【数学】2020届一轮复习人教B版简单的三角恒等变换第课时简单的三角恒等变换学案

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【数学】2020届一轮复习人教B版简单的三角恒等变换第课时简单的三角恒等变换学案

第2课时 简单的三角恒等变换 题型一 三角函数式的化简 ‎1.化简:=.‎ 答案 2cosα 解析 原式==2cosα.‎ ‎2.化简:=.‎ 答案 cos2x 解析 原式= ‎= ‎===cos2x.‎ ‎3.化简:-2cos(α+β).‎ 解 原式= ‎= ‎= ‎= ‎==.‎ 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,二看名,三看式子结构与特征.‎ ‎(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点.‎ 题型二 三角函数的求值 命题点1 给角求值与给值求值 例1(1)[2sin50°+sin10°(1+tan10°)]·=.‎ 答案  解析 原式=·‎ sin80°=·‎ cos10°=2[sin 50°·cos 10°+sin 10°·cos(60°-10°)]‎ ‎=2sin(50°+10°)=2×=.‎ ‎(2)已知cos=,θ∈,则sin=.‎ 答案  解析 由题意可得cos2==,cos=-sin2θ=-,即sin2θ=.‎ 因为cos=>0,θ∈,‎ 所以0<θ<,2θ∈,‎ 根据同角三角函数基本关系式,可得cos2θ=,‎ 由两角差的正弦公式,可得 sin=sin2θcos-cos2θsin ‎=×-×=.‎ ‎(3)已知cos=,<α<,则的值为.‎ 答案 - 解析 = ‎= ‎=sin2α·=sin2α·tan.‎ 由<α<,得<α+<2π,又cos=,‎ 所以sin=-,tan=-.‎ cosα=cos=-,sinα=-,‎ sin2α=.‎ 所以=×=-.‎ 命题点2 给值求角 例2(1)设α,β为钝角,且sinα=,cosβ=-,则α+β的值为(  )‎ A. B. C. D.或 答案 C 解析 ∵α,β为钝角,sinα=,cosβ=-,‎ ‎∴cosα=-,sinβ=,‎ ‎∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=>0.‎ 又α+β∈(π,2π),∴α+β∈,∴α+β=.‎ ‎(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=-,则2α-β的值为.‎ 答案 - 解析 ∵tanα=tan[(α-β)+β]‎ ‎===>0,‎ ‎∴0<α<.‎ 又∵tan2α===>0,∴0<2α<,‎ ‎∴tan(2α-β)===1.‎ ‎∵tanβ=-<0,∴<β<π,-π<2α-β<0,‎ ‎∴2α-β=-.‎ 引申探究 本例(1)中,若α,β为锐角,sinα=,cosβ=,则α+β=.‎ 答案  解析 ∵α,β为锐角,∴cosα=,sinβ=,‎ ‎∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ‎=×-×=.‎ 又0<α+β<π,∴α+β=.‎ 思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”,通过角之间的联系寻找转化方法.‎ ‎(2)给值求角问题:先求角的某一三角函数值,再求角的范围确定角.‎ 跟踪训练1 (1)已知α∈,且2sin2α-sinα·cosα-3cos2α=0,则=.‎ 答案  解析 ∵α∈,且2sin2α-sinα·cosα-3cos2α=0,‎ 则(2sinα-3cosα)·(sinα+cosα)=0,‎ 又∵α∈,sinα+cosα>0,‎ ‎∴2sinα=3cosα,又sin2α+cos2α=1,‎ ‎∴cosα=,sinα=,‎ ‎∴ ‎===.‎ ‎(2)已知sinα=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则β=.‎ 答案  解析 因为α,β均为锐角,所以-<α-β<.‎ 又sin(α-β)=-,所以cos(α-β)=.‎ 又sinα=,所以cosα=,‎ 所以sinβ=sin[α-(α-β)]‎ ‎=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)‎ ‎=×-×=.‎ 所以β=.‎ 题型三 三角恒等变换的应用 例3(2017·浙江)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sinxcosx(x∈R).‎ ‎(1)求f的值;‎ ‎(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.‎ 解 (1)由sin=,cos=-,得 f=2-2-2××=2.‎ ‎(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx,‎ 得f(x)=-cos2x-sin2x=-2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期是π.‎ 由正弦函数的性质,得+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,‎ 解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).‎ 思维升华三角恒等变换的应用策略 ‎(1)进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形使用.‎ ‎(2)把形如y=asinx+bcosx化为y=sin(x+φ),可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.‎ 跟踪训练2(2018·浙江绍兴六校质检)已知函数f(x)=mcosx+sin的图象经过点P.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若f(α)=,α∈,求sinα的值.‎ 解 (1)由题意可知f=,即+=,解得m=1.‎ 所以f(x)=cosx+sin=cosx+sinx ‎=sin,‎ 由正弦函数的性质得,-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,‎ 即2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z).‎ ‎(2)由f(α)=,得sin=,‎ 所以sin=.又α∈,‎ 所以α+∈,sin=<,‎ 所以α+∈,‎ 所以cos=-=-.‎ 所以sinα=sin=×-×=.‎ 化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用 讨论形如y=asinωx+bcosωx型函数的性质,一律化成y=sin(ωx+φ)型的函数;研究y=Asin(ωx+φ)型函数的最值、单调性,可将ωx+φ视为一个整体,换元后结合y=sinx的图象解决.‎ 例已知函数f(x)=4tanx·sin·cos-.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期;‎ ‎(2)讨论f(x)在区间上的单调性.‎ 解 (1)f(x)的定义域为.‎ f(x)=4tanxcosxcos- ‎=4sinxcos- ‎=4sinx- ‎=2sinxcosx+2sin2x- ‎=sin2x+(1-cos2x)- ‎=sin2x-cos2x=2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T==π.‎ ‎(2)因为x∈,‎ 所以2x-∈,‎ 由y=sinx的图象可知,当2x-∈,‎ 即x∈时,f(x)单调递减;‎ 当2x-∈,即x∈时,f(x)单调递增.‎ 所以当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.‎ ‎1.若sin=,则cos等于(  )‎ A.-B.-C.D. 答案 A 解析 cos=cos ‎=-cos=- ‎=-=-.‎ ‎2.4cos50°-tan40°等于(  )‎ A. B. C. D.2-1‎ 答案 C 解析 原式=4sin40°- ‎== ‎= ‎===.‎ ‎3.已知sin2α=,tan(α-β)=,则tan(α+β)等于(  )‎ A.-2B.-1C.-D. 答案 A 解析 由题意,可得cos2α=-,则tan2α=-,tan(α+β)=tan[2α-(α-β)]==-2.‎ ‎4.在斜三角形ABC中,sinA=-cosBcosC,且tanB·tanC=1-,则角A的值为(  )‎ A.B.C.D. 答案 A 解析 由题意知,sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=-cosBcosC,‎ 在等式-cosBcosC=sinBcosC+cosBsinC两边同除以cosBcosC,得tanB+tanC=-,‎ 又tan(B+C)==-1=-tanA,‎ 即tanA=1,因为00,∴cosα=,‎ 又α∈(0,π),∴α=.将α=代入①得cosβ=-,‎ 又β∈(0,π),∴β=.‎ ‎16.已知函数f(x)=2sinxcosx-2cos2x+1(x∈R).‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;‎ ‎(2)若f(x0)=,x0∈,求cos2x0的值.‎ 解 (1)由f(x)=2sinxcosx-2cos2x+1,‎ 得f(x)=(2sinxcosx)-(2cos2x-1)‎ ‎=sin2x-cos2x ‎=2sin,‎ 所以函数f(x)的最小正周期为π.‎ 易知f(x)=2sin在区间上为增函数,‎ 在区间上为减函数,‎ 又f(0)=-1,f=2,f=-1,所以函数f(x)在上的最大值为2,最小值为-1.‎ ‎(2)∵2sin=,‎ ‎∴sin=.‎ 又x0∈,‎ ‎∴2x0-∈,‎ ‎∴cos=.‎ ‎∴cos2x0=cos ‎=coscos-sinsin ‎=×-×=.‎
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