【数学】2019届一轮复习人教A版 立体几何 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 立体几何 学案

二、小题专项，限时突破 ‎4.立体几何 ‎(时间：40分钟)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分)‎ ‎1．(2017·湛江调研)若直线l与平面α相交，则( )‎ A．平面α内存在直线与l异面 B．平面α内存在唯一一条直线与l平行 C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直 D．平面α内的直线与l都相交 ‎[解析] 当直线l与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A正确；该平面内不存在与直线l平行的直线，故B错误；该平面内有无数条直线与直线l垂直，所以C错误，平面α内的直线与l可能异面，故D错误，故选A.‎ ‎[答案] A ‎2．(2017·唐山一模)下列命题正确的是( )‎ A．若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行 B．若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行 C．若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行 ‎[解析] A选项中两条直线可能平行也可能异面或相交；对于B选项，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1和平面BCC1B1与B1D1所成的角相等，但这两个平面垂直；D选项中两平面也可能相交．C正确．‎ ‎[答案] C ‎3．(2018·陕西部分学校第一学期摸底检测)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成的三棱锥C－ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )‎ A. B. C. D. ‎[解析] 由三棱锥C－ABD的正视图、俯视图得三棱锥C－ABD的侧视图为直角边长是的等腰直角三角形，如图所示，所以三棱锥C－ABD的侧视图的面积为，故选D.‎ ‎[答案] D ‎4．在空间中，下列命题正确的是( )‎ A．互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线 B．若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β C．若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥m，则直线n⊥平面β D．若平面α内的三点A，B，C到平面β的距离相等，则α∥β ‎[解析] 若直线与平面垂直，其射影是点，故A错误；由两平面平行的定义可知，平面α内任意一条直线m∥平面β，故B正确；若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥m，只有当平面α⊥平面β时，才有直线n⊥平面β，故C不正确；若平面α内的三点A，B，C到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D不正确．故选B.‎ ‎[答案] B ‎5．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB＝，BC＝，AC＝2，则此三棱锥的外接球的体积为( )‎ A.π B.π C.π D.π ‎[解析] 设三条侧棱的长度分别为x，y， ，故由已知可得所以x2＋y2＋ 2＝8.故三棱锥的外接球半径r＝＝×＝ ‎，故三棱锥的外接球的体积V＝r3＝.故选B.‎ ‎[答案] B ‎6．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是( )‎ A. B. C. D. ‎[解析] 因为AC∥A1C1，所以∠BA1C1(或其补角)就是所求异面直线A1B与AC所成的角，连接BC1，在△BA1C1中，A1B＝，A1C1＝1，BC1＝，cos∠BA1C1＝＝.‎ ‎[答案] C ‎7．过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图如图所示，则原圆锥的体积为( )‎ A．1 B. C. D. ‎[解析] 由三视图可得底面圆的半径为＝2，圆锥的高为＝2，所以原圆锥的体积为π×22×2＝，故选D.‎ ‎[答案] D ‎8．(2017·连城一模)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )‎ A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β ‎[解析] 因为直线m∥α，m∥β，α∩β＝l，所以m∥l，所以AB∥m正确，AC⊥m正确；根据线面平行的判定定理可得AB∥β正确；当直线AC不在平面α内时，尽管AC⊥l，AC与平面β可以平行，也可以相交(不垂直)，所以AC⊥β不一定成立．故选D.‎ ‎[答案] D ‎9．(2017·潍坊一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥‎ 底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )‎ A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1‎ C．AE⊥B1C1‎ D．A1C1∥平面AB1E ‎[解析] 对于A，CC1与B1E均在侧面BCC1B1内，又两直线不平行，故相交，A错误；对于B，AC与平面ABB1A1所成的角为60°，所以AC不垂直于平面ABB1A1，故B错误；对于C，AE⊥BC，BC∥B1C1，所以AE⊥B1C1，故C正确；对于D，AC与平面AB1E有公共点A，AC∥A1C1，所以A1C1与平面AB1E相交，故D错误．‎ ‎[答案] C ‎10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一个直角三角形，一个锐角为30°，则该几何体的表面积为( )‎ A．24＋12 B．24＋5 C．12＋15 D．12＋12 ‎[解析] 由已知可得，该几何体为三棱柱，底面是斜边长为4，斜边上的高为的直角三角形，底面面积为2，底面周长为6＋2，棱柱的高为4，故棱柱的表面积S＝2×2＋4×(6＋2)＝24＋12，故选A.‎ ‎[答案] A ‎11．(2017·惠州调研)已知三棱锥S－ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB＝2，SA＝SB＝SC＝2，则三棱锥S－ABC的外接球的球心到平面ABC的距离是( )‎ A. B．1 C. D. ‎[解析] ∵三棱锥S－ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA＝SB＝SC＝2，∴S在底面ABC内的射影为AB的中点H，连接SH，CH，∴SH⊥平面ABC，∴SH上任意一点到A，B，C的距离相等．∵SH＝，CH＝1，在面SHC内作SC的垂直平分线MO，交SH于点O，交SC于点M，则O为三棱锥S－ABC 的外接球的球心．∵SC＝2，∴SM＝1，∠OSM＝30°，∴SO＝，OH＝，∴O到平面ABC的距离为，故选A.‎ ‎[答案] A ‎12．(2017·南昌二模)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝2，AA1＝，则直线AA1与平面AB1C1所成的角为( )‎ A. B. C. D. ‎[解析] 直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝，即AB⊥AC，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y， 轴正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B1(0,2，)，C1(2,0，)，A1(0,0，)，＝(0,0，)，＝(0,2，)，(2,0，)．设平面AB1C1的法向量为n＝(x，y， )，则得令x＝1，则y＝1， ＝－，所以n＝.设直线AA1与平面AB1C1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n， ‎〉|＝，所以θ＝.‎ ‎[答案] A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)‎ ‎13．(2017·南京一模)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β；‎ ‎②若a⊥b，a⊥α，则b∥α；‎ ‎③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；‎ ‎④若a∥α，a⊥β，则α⊥β.‎ 其中真命题的个数是________．‎ ‎[解析] ①a⊥b，不妨设a，b相交(如异面平移到相交位置)，确定一个平面γ，设平面γ与平面β的交线为c，则由b⊥β，得b⊥c，从而a∥c，于是c⊥α，所以β⊥α，①正确；②若a⊥b，a⊥α，b可能在α内，②错误；③若a⊥β，α⊥β，a可能在α内，③错误；④若a∥α，则由线面平行的性质定理知，在α内有直线l与a平行，又a⊥β，则l⊥β，从而α⊥β，④正确．故真命题的个数是2.‎ ‎[答案] 2‎ ‎14．已知某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为________．‎ ‎[解析] 由三视图可知，该几何体是一个放倒的四棱锥(如图所示)．该四棱锥的底面是一个边长分别为，2的矩形，高为，其底面积S＝×2＝2，故体积V＝Sh＝×2×＝.‎ ‎[答案] ‎15．如图，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为h1，且h1＝h，若将圆锥倒置，水面的高为h2，则h2＝________.‎ ‎[解析] 设圆锥形容器的底面积为S，则倒置前水面的面积为S，所以水的体积V＝Sh－×S(h－h1)＝Sh.设倒置后水面的面积为S′，则＝2，所以S′＝，所以水的体积V＝S′h2＝，所以Sh＝，解得h2＝h.‎ ‎[答案] h ‎16．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．‎ ‎[解析] 以D为原点，以的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系，∵正方体ABCD－A1B1C1D1有棱长为2，∴D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，∴＝(2,0,2)，＝(2,2,0)，＝(－2,0,0)，设平面A1DB的法向量n＝(x，y， )，∵n·＝0，n·＝0，‎ ‎∴令x＝1，则y＝ ＝－1，∴n＝(1，－1，－1)，∴点D1到平面A1‎ BD的距离d＝＝.‎ ‎[答案]