河南省名校(南阳一中、信阳、漯河、平顶山一中四校)2020届高三3月线上联合考试数学(文)试题 Word版含解析

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河南省名校(南阳一中、信阳、漯河、平顶山一中四校)2020届高三3月线上联合考试数学(文)试题 Word版含解析

www.ks5u.com 河南名校(四校)高三线上联合考试 数学(文科)‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项合题目要求的.‎ ‎1.设,则的共轭复数在复平面内的对应点在( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法的运算法则和共轭复数的定义进行求解即可.‎ ‎【详解】,.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了复数的除法运算的法则,考查了共轭复数的定义,考查了复数在复平面的位置特征,考查了数学运算能力.‎ ‎2.设集合,,则集合( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的单调性和定义域,结合集合并集的定义进行求解即可.‎ ‎【详解】由题意得,,故.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了对数不等式的解法,考查了集合并集的定义,考查了数学运算能力.‎ ‎3.设,,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数、指数函数的单调性和三角函数正负性进行求解即可.‎ ‎【详解】由指数函数的性质可得,由对数函数的性质可得,根据余弦函数的性质可得,所以.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了对数式、指数式、三角式的大小判断,考查了指数函数、对数函数的单调性和三角函数的正负性,属于基础题.‎ ‎4.中国古代用算筹来进行记数,算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示),表示一个多位数时,像阿拉伯记数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,其中个位、百位、万位……用纵式表示,十位、千位、十万位……用横式表示,则56846可用算筹表示为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案.‎ ‎【详解】解:根据题意可得,各个数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位用纵式表示;十位,千位,十万位用横式表示,‎ 用算筹表示应为:纵5横6纵8横4纵6,从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为中的.‎ - 23 -‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题主要考查学生的合情推理与演绎推理,属于基础题.‎ ‎5.已知某函数图象如图所示,则图象所对应的函数可能是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象所反应的性质,结合四个选项的函数求导数判断单调性,逐一判断即可.‎ ‎【详解】对于A:函数是奇函数,不满足题意;‎ 对于B:当时,,令,当时,,单调递增,当时,,单调递减,因此的最小值为:,所以,即,‎ 单调递增,不满足题意;‎ 对于C:当时,,当时,,函数单调递增,不满足题意;‎ 对于D:函数为偶函数,且当时, ,令,当时,,单调递增,当时,,单调递减,因此的最小值为:,当时,,当时,,因此函数有两个零点,‎ - 23 -‎ 设为,显然当时,,即,函数单调递增,当时,,即,函数单调递减,当时,,即,函数单调递增,满足题意.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了已知函数的图象判断函数的解析式,考查了偶函数的性质,考查了导数的应用.‎ ‎6.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试,先将600个零件进行编号,编号分别为001,002,…,599,600,从中抽取60个样本,下面提供随机数表的第4行到第6行:‎ 若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据,则得到的第5个样本编号是( )‎ A. 522 B. 324 C. 535 D. 578‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机数表法的应用,按照已知的要求选出五个三个数字组成编号即可.‎ ‎【详解】第6行第6列开始的数为808(不合),436,789(不合),535,577,348,994(不合),837(不合),522,则满足条件的5个样本编号为436,535,577,348,522,则第5个编号为522.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了随机数表的应用,属于基础题.‎ ‎7.已知,则的近似值为( )‎ A. 1.773 B. 1.782 C. 1.796 D. 1.815‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用诱导公式,结合辅助角公式进行求解即可.‎ - 23 -‎ 详解】.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了诱导公式,考查了辅助公式,考查了数学运算能力.‎ ‎8.已知向量,,,则当取最小值时,实数( )‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量的加法的几何意义、共线的性质结合平面向量的坐标表示公式求出的坐标,再利用平面向量模的坐标表示公式,结合配方法进行求解即可.‎ ‎【详解】由,得,‎ ‎,则当时,有最小值.故选:A ‎【点睛】本题考查了平面向量的加法的几何意义,考查了平面向量的模的坐标表示公式、加减法、数乘的坐标表示公式,考查了数学运算能力.‎ ‎9.在如图所示的程序框图中,执行所给的程序后,则输出的和的关系为( )‎ - 23 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断再进入循环体,直至退出循环体,输出,的值,进行判断即可.‎ ‎【详解】根据题中所给的程序框图,在执行完后,可知输出的,的值分别是,,由四个选项可以发现.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了程序框图循环结构的输出问题,考查了整数的整除性,属于基础题.‎ ‎10.抛物线()的焦点为,半径为3的圆过点、,且与抛物线的准线相切,则的值为( )‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出圆的标准方程,求出抛物线的焦点坐标,根据圆的切线的性质进行求解即可.‎ ‎【详解】依题意,设圆的方程为:,抛物线()的焦点,‎ - 23 -‎ 已知得,解得.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了圆的切线的性质,考查了待定系数法,考查了数学运算能力.‎ ‎11.将函数的图象向右平移()个单位长度后得到函数的图象,若在区间上单调递增,则满足条件的实数的最小值与最大值的和是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合二倍角的正弦公式可以化简函数的解析式,根据平移变换的解析式变化的规律可以求出函数的解析式,最后根据正弦型函数的单调性进行求解即可.‎ ‎【详解】,将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,则,,可得,,‎ 即函数的单调递增区间为,,‎ 因为在区间上单调递增,则即 则,,‎ 令,得,满足,‎ - 23 -‎ 的最大值和最小值的和为.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查二倍角的正弦公式的应用,考查了正弦型函数的单调性和图象平移的变换特征,考查了数学运算能力.‎ ‎12.已知,是双曲线(,)的左、右焦点,点是双曲线上第二象限内一点,且直线与双曲线的一条渐近线平行,的周长为,则该双曲线的离心率为( )‎ A. 2 B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的定义,结合三角形的周长可以求出和的表达式,根据线线平行,斜率的关系,结合余弦定理进行求解即可.‎ ‎【详解】由题意知,,‎ 解得,,‎ 直线与平行,则,得,‎ ‎,‎ 化简得,即,解得.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查了双曲线的定义的应用,考查了余弦定理的应用,考查了数学运算能力.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,把答案填在答题卡中对应题号后的橫线上.‎ - 23 -‎ ‎13.已知函数的一个极值点为1,则曲线在点处的切线方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导,利用函数的极值的定义可以求出的值,最后根据导数的几何意义进行求解即可.‎ ‎【详解】,由,有,‎ 又切点为,,则切线方程为,.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求曲线的切线方程,考查了函数极值的定义,考查了数学运算能力.‎ ‎14.已知等比数列的前项和为,且,,则______.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合等比数列的通项公式,由已知条件,可得到两个等式,这两个等式相除可以求出等比数列的公比,进而可以求出首项,最后根据等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为,则,,‎ 两式相除可得,解将,,.‎ 故答案为:7‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前项和公式的应用,考查了数学运算能力.‎ ‎15.函数()的最小值为______.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 根据余弦的二倍角的公式,应用换元法,根据二次函数的单调性进行求解即可.‎ ‎【详解】,‎ 令,,,‎ 当时,取最小值为0.故的最小值为0.‎ 故答案为:0‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式,考查了二次函数的单调性,考查了换元法,考查了数学运算能力.‎ ‎16.将一块正方形纸片先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形,然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个体积为的四棱锥模型,该四棱锥底面是正方形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面中心.将该四棱锥如图2放置,若其正视图为正三角形,则正方形纸片的边长为______.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 正三角形的边长为,根据四棱锥的体积公式,可以求出正三角形的边长,设正方形纸片的边长为,又四棱锥的斜高为,根据折叠中的不变性进行求解即可.‎ ‎【详解】四棱锥正视图为正三角形,设正三角形的边长为,其高为,即四棱锥的高为,‎ 则,,‎ - 23 -‎ 设正方形纸片的边长为,又四棱锥的斜高为,由已知折叠过程可得,‎ ‎,则,.‎ 故答案为:6.‎ ‎【点睛】本题考查了四棱锥的体积公式,考查了图形折叠的性质,考查了空间想象能力和数学运算能力.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ ‎17.已知数列的前项和,数列满足.‎ ‎(1)求数列、的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据当时,可以求出数列的通项公式,再验证当时,首项是否适合;再根据,结合对数与指数互化公式进行求解即可;‎ ‎(2)化简数列的通项公式,利用分组求和的方法,结合等比数列前项和、裂项相消法进行求解即可.‎ ‎【详解】(1)由,‎ 当时,,‎ 时,对上式也成立,‎ ‎∴;‎ 又,,‎ - 23 -‎ ‎(2),‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了已知数列前项和求通项公式,考查了分组求和法,考查了裂项相消法,考查了数学运算能力.‎ ‎18.某企业积极响应国家“科技创新”的号召,大力研发人工智能产品,为了对一批新研发的产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据,如下表所示:‎ 试销单价(百元)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 产品销量(件)‎ ‎91‎ ‎86‎ ‎78‎ ‎73‎ ‎70‎ 附:参考公式:,,‎ 参考数据:,,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)已知变量,具有线性相关关系,求产品销量(件)关于试销单价(百元)的线性回归方程(计算结果精确到整数位);‎ ‎(3)用表示用正确线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据的残差的绝对值时,则将销售数据称为一个“有效数据”.现从这6组销售数据中任取2组,求抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率.‎ ‎【答案】(1)(2)见解析(3)见解析 - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据平均数的定义,结合题中所给的数据进行求解即可;‎ ‎(2)利用平均数的定义,可以求出的值,再利用已知所给的数据进行求解即可;‎ ‎(3)根据已知,结合(2)所求的线性回归方程可以求出满足已知的有效数据,最后利用列举法,根据古典概型计算公式进行求解即可.‎ ‎【详解】(1)由,得,‎ 解得.‎ ‎(2)∵,‎ 而,,,‎ ‎∴,‎ 所求的线性回归方程为:;‎ 或者,所求的线性回归方程为:‎ ‎(3)若回归方程为:时,‎ 当时,;当时,;当时,;当时,;当时,;当时,.满足条件的“有效数据”有:,,,共4个,‎ 记,,,,,,从6组销售数据中任取2组,基本事件有:,,,,,,,,,,,,,,,共15种,‎ 抽取的2组销售数据都是“有效数据”的事件有:,,,,,,共6种,‎ 所以抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率为.‎ 若回归方程为:时,‎ - 23 -‎ 当时,;当时,;当时,;当时,;当时,;当时,.满足条件的“有效数据”有:,共1个,‎ 记,,,,,,从6 ‎ 抽取的2组销售数据都是“有效数据”的事件不存在 所以抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率为0.‎ ‎【点睛】本题考查了平均数的定义,考查了线性回归方程的求法,考查了古典概型计算公式,考查了数学运算能力.‎ ‎19.如图,在四棱锥中,平面,,,,,直线与平面所成的角为,是的中点.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正切值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据已知可以证明出为平行四边形,利用平行四边形的性质,结合余弦定理,勾股定理的逆定理,根据线面、面面垂直的判定定理进行证明即可;‎ ‎(2)设为中点,连接,,则,由(1)中的结论可以证明平面平面,从而有平面,为直线与平面所成的角,利用锐角的三角函数值定义进行求解即可.‎ ‎【详解】(1)由已知,,且,则为平行四边形,‎ ‎,又,则,由知,‎ - 23 -‎ 则为正三角形,‎ 在中,,,‎ 由余弦定理知,,‎ 有,,‎ 又,,则平面,‎ 而平面,则平面平面.‎ ‎(2)设为中点,连接,,则,‎ 因为平面,平面,则平面平面,‎ 则平面,为直线与平面所成的角,‎ 又直线与平面所成的角为,则,‎ 又,,‎ 所以在中,,‎ 即直线与平面所成角的正切值为.‎ ‎【点睛】本题考查了证明面面垂直,考查了求线面角的正切值,考查了推理论证能力和数学运算能力.‎ ‎20.已知椭圆()的离心率为,左、右焦点分别为、,为椭圆的下顶点,交椭圆于另一点、的面积.‎ - 23 -‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)过点作直线交椭圆于、两点,点关于轴的对称点为,问:直线是否过定点?若是,请求出定点的坐标;若不是,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)(2)直线过定点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据椭圆离心率的公式和椭圆中的关系,可以判断出的形状,最后结合椭圆的定义和三角形的面积公式进行求解即可;‎ ‎(2)设出直线的方程,与椭圆的方程联立,利用根与系数关系,三点共线进行求解即可.‎ ‎【详解】(1)由椭圆离心率,则,,,‎ ‎∴是等腰直角三角形,‎ 又,‎ 在中,,即.‎ 解得,,,‎ ‎∴的面积为,,,‎ ‎∴椭圆方程为.‎ ‎(2)设,,则,‎ 设直线与轴交于点,直线的方程为(),‎ - 23 -‎ 由有,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ 由、、三点共线,,即,‎ 将,代入整理得,‎ 即,‎ 从而,即,解得,此时满足.‎ 则直线的方程为,故直线过定点.‎ ‎(其他解法正确同样给分)‎ ‎【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了椭圆中直线过定点问题,考查了数学运算能力.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)当时,不等式恒成立,求实数的最大值和的最小值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)的最大值为,的最小值为1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)当时,对函数进行求导,利用导数可以求出函数的最小值,利用奇偶性再进行判断即可;‎ ‎(2)化简,不等式可以转化为:,,令 - 23 -‎ ‎,求导,根据的不同取值,判断出函数的单调性,最后分类讨论进行求解即可.‎ ‎【详解】(1)当时,,,‎ 当时,,则,‎ 当时,,则,‎ 则当时,,在上为增函数,,‎ 又函数为偶函数,则对任意,成立,‎ ‎(2),‎ 当时,,即为,‎ ‎,即为,‎ 令,则,‎ 当时,在上,,在上为增函数,;‎ 当时,在上,,在上为减函数,;‎ 当时,存在唯一的,使得,‎ 与在区间上的情况如下:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 增 极大值 减 - 23 -‎ 在区间上是增函数,,‎ 进一步,当时,当且仅当,‎ 可得.‎ 综上所述,当且仅当时,在上恒成立;‎ 当且仅当时,在上恒成立,‎ 所以的最大值为,的最小值为1.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数证明不等式,考查了已知不等式恒成立求参数问题,考查了数学运算能力.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,若多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中,直线的方程为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)已知点,直线与轴正半轴交于点,与曲线交于,两点,且,,成等比数列,求直线的极坐标方程.‎ ‎【答案】(1)(2)或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用余弦的二倍角公式,结合极坐标与直角坐标转化公式进行求解即可;‎ ‎(2)写出直线的参数方程,求出的表达式,将直线的参数方程代入曲线 - 23 -‎ 的直角坐标方程中,利用参数的意义,结合等比数列的性质进行求解即可.‎ ‎【详解】(1)方程可化为,‎ 将代入上式,得曲线的直角坐标方程.‎ ‎(2)由直线的方程为,知直线过点,‎ 记直线的倾斜角为,,‎ 设直线的参数方程为(为参数),‎ 令,得点对应的参数值为,即,‎ 把代入,得,‎ 整理,得,‎ 则有.‎ 设,对应的参数值分别为,,‎ 则,,‎ 因为,,成等比数列,则,‎ 所以,‎ 所以或,‎ 解得或,‎ 的普通方程为或,‎ 故的极坐标方程为或.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化,考查了利用参数的意义解决线段有关长度问题,考查了数学运算能力.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(1)求函数的值域;‎ ‎(2)设函数的最小值为,若正实数,,满足,求证:.‎ ‎【答案】(1)(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)用绝对值的性质化简函数的解析式变成分段函数解析式的形式,然后分类讨论进行求解即可;‎ ‎(2)由(1)可以求出的值,然后利用重要不等式、基本不等式进行证明即可.‎ ‎【详解】‎ 当时,;‎ 当时,;‎ 当时,.‎ 故的值域为.‎ ‎(2)由(1)知函数最小值,则,‎ ‎,‎ 当且仅当时取等号.‎ 或:‎ - 23 -‎ ‎,‎ 当且仅当时取等号.‎ ‎【点睛】本题考查了求含绝对值函数的最值问题,考查了利用重要不等式和基本不等式证明不等式,考查了数学运算能力和代数式恒等变形能力.‎ - 23 -‎ - 23 -‎
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