2020年全国Ⅲ卷高考文数真题试卷(含答案)
2020 年全国Ⅲ卷高考文数真题试卷(含答案)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1.已知集合 1 2 3 5 7 1 1A ,,,,, , 315|Bxx ,则 A∩B 中元素的个数为
A.2 B.3 C.4 D.5
2.若 )( 1 i 1 iz ,则 z=
A.1–i B.1+i C.–i D.i
3.设一组样本数据 x1,x2,…,xn 的方差为 0.01,则数据 10x1,10x2,…,10xn 的方差为
A.0.01 B.0.1 C.1 D.10
4.Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领城.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺
炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位:天)的 Logistic 模型: 0.23(53)()=
1e tI Kt ,其中 K 为最大确诊病例数.当
I( *t )=0.95K 时,标志着已初步遏制疫情,则 约为(ln19≈3)
A.60 B.63 C.66 D.69
5.已知 πsinsin= 3( )1,则 πsin= 6 ( )
A. 1
2 B. 3
3
C. 2
3 D. 2
2
6.在平面内,A,B 是两个定点,C 是动点,若 =1ACBC ,则点 C 的轨迹为
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线
7.设 O 为坐标原点,直线 x=2 与抛物线 C: 2 20ypxp交于 D,E 两点,若 OD⊥OE,则 C 的焦点坐
标为
A.( 1
4 ,0) B.( 1
2 ,0) C.(1,0) D.(2,0)
8.点 (0 )1, 到直线 1ykx距离的最大值为
A.1 B. 2 C. 3 D.2
9.如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是
A.6+4 2 B.4+4 C.6+2 3 D.4+2
10.设 a=log32,b=log53,c= 2
3 ,则
A.a
0,b>0)的一条渐近线为 y= 2 x,则 C 的离心率为_________.
15.设函数 e()
x
fx xa
.若 e(1) 4f ,则 a=_________.
16.已知圆锥的底面半径为 1,母线长为 3,则该圆锥内半径最大的球的体积为_________.
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生
都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.(12 分)
设等比数列{an}满足 124aa, 13 8aa.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记 nS 为数列{log3an}的前 n 项和.若 13mmmS S S ,求 m.
18.(12 分)
某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据
得到下表(单位:天):
锻炼人次
空气质量等级
[0,200] (200,400] (400,600]
1(优) 2 16 25
2(良) 5 10 12
3(轻度污染) 6 7 8
4(中度污染) 7 2 0
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4 的概率;
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(3)若某天的空气质量等级为 1 或 2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为 3 或 4,则称
这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的 2×2 列联表,并根据列联表,判断是否有 95%的把握认
为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?
人次≤400 人次>400
空气质量好
空气质量不好
附:
2
2 ()
()()()()
n adbcK abcdacbd
,
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
19.( 12 分)
如图,在长方体 1 1 11ABCDA B C D 中,点 E ,F 分别在棱 1DD , 1BB 上,且 12DEED , 12BFFB .证
明:
(1)当 AB BC 时, EF AC ;
(2)点 1C 在平面 AEF 内.
20.( 12 分)
已知函数 32()fxxkxk .
(1)讨论 ()fx的单调性;
(2)若 ()fx有三个零点,求 k 的取值范围.
21.( 12 分)
已知椭圆
22
2:1(05)25
xyCm
m
的离心率为 15
4
, A , B 分别为 C 的左、右顶点.
(1)求 的方程;
(2)若点 P 在 C 上,点 Q 在直线 6x 上,且||||BPBQ , BPBQ ,求 APQ△ 的面积.
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程] (10 分)
在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为
2
2
2
2 3
xtt
ytt
,
(t 为参数且 t≠1),C 与坐标轴交于 A,B 两
点.
(1)求 ||AB ;
(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AB 的极坐标方程.
23.[选修 4-5:不等式选讲] (10 分)
设 a,b,c∈R, a+b+c=0,abc=1.
(1)证明:ab+bc+ca<0;
(2)用 max{a,b,c}表示 a,b,c 中的最大值,证明:max{a,b,c}≥ 3 4 .
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案
选择题答案
一、选择题
1.B 2.D 3.C 4.C
5.B 6.A 7.B 8.B
9.C 10.A 11.C 12.D
非选择题答案
二、填空题
13.7 14. 3 15.1 16. 2
3
三、解答题
17.解:(1)设 {}na 的公比为 q ,则 1
1
n
na a q .由已知得
11
2
11
4
8
aaq
aqa
,
解得 1 1,3aq.
所以 的通项公式为 1=3n
na .
(2)由(1)知 3log1.nan 故 (1) .2n
nnS
由 13mmmSSS 得 (1)(1)(3)(2)m mmmmm ,即 2 5 6 0mm .
解得 1m (舍去), 6m .
18.解:(1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4 的概率的估计值如下表:
空气质量等级 1 2 3 4
概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09
(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
1 (100 20 300 35 500 45) 350100 .
(3)根据所给数据,可得 22 列联表:
人次≤400 人次>400
空气质量好 33 37
空气质量不好 22 8
根据列联表得
2
2 100(3382237) 5.82055457030K
.
由于 5.820 3.841 ,故有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
19.解:(1)如图,连结 BD , 11BD .因为 AB BC ,所以四边形 A B CD 为正方形,故 AC BD .
又因为 1BB 平面 A B CD ,于是 1A C B B .所以 AC 平面 11B B D D .
由于 EF 平面 ,所以 EF AC .
(2)如图,在棱 1AA 上取点 G ,使得 12AGGA ,连结 1GD , 1FC , FG ,
因为 11
2
3DEDD , 1
2
3AGAA , 11DD AA∥ ,所以 1EDAG∥ ,于是四边形 1E DG A 为平行四边形,
故 1AEGD∥ .
因为 11
1
3BFBB , 11
1
3AGAA , 11BB AA∥ ,所以 11FG A B∥ , 11FG C D∥ ,四边形 11F G D C 为平行
四边形,故 11GDFC∥ .
于是 1AEFC∥ .所以 1, , ,A E F C 四点共面,即点 1C 在平面 AEF 内.
20.解:(1) 2( ) 3f x x k .
当k=0时, 3()f x x ,故 ()fx在 () , 单调递增;
当k<0时, 2( ) 3 0f x x k ,故 在 单调递增.
当k>0时,令 ()0fx,得 3
3
kx .当 3(,) 3
kx 时, ()0fx;当 33(,) 33
kkx 时, ()0fx;
当 3( , )3
kx 时, .故 ()fx在 3( , )3
k , 3( , )3
k 单调递增,在 33( , )33
kk 单调递
减.
(2)由(1)知,当 0k 时, ()fx在 () , 单调递增, 不可能有三个零点.
当k>0时, 3= 3
kx 为 的极大值点, 3= 3
kx 为 的极小值点.
此时, 331133
kkkk 且 ( 1) 0fk , ( 1) 0fk, 3( ) 0 3
kf .
根据 的单调性,当且仅当 3( ) 03
kf ,即 2 23 09
kkk 时, 有三个零点,解得
4
27k .因此k的取值范围为 ( 0 ) 4
27
, .
21.解:(1)由题设可得
22 5 1 5
54
m ,得 2 25
16m ,
所以C 的方程为
22
12525
16
xy.
(2)设 (,),(6,)PPQPxyQy ,根据对称性可设 0Qy ,由题意知 0Py ,
由已知可得 ( 5 ,0 )B ,直线 BP 的方程为
1 (5)
Q
yxy ,所以 2||1 PQBPyy, 2||1 QBQy,
因为||||BPBQ ,所以 1Py ,将 代入 的方程,解得 3Px 或 3 .
由直线 BP 的方程得 2Qy 或 8.
所以点 ,PQ的坐标分别为 1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)PQPQ .
11||10PQ ,直线 11PQ 的方程为 1
3yx ,点 ( 5 ,0 )A 到直线 的距离为 10
2
,故 11APQ△ 的面
积为 1105 10222 .
22||130PQ ,直线 22PQ 的方程为 7 10
93yx,点 A 到直线 22PQ 的距离为 130
26
,故 22APQ△ 的
面积为 1 130 51302 26 2 .
综上, APQ△ 的面积为 5
2 .
22.[选修 4—4:坐标系与参数方程]
解:(1)因为 t≠1,由 220tt 得 2t ,所以 C 与 y 轴的交点为(0,12);
由 22 3 0 tt 得 t=2,所以 C 与 x 轴的交点为 ( 4 ,0) .
故 | | 4 1 0AB .
(2)由(1)可知,直线 AB 的直角坐标方程为 14 12
xy ,将 cossinxy, 代入,
得直线 AB 的极坐标方程3 cos sin 12 0 .
23.[选修 4—5:不等式选讲]
解:(1)由题设可知,a,b,c 均不为零,所以
22221[()()]2abbccaabcabc
2221 ()2 abc
0 .
(2)不妨设 max{a,b,c}=a,因为 1, ( )abc a b c ,所以 a>0,b<0,c<0.由
2()
4
bcbc ,可得
3
4
aabc ,
故 3 4a ,所以 3m a x { , , } 4abc .