【数学】2020届一轮复习浙江专版4-7正弦定理和余弦定理作业

【数学】2020届一轮复习浙江专版4-7正弦定理和余弦定理作业

课时跟踪检测（二十六） 正弦定理和余弦定理 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 ‎1．(2019·绍兴模拟)在△ABC中，已知内角C为钝角，sin C＝，AC＝5，AB＝3，则BC＝(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　 　B．3‎ C．5 D．10‎ 解析：选A　由题意知，cos C＝－.由余弦定理，得－＝，解得BC＝2(负值舍去)．‎ ‎2．(2019·台州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积S＝2cos C，a＝1，b＝2，则c＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　由题意得，S＝absin C＝2cos C，所以tan C＝2，所以cos C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝17，所以c＝.‎ ‎3．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于(　　 )‎ A. B. C. D. 解析：选B　由余弦定理得()2＝22＋AB2－2×2AB·cos 60°，即AB2－2AB－3＝0，解得AB＝3(负值舍去)，故BC边上的高为ABsin 60°＝.‎ ‎4．(2018·杭州二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos C＝________；当a＝1时，△ABC的面积S＝________.‎ 解析：由正弦定理可知，a∶b∶c＝2∶3∶4，设a＝2t，b＝3t，c＝4t，由余弦定理可得cos C＝＝－，所以sin C＝.因为a＝1，所以b＝，所以S＝absin C＝.‎ 答案：－　 ‎5．在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝________.‎ 解析：在△ABM中，由正弦定理得＝＝，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，所以a＝，整理得(3a2－2c2)2＝0，＝，故sin∠BAC＝＝.‎ 答案： 二保高考，全练题型做到高考达标 ‎1．(2019·温州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asin A＝bsin B＋(c－b)sin C，则角A的大小为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　∵asin A＝bsin B＋(c－b)sin C，∴由正弦定理可得a2＝b2＋c2－bc.由余弦定理可得cos A＝＝，∴A＝.‎ ‎2．在△ABC中，若lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，则△ABC的形状是(　　 )‎ A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 解析：选D　由条件得＝2，即2cos Bsin C＝sin A．由正、余弦定理得2··c＝a，整理得c＝b，故△ABC为等腰三角形．‎ ‎3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝(　　 )‎ A．2 B．2‎ C. D．1‎ 解析：选B　由已知及正弦定理得＝＝＝，所以cos A＝，A＝30°.由余弦定理得12＝()2＋c2－2c××，整理得c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2.当c＝1时，△ABC为等腰三角形，A＝C＝30°，B＝2A＝60°，不满足内角和定理，故c＝2.‎ ‎4．(2018·浙江三地市联考)设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，则的取值范围是(　　)‎ A．(0,1) B．(1，)‎ C．(，) D．(0,2)‎ 解析：选C　因为A＝2B，所以＜B＜.由正弦定理，得＝＝＝2cos B∈(，)．‎ ‎5．(2019·天台模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos A＝，3sin B＝2sin C，且△ABC的面积为2，则a＝(　　)‎ A．2 B．3‎ C．2 D． 解析：选B　因为cos A＝，所以sin A＝.因为3sin B＝2sin C，所以3b＝2c.所以S△ABC＝2＝bcsin A＝b2×，解得b＝2，所以c＝3.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋9－2×2×3×＝9，解得a＝3.‎ ‎6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________.‎ 解析：∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b.‎ 又a＝2，∴b＝3.‎ 由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C，‎ ‎∴c2＝22＋32－2×2×3×＝16，‎ ‎∴c＝4.‎ 答案：4‎ ‎7．(2019·余姚中学模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2cos A(bcos C＋ccos B)＝a＝，△ABC的面积为3，则A＝________，b＋c＝________.‎ 解析：由正弦定理可得，2cos A(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝2cos Asin A＝sin A，所以cos A＝，解得A＝.因为S△ABC＝3＝bcsin A＝bc，所以bc＝12.由余弦定理可得，13＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，所以(b＋c)2＝49，解得b＋c＝7.‎ 答案：　7‎ ‎8．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则△ABC的周长的最大值为________．‎ 解析：由正弦定理得＝＝＝，即＝＝2，则BC＝2sin A，AB＝2sin C，又△ABC的周长l＝BC＋AB＋AC＝2sin A＋2sin C＋＝2sin(120°－C)＋2sin C＋＝2sin 120°cos C－2cos 120°sin C＋2sin C＋＝ cos C＋3sin C＋＝2＋ ‎＝2sin＋，故△ABC的周长的最大值为3.‎ 答案：3 ‎9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(a－3b)·cos C＝c(3cos B－cos A)．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若c＝a，求角C的大小．‎ 解：(1)由正弦定理得，(sin A－3sin B)cos C＝sin C(3cos B－cos A)，‎ ‎∴sin Acos C＋cos Asin C＝3sin Ccos B＋3cos Csin B，‎ 即sin(A＋C)＝3sin(C＋B)，即sin B＝3sin A，∴＝3.‎ ‎(2)由(1)知b＝3a，∵c＝a，‎ ‎∴cos C＝＝＝＝，‎ ‎∵C∈(0，π)，∴C＝.‎ ‎10．(2019·湖州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(sin A＋sin B＋sin C)(sin B＋sin C－sin A)＝3sin Bsin C.‎ ‎(1)求角A的值；‎ ‎(2)求sin B－cos C的最大值．‎ 解：(1)因为(sin A＋sin B＋sin C)(sin B＋sin C－sin A)＝3sin Bsin C，‎ 由正弦定理，得(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，‎ 所以b2＋c2－a2＝bc，‎ 所以cos A＝＝，‎ 因为A∈(0，π)，所以A＝.‎ ‎(2)由A＝，得B＋C＝，‎ 所以sin B－cos C＝sin B－cos ‎＝sin B－ ‎＝sin.‎ 因为0＜B＜，所以＜B＋＜，‎ 当B＋＝，即B＝时，sin B－cos C的最大值为1.‎ 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 ‎1．(2019·嘉兴模拟)已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C.若a2＋2b2＝c2，则＝________，tan B的最大值为________．‎ 解析：因为a2＋2b2＝c2＞a2＋b2，所以C为钝角．‎ 所以＝＝＝＝＝－3.‎ 所以tan C＝－3tan A，‎ 则tan B＝－tan(A＋C)＝＝ ‎＝≤＝，‎ 当且仅当tan A＝时取等号，‎ 故tan B的最大值为.‎ 答案：－3　 ‎2．(2019·杭州名校联考)在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别为a，b，c.已知2ccos B＝2a－b.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若＝2，求△ABC面积的最大值．‎ 解：(1)因为2ccos B＝2a－b，‎ 所以2sin Ccos B＝2sin A－sin B＝2sin(B＋C)－sin B，‎ 化简得sin B＝2sin Bcos C，‎ 因为sin B≠0，所以cos C＝.‎ 因为0＜C＜π，所以C＝.‎ ‎(2)取BC的中点D，则＝||＝2.‎ 在△ADC中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos C，‎ 即有4＝b2＋2－≥2 －＝，‎ 所以ab≤8，当且仅当a＝4，b＝2时取等号．‎ 所以S△ABC＝absin C＝ab≤2，‎ 所以△ABC面积的最大值为2.‎