠．若点 B 的对应点 B′落在矩形 ABCD 的边上，则折痕的长为 或 ． 【分析】分两种情况： ① 当点 B'落在 AD 边上时，证出△ABE 是等腰直角三角形，得出 AE＝ AB＝ ； ② 当点 B'落在 CD 边上时，证明△ADB'∽△B'CE，得出 ＝ ，求出 BE＝ a＝ ，由勾股定理求出 AE 即可． 【解答】解：分两种情况： ① 当点 B'落在 AD 边上时，如图 1 所示： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝90°， ∵将△ABE 沿 AE 折叠．点 B 的对应点 B′落在矩形 ABCD 的 AD 边上， ∴∠BAE＝∠B'AE＝ ∠BAD＝45°， ∴△ABE 是等腰直角三角形， ∴AB＝BE＝1，AE＝ AB＝ ； 第 20页（共 34页） ② 当点 B'落在 CD 边上时，如图 2 所示： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a， ∵将△ABE 沿 AE 折叠．点 B 的对应点 B′落在矩形 ABCD 的 CD 边上， ∴∠B＝∠AB'E＝90°，AB'＝AB＝1，BE'＝BE＝ a， ∴CE＝BC﹣BE＝a﹣ a＝ a，B'D＝ ＝ ， 在△ADB'和△B'CE 中，∠B'AD＝∠EB'C＝90°﹣∠AB'D，∠D＝∠C＝90°， ∴△ADB'∽△B'CE， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：a＝ ，或 a＝0（舍去）， ∴BE＝ a＝ ， ∴AE＝ ＝ ＝ ； 综上所述，折痕的长为 或 ； 故答案为： 或 ． 【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相 似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质是解 题的关键． 20．（3 分）如图，直线 AM 的解析式为 y＝x+1 与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 A，以 OA 为边作正方形 ABCO，点 B 坐标为（1，1）．过 B 点作直线 EO1⊥MA 交 MA 于点 E，交 x 轴于点 O1，过点 O1 作 x 轴的垂线交 MA 于点 A1．以 O1A1 为边作正方形 O1A1B1C1，点 B1 的坐标为（5，3）．过点 B1 作直线 E1O2⊥MA 交 MA 于 E1，交 x 轴于点 O2，过点 O2 作 x 轴的垂线交 MA 于点 A2．以 O2A2 为边作正方形 O2A2B2C2，…，则点 B2020 的坐标 （2 第 21页（共 34页） ×3n﹣1，3n） ． 【分析】由 B 坐标为（1，1）根据题意求得 A1 的坐标，进而得 B1 的坐标，继续求得 B2， B3，B4，B5 的坐标，根据这 5 点的坐标得出规律，再按规律得结果． 【解答】解：∵点 B 坐标为（1，1）， ∴OA＝AB＝BC＝CO＝CO1＝1， ∵A1（2，3）， ∴A1O1＝A1B1＝B1C1＝C1O2＝3， ∴B1（5，3）， ∴A2（8，9）， ∴A2O2＝A2B2＝B2C2＝C2O3＝9， ∴B2（17，9）， 同理可得 B4（53，27）， B5（161，81）， … 由上可知， ， ∴当 n＝2020 时， ． 故答案为：（2×3n﹣1，3n）． 第 22页（共 34页） 【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性 质，规律变化，关键是求出前几个点的坐标得出规律． 三、解答题（满分 60 分） 21．（5 分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中 a＝sin30°． 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案， 【解答】解：当 a＝sin30°时， 所以 a＝ 原式＝ • ＝ • ＝ ＝﹣1 【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础 题型． 22．（6 分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐 标系中，△ABC 的三个顶点 A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上． （1）将△ABC 向下平移 5 个单位得到△A1B1C1，并写出点 A1 的坐标； （2）画出△A1B1C1 绕点 C1 逆时针旋转 90°后得到的△A2B2C1，并写出点 A2 的坐标； （3）在（2）的条件下，求△A1B1C1 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 π ）． 【分析】（1）依据△ABC 向下平移 5 个单位，即可得到△A1B1C1，进而写出点 A1 的坐标； 第 23页（共 34页） （2）依据△A1B1C1 绕点 C1 逆时针旋转 90°，即可得到的△A2B2C1，进而写出点 A2 的 坐标； （3）依据扇形面积公式和三角形面积公式，即可得到△A1B1C1 在旋转过程中扫过的面积． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1 即为所求，点 A1 的坐标为（5，﹣3）； （2）如图所示，△A2B2C1 即为所求，点 A2 的坐标为（0，0）； （3）如图，△A1B1C1 在旋转过程中扫过的面积为： + ＝ 8 π +6． 【点评】本题考查了利用平移变换和旋转变换作图、扇形面积的计算等，利用平移变换 作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点 后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 23．（6 分）如图，已知二次函数 y＝﹣x2+（a+1）x﹣a 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，已知△BAC 的面积是 6． （1）求 a 的值； （2）在抛物线上是否存在一点 P，使 S△ABP＝S△ABC．若存在请求出 P 坐标，若不存在请 说明理由． 第 24页（共 34页） 【分析】（1）由 y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令 y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0，可求出 A、B 坐标结合三角形的面积，解出 a＝﹣3； （2）根据题意 P 的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求得横坐标，从而求得 P 的坐标． 【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a， 令 x＝0，则 y＝﹣a， ∴C（0，﹣a）， 令 y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0 解得 x1＝a，x2＝1 由图象知：a＜0 ∴A（a，0），B（1，0） ∵S△ABC＝6 ∴ （1﹣a）（﹣a）＝6 解得：a＝﹣3，（a＝4 舍去）； （2）∵a＝﹣3， ∴C（0，3）， ∵S△ABP＝S△ABC． ∴P 点的纵坐标为±3， 把 y＝3 代入 y＝﹣x2﹣2x+3 得﹣x2﹣2x+3＝3，解得 x＝0 或 x＝﹣2， 把 y＝﹣3 代入 y＝﹣x2﹣2x+3 得﹣x2﹣2x+3＝﹣3，解得 x＝﹣1+ 或 x＝﹣1﹣ ， ∴P 点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1+ ，﹣3）或（﹣1﹣ ，﹣3）． 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的 性质，求得交点坐标是解题的关键． 24．（7 分）某公司工会组织全体员工参加跳绳比赛，工会主席统计了公司 50 名员工一分钟 跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）． 求：（1）该公司员工一分钟跳绳的平均次数至少是多少． （2）该公司一名员工说：“我的跳绳成绩是我公司的中位数”请你给出该员工跳绳成绩 的所在范围． （3）若该公司决定给每分钟跳绳不低于 140 个的员工购买纪念品，每个纪念品 300 元， 则公司应拿出多少钱购买纪念品． 第 25页（共 34页） 【分析】（1）要求平均次数至少是多少，可每组都取最小值计算平均数即可； （2）找出中位数所在的成绩范围， （3）样本中获奖的有 7 人，求出费用即可． 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 该 公 司 员 工 一 分 钟 跳 绳 的 平 均 数 为 ： ＝ ＝100.8， 答：该公司员工一分钟跳绳的平均次数至少是 100.8 个； （2）把 50 个数据从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在 100～120 这个范围； （3）300×（5+2）＝2100（元）， 答：公司应拿出 2100 元钱购买纪念品． 【点评】考查频数分布直方图的意义和制作方法，理解频数、频率、总数之间的关系是 正确计算的前提． 25．（8 分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武 汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离 y（单位：千米）与 快递车所用时间 x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早 1 小时出发，到达武汉 后用 2 小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚 1 小 时． 第 26页（共 34页） （1）求 ME 的函数解析式； （2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间； （3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案） 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）利用待定系数法分别求出 BC 与 FG 的解析式，再联立解答即可； （3）根据题意列式计算即可． 【解答】解：（1）设 ME 的函数解析式为 y＝kx+b（k≠0），由 ME 经过（0，50），（3， 200）可得： ，解得 ， ∴ME 的解析式为 y＝50x+50； （2）设 BC 的函数解析式为 y＝mx+n，由 BC 经过（4，0），（6，200）可得： ，解得 ， ∴BC 的函数解析式为 y＝100x﹣400； 设 FG 的函数解析式为 y＝px+q，由 FG 经过（5，200），（9，0）可得： ，解得 ， ∴FG 的函数解析式为 y＝﹣50x+450， 解方程组 得 ， 同理可得 x＝7h， 第 27页（共 34页） 答：货车返回时与快递车图中相遇的时间 h，7h； （3）（9﹣7）×50＝100（km）， 答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为 100km． 【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，相遇 问题，读懂题目信息，理解两车的运动过程是解题的关键． 26．（8 分）以 Rt△ABC 的两边 AB、AC 为边，向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG，连接 EG，过点 A 作 AM⊥BC 于 M，延长 MA 交 EG 于点 N． （1）如图 ① ，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易证：EN＝GN； （2）如图 ② ，∠BAC＝90°；如图 ③ ，∠BAC≠90°，（1）中结论，是否成立，若成立， 选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由． 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠MAC＝45°，证得∠EAN＝∠NAG，由等 腰三角形的性质得出结论； （2）如图 1，2，证明方法相同，利用“AAS”证明△ABM 和△EAP 全等，根据全等三 角形对应边相等可得 EP＝AM，同理可证 GQ＝AM，从而得到 EP＝GQ，再利用“AAS” 证明△EPN 和△GQN 全等，根据全等三角形对应边相等可得 EN＝NG． 【解答】解：（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ACB＝45°， ∵AM⊥BC， ∴∠MAC＝45°， ∴∠EAN＝∠MAC＝45°， 同理∠NAG＝45°， ∴∠EAN＝∠NAG， 第 28页（共 34页） ∵四边形 ABDE 和四边形 ACFG 为正方形， ∴AE＝AB＝AC＝AG， ∴EN＝GN． （2）如图 1，∠BAC＝90°时，（1）中结论成立． 理由：过点 E 作 EP⊥AN 交 AN 的延长线于 P，过点 G 作 GQ⊥AM 于 Q， ∵四边形 ABDE 是正方形， ∴AB＝AE，∠BAE＝90°， ∴∠EAP+∠BAM＝180°﹣90°＝90°， ∵AM⊥BC， ∴∠ABM+∠BAM＝90°， ∴∠ABM＝∠EAP， 在△ABM 和△EAP 中， ， ∴△ABM≌△EAP（AAS）， ∴EP＝AM， 同理可得：GQ＝AM， ∴EP＝GQ， 在△EPN 和△GQN 中， ， ∴△EPN≌△GQN（AAS）， ∴EN＝NG． 第 29页（共 34页） 如图 2，∠BAC≠90°时，（1）中结论成立． 理由：过点 E 作 EP⊥AN 交 AN 的延长线于 P，过点 G 作 GQ⊥AM 于 Q， ∵四边形 ABDE 是正方形， ∴AB＝AE，∠BAE＝90°， ∴∠EAP+∠BAM＝180°﹣90°＝90°， ∵AM⊥BC， ∴∠ABM+∠BAM＝90°， ∴∠ABM＝∠EAP， 在△ABM 和△EAP 中， ， ∴△ABM≌△EAP（AAS）， ∴EP＝AM， 同理可得：GQ＝AM， ∴EP＝GQ， 在△EPN 和△GQN 中， ， ∴△EPN≌△GQN（AAS）， ∴EN＝NG． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰 三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识；正确作出辅助线，构造全等三角形，运 用全等三角形的性质是解题的关键． 第 30页（共 34页） 27．（10 分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、 乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克 m 元，售价每千克 16 元；乙种 蔬菜进价每千克 n 元，售价每千克 18 元． （1）该超市购进甲种蔬菜 10 千克和乙种蔬菜 5 千克需要 170 元；购进甲种蔬菜 6 千克 和乙种蔬菜 10 千克需要 200 元．求 m，n 的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100 千克，且投入资金不少于 1160 元又不 多于 1168 元，设购买甲种蔬菜 x 千克，求有哪几种购买方案． （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克 捐出 2a 元，乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于 20%，求 a 的最大值． 【分析】（1）根据“该超市购进甲种蔬菜 10 千克和乙种蔬菜 5 千克需要 170 元；购进甲 种蔬菜 6 千克和乙种蔬菜 10 千克需要 200 元”，即可得出关于 m，n 的二元一次方程组， 解之即可得出结论； （2）设购买甲种蔬菜 x 千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，根据总价＝单价×数量 结合投入资金不少于 1160 元又不多于 1168 元，即可得出关于 x 的一元一次不等式组， 解之即可得出 x 的取值范围，再结合 x 为正整数即可得出各购买方案； （3）设超市获得的利润为 y 元，根据总利润＝每千克的利润×销售数量可得出 y 关于 x 的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润最多的方案，由总利润＝每千克的 利润×销售数量结合捐款后的利润率不低于 20%，即可得出关于 a 的一元一次不等式， 解之取其最大值即可得出结论． 【解答】解：（1）依题意，得： ， 解得： ． 答：m 的值为 10，n 的值为 14． （2）设购买甲种蔬菜 x 千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克， 依题意，得： ， 解得：58≤x≤60． ∵x 为正整数， ∴x＝58，59，60， ∴有 3 种购买方案，方案 1：购买甲种蔬菜 58 千克，乙种蔬菜 42 千克；方案 2：购买甲 第 31页（共 34页） 种蔬菜 59 千克，乙种蔬菜 41 千克；方案 3：购买甲种蔬菜 60 千克，乙种蔬菜 40 千克． （3）设超市获得的利润为 y 元，则 y＝（16﹣10）x+（18﹣14）（100﹣x）＝2x+400． ∵k＝2＞0， ∴y 随 x 的增大而增大， ∴当 x＝60 时，y 取得最大值，最大值为 2×60+400＝520． 依题意，得：（16﹣10﹣2a）×60+（18﹣14﹣a）×40≥（10×60+14×40）×20%， 解得：a≤1.8． 答：a 的最大值为 1.8． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的性 质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次 方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用一次函数 的性质，找出利润最大的购物方案． 28．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB 长是 x2﹣3x﹣18＝0 的根， 连接 BD，∠DBC＝30°，并过点 C 作 CN⊥BD，垂足为 N，动点 P 从 B 点以每秒 2 个 单位长度的速度沿 BD 方向匀速运动到 D 点为止；点 M 沿线段 DA 以每秒 个单位长度 的速度由点 D 向点 A 匀速运动，到点 A 为止，点 P 与点 M 同时出发，设运动时间为 t 秒（t＞0）． （1）线段 CN＝ 3 ； （2）连接 PM 和 MN，求△PMN 的面积 s 与运动时间 t 的函数关系式； （3）在整个运动过程中，当△PMN 是以 PN 为腰的等腰三角形时，直接写出点 P 的坐标． 【分析】（1）解方程求出 AB 的长，由直角三角形的性质可求 BD，BC 的长，CN 的长； （2）分三种情况讨论，由三角形的面积可求解； （3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解． 【解答】解：（1）∵AB 长是 x2﹣3x﹣18＝0 的根， 第 32页（共 34页） ∴AB＝6， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD＝BC，AB＝CD＝6，∠BCD＝90°， ∵∠DBC＝30°， ∴BD＝2CD＝12，BC＝ CD＝6 ， ∵∠DBC＝30°，CN⊥BD， ∴CN＝ BC＝3 ， 故答案为：3 ． （2）如图，过点 M 作 MH⊥BD 于 H， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC＝30°， ∴MH＝ MD＝ t， ∵∠DBC＝30°，CN⊥BD， ∴BN＝ CN＝9， 当 0＜t＜ 时，△PMN 的面积 s＝ ×（9﹣2t）× t＝﹣ t2+ t； 当 t＝ 时，点 P 与点 N 重合，s＝0， 当 ＜t≤6 时，△PMN 的面积 s＝ ×（2t﹣9）× t＝ t2﹣ t； （3）如图，过点 P 作 PE⊥BC 于 E， 第 33页（共 34页） 当 PN＝PM＝9﹣2t 时， ∵PM2＝MH2+PH2， ∴（9﹣2t）2＝（ t）2+（12﹣2t﹣ t）2， ∴t＝3 或 t＝ ， ∴BP＝6 或 ， 当 BP＝6 时， ∵∠DBC＝30°，PE⊥BC， ∴PE＝ BP＝3，BE＝ PE＝3 ， ∴点 P（3 ，3）， 当 BP＝ 时， 同理可求点 P（ ， ）， 当 PN＝NM＝9﹣2t 时， ∵NM2＝MH2+NH2， ∴（9﹣2t）2＝（ t）2+（ t﹣3）2， ∴t＝3 或 24（不合题意舍去）， ∴BP＝6， ∴点 P（3 ，3）， 综上所述：点 P 坐标为（3 ，3）或（ ， ）． 【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，一元二次方程的解法，三角形的面 积公式，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关 键． 第 34页（共 34页） 声明：试 题解析著作权 属菁优网所有 ，未经书面同 意，不得复制 发布 日期：2020/7/21 8:40:31 ；用户： 智翰文化；邮 箱：zhwh998@xyh.com ；学号：37494973