【数学】四川省泸县第一中学2020-2021学年高二上学期开学考试（理）

【数学】四川省泸县第一中学2020-2021学年高二上学期开学考试（理）

四川省泸县第一中学2020-2021学年 高二上学期开学考试（理）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知直线yx+2，则其倾斜角为 A．60° B．120° C．60°或120° D．150°‎ ‎2．的值是 A． B． C． D．‎ ‎3．若，则 A．2 B．4 C． D．‎ ‎4．已知，则 A． B． C． D．‎ ‎5．已知函数，则 A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 ‎6．已知，则 A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数的图像关于轴对称，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎8．下列说法中，正确的是 A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．，，则 ‎9．数列{an}中a1＝﹣2，an+1＝1，则a2019的值为 A．﹣2 B． C． D．‎ ‎10．如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为 A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎12．已知是函数的两个零点，则 A． B．‎ C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．设实数满足，则的最小值为_____‎ ‎14．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球的表面积_____．‎ ‎15．已知为所在平面内一点，且，则_____‎ ‎16．函数，若方程恰有3个不同的实数解，记为，，，则的取值范围是_____.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。‎ ‎17．（10分）已知函数，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎18．（12分）已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）．求 ‎（1）过点A且平行于BC边的直线的方程；‎ ‎（2）BC边的中线所在直线的方程．‎ ‎19．（12分）记公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知=2，是与的等比中项．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和Tn．‎ ‎20．（12分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知 ‎（1）求证：成等差数列；‎ ‎（2）若求.‎ ‎21．（12分）如图1，ABCD为菱形，∠ABC＝60°，△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将△PAB沿AB边折起，使平面PAB⊥平面ABCD，连接PC、PD，如图2，‎ ‎（1）证明：AB⊥PC；‎ ‎（2）求PD与平面ABCD所成角的正弦值 ‎（3）在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MC？若存在，请找出N点的位置；若不存在，请说明理由 ‎22．（12分）已知等比数列的公比，前项和为，且满足.，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和；‎ ‎（3）若，的前项和为，且对任意的满足，求实数的取值范围.‎ 参考答案 ‎1．B 2．B 3．C 4．D 5．A 6．A 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A ‎13．0． 14．. 15． 16．‎ ‎17．（1） ‎ ‎∵，∴ ‎ ‎（2）‎ ‎18．（1）△ABC中，∵A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0），故BC的斜率为，‎ 故过点A且平行于BC边的直线的方程为y+4（x﹣1），即3x﹣4y﹣19＝0．‎ ‎（2）BC的中点为D（2，3），由两点式求出BC边的中线所在直线AD的方程为，‎ 即7x﹣y﹣11＝0．‎ ‎19．解：（Ⅰ）由已知，，即（2+3d）2=（2+d）（2+7d），‎ 解得：d=2（d≠0），‎ ‎∴an=2+2（n-1）=2n；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，‎ ‎∴，‎ ‎∴=．‎ ‎20．解：（Ⅰ）由正弦定理得：‎ 即2分 ‎∴‎ 即4分 ‎∵‎ ‎∴即 ‎∴成等差数列. 6分 ‎（Ⅱ）∵∴8分 又10分 由（Ⅰ）得：∴12分 ‎21．（1）证明：∵△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，‎ ‎∴PM⊥AB．‎ ‎∵ABCD为菱形，∠ABC＝60°．∴CM⊥AB，且PM∩MC＝M，‎ ‎∴AB⊥面PMC，‎ ‎∵PC⊂面PMC，∴AB⊥PC；‎ ‎（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PM⊥AB．‎ ‎∴PM⊥面ABCD，‎ ‎∴∠PDM为PD与平面ABCD所成角．‎ PM，MD，PD sin∠PMD，‎ 即PD与平面ABCD所成角的正弦值为．‎ ‎（3）设DB∩MC＝E，连接NE，‎ 则有面PBD∩面MNC＝NE，‎ ‎∵PB∥平面MNC，∴PB∥NE．‎ ‎∴．‎ 线段PD上存在点N，使得PB∥平面MNC，且PN．‎ ‎22．（1）由得，所以，‎ 由，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项，‎ 得，‎ 即，即，即，‎ 因为，所以，所以.‎ ‎（2）由于，所以，‎ 所以，‎ ‎，‎ 两式相减得，，‎ 所以 ‎（3）由知，‎ ‎∴‎ ‎，∴，解得或.‎ 即实数的取值范围是