人教版九年级数学下册第二十八章《锐角珠三角函数》 单元同步检测试题（含答案）

人教版九年级数学下册第二十八章《锐角珠三角函数》 单元同步检测试题（含答案）

第二十八章《锐角三角函数》单元检测题 题号 一 二 三 总分 21 22 23 24 25 26 27 28 分数 一、选择题 1.在△ABC 中，若 tanA＝1，sinB＝ ，你认为最确切的判断是( ) A． △ABC 是等腰三角形 B． △ABC 是等腰直角三角形 C． △ABC 是直角三角形 D． △ABC 是一般锐角三角形 2.在△ABC 中，∠A，∠B 都是锐角，且 cosA＝ ，sinB＝ ，则△ABC 是( ) A． 直角三角形 B． 钝角三角形 C． 锐角三角形 D． 不能确定 3.如图，若锐角△ABC 内接于⊙O，点 D 在⊙O 外(与点 C 在 AB 同侧)，则下列三个结论：①sin ∠C＞sin ∠D；②cos ∠C＞cos ∠D；③tan ∠C＞tan ∠D 中，正确的结论为( ) A． ①② B． ②③ C． ①②③ D． ①③ 4.如图，小明为测量一条河流的宽度，他在河岸边相距 80 m 的 P 和 Q 两点分别测定对岸一棵树 R 的位置，R 在 Q 的正南方向，在 P 东偏南 36°的方向，则河宽( ) A． 80tan 36° B． 80tan 54° C． D． 80tan 54° 5.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论： ①sinA＝ ；②cosB＝ ；③tanA＝ ；④tanB＝ ， 其中正确的有( ) A． ①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ②③④ 二、填空题 6.在△ABC 中，若|cosA |＋(1－tanB)2＝0，则△ABC 的形状是________________． 7.△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝8，那么 sinB＝__________. 8.如图，某山坡 AB 的坡角∠BAC＝30°，则该山坡 AB 的坡度为__________． 9.在△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝ ，BC＝12，那么 AC＝__________. 10.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝ ；②cosB＝ ；③tanA＝ ；④tanB＝ ，其中正确的结论是__________(只需填上正确结论的序号) 三、解答题 11.对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin (180°－α)，cosα＝－cos (180°－ α)；若一个三角形的三个内角的比是 1∶1∶4，A，B 是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB 是方 程 4x2－mx－1＝0 的两个不相等的实数根，求 m 的值及∠A 和∠B 的大小． 12.如图，某公园内有座桥，桥的高度是 5 米，CB⊥DB，坡面 AC 的倾斜角为 45°，为方便老人过 桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面 DC 的坡度为 i＝ ∶3.若新坡角外需留下 2 米宽的人行 道，问离原坡角(A 点处)6 米的一棵树是否需要移栽？(参考数据： ≈1.414， ≈1.732) 13.若α，β为直角三角形的两个锐角，若 cosα＝ ，求 sinβ的值． 14.如图，△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝75°，AC＝3 ，求 AB 的长． 15.如图，港口 B 位于港口 A 的南偏东 37°方向，灯塔 C 恰好在 AB 的中点处，一艘海轮位于港口 A 的正南方向，港口 B 的正西方向的 D 处，它沿正北方向航行 5 km 到达 E 处，测得灯塔 C 在北偏 东 45°方向上，这时，E 处距离港口 A 有多远？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80， tan 37°≈0.75) 16.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5，解这个直角三角形． 17.已知三角函数值，求锐角(精确到 1″)． (1)已知 sinα＝0.501 8，求锐角α； (2)已知 tanθ＝5，求锐角θ. 18.如图，长方形广告牌架在楼房顶部，已知 CD＝2 m，经测量得到∠CAH＝37°，∠DBH＝60°， AB＝10 m，求 GH 的长．(参考数据：tan 37°≈0.75， ≈1.732，结果精确到 0.1 m) 答案解析 1.【答案】B 【解析】∵tanA＝1，sinB＝ ， ∴∠A＝45°，∠B＝45°. 又∵三角形内角和为 180°， ∴∠C＝90°. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 故选 B. 2.【答案】B 【解析】由∠A，∠B 都是锐角，且 cosA＝ ，sinB＝ ，得 A＝B＝30°，C＝180°－A－B＝180°－30°－30°＝120°， 故选 B. 3.【答案】D 【解析】如图，连接 BE， 根据圆周角定理，可得∠C＝∠AEB， ∵∠AEB＝∠D＋∠DBE， ∴∠AEB＞∠D， ∴∠C＞∠D， 根据锐角三角形函数的增减性，可得， sin ∠C＞sin ∠D，故①正确；cos ∠C＜cos ∠D，故②错误；tan ∠C＞tan ∠D，故③正 确，故选 D. 4.【答案】A 【解析】∵R 在 P 东偏南 36°的方向， ∴∠QPR＝36°， tan 36°＝ ， ∵PQ＝80， ∴QR＝tan 36° PQ＝80tan 36°， 故选 A. 5.【答案】D 【解析】∵∠C＝90°，AB＝2BC， ∴AC＝ BC， ①sinA＝ ＝ ； ②cosB＝ ＝ ； ③tanA＝ ＝ ； ④tanB＝ ＝ ， 正确的有②③④， 故选 D. 6.【答案】锐角三角形 【解析】由题意得：cosA－ ＝0,1－tanB＝0， 解得 cosA＝ ，tanB＝1， ∴∠A＝60°，∠B＝45°. ∴∠C＝180°－60°－45°＝75°. ∴△ABC 是锐角三角形． 7.【答案】 【解析】过 A 作 AD⊥BC 于 D， ∵AB＝AC＝5，BC＝8， ∴∠ADB＝90°，BD＝ BC＝4， 由勾股定理得 AD＝ ＝3， ∴sinB＝ ＝ . 8.【答案】 【解析】根据坡度等于坡角的正切值即可得到结果． 根据题意，得该山坡 AB 的坡度为 tan 30°＝ . 9.【答案】5 【解析】在△ABC 中，∠C＝90°， ∵sinA＝ ＝ ，BC＝12， ∴AB＝13， ∴AC＝ ＝5. 10.【答案】②③④ 【解析】如图所示： ∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2BC， ∴sinA＝ ＝ ，故①错误； ∴∠A＝30°， ∴∠B＝60°， ∴cosB＝cos 60°＝ ，故②正确； ∵∠A＝30°， ∴tanA＝tan 30°＝ ，故③正确； ∵∠B＝60°， ∴tanB＝tan 60°＝ ，故④正确． 故答案为②③④. 11.【答案】解 ∵三角形的三个内角的比是 1∶1∶4， ∴三个内角分别为 30°，30°，120°， ①当∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为 ，－ ， 将 代入方程，得 4× 2－m× －1＝0， 解得 m＝0， 经检验－ 是方程 4x2－1＝0 的根， ∴m＝0 符合题意； ②当∠A＝120°，∠B＝30°时，两根为 ， ，不符合题意； ③当∠A＝30°，∠B＝30°时，两根为 ， ， 将 代入方程得：4×( )2－m× －1＝0， 解得 m＝0， 经检验 不是方程 4x2－1＝0 的根． 综上所述：m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°. 【解析】分三种情况进行分析：①当∠A＝30°，∠B＝120°时；②当∠A＝120°，∠B＝30° 时；③当∠A＝30°，∠B＝30°时，根据题意分别求出 m 的值即可． 12.【答案】解 不需要移栽，理由： ∵CB⊥AB，∠CAB＝45°， ∴△ABC 为等腰直角三角形， ∴AB＝BC＝5 米， 在 Rt△BCD 中，新坡面 DC 的坡度为 i＝ ∶3，即∠CDB＝30°， ∴DC＝2BC＝10 米，BD＝ BC＝5 米， ∴AD＝BD－AB＝(5 －5)米≈3.66 米， ∵2＋3.66＝5.66＜6， ∴不需要移栽． 【解析】根据题意得到三角形 ABC 为等腰直角三角形，求出 AB 的长，在直角三角形 BCD 中，根据 新坡面的坡度求出∠BDC 的度数为 30，利用 30 度角所对的直角边等于斜边的一半求出 DC 的长， 再利用勾股定理求出 DB 的长，由 DB－AB 求出 AD 的长，然后将 AD＋2 与 6 进行比较，若大于则需 要移栽，反之不需要移栽． 13.【答案】解 ∵α，β为直角三角形的两个锐角， ∴sinβ＝cos (90°－β)＝cosα＝ . 【解析】根据互余两角三角函数的关系进行解答． 14.【答案】解 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D， ∵∠B＝60°，∠C＝75°， ∴∠A＝45°， 在△ADC 中，AC＝3 ， ∵sinA＝ ， ∴AD＝sin 45°×3 ＝3＝CD， 在△BDC 中，∠DCB＝30°， ∵tan ∠BCD＝ ， ∴BD＝tan 30°×3＝ ， ∴AB＝ ＋3. 【解析】过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，先根据三角形内角和定理计算出∠A＝45°，在 Rt△ADC 中，利 用∠A 的正弦可计算出 CD，进而求得 AD，然后在 Rt△BDC 中，利用∠B 的余切可计算出 BD，进而 就可求得 AB. 15.【答案】解 如图作 CH⊥AD 于 H.设 CH＝xkm， 在 Rt△ACH 中，∠A＝37°，∵tan 37°＝ ， ∴AH＝ ＝ ， 在 Rt△CEH 中，∵∠CEH＝45°， ∴CH＝EH＝x， ∵CH⊥AD，BD⊥AD， ∴CH∥BD， ∴ ＝ ， ∵AC＝CB， ∴AH＝HD， ∴ ＝x＋5， ∴x＝ ≈15， ∴AE＝AH＋HE＝ ＋15≈35 km， ∴E 处距离港口 A 有 35 km. 【解析】如图作 CH⊥AD 于 H.设 CH＝xkm，在 Rt△ACH 中，可得 AH＝ ＝ ，在 Rt△CEH 中，可得 CH＝EH＝x，由 CH∥BD，推出 ＝ ，由 AC＝CB，推出 AH＝HD，可得 ＝x＋5，求 出 x 即可解决问题． 16.【答案】解 在 Rt△ABC 中，∠B＝90°－∠A＝60°， ∵tanB＝ ， ∴b＝a×tanB＝5×tan 60°＝5 ， 由勾股定理，得 c＝ ＝10. 【解析】直角三角形的两个锐角互余，并且 Rt△ABC 中，∠C＝90°则∠A＝90－∠B＝60°，解直 角三角形就是求直角三角形中出直角以外的两锐角，三边中的未知的元素． 17.【答案】解 (1)∵sinα＝0.501 8， ∴α≈30.119 1°. ∴a≈30°7′9″； (2)∵tanθ＝5， ∴θ＝78.690 0°≈78°41′24″. 【解析】利用计算器进行计算即可，然后将结果化为度分秒的形式即可． 18.【答案】解 延长 CD 交 AH 于点 E，如图所示：根据题意得 CE⊥AH， 设 DE＝xm，则 CE＝(x＋2)m， 在 Rt△AEC 和 Rt△BED 中，tan 37°＝ ，tan 60°＝ ， ∴AE＝ ，BE＝ ， ∵AE－BE＝AB， ∴ ＝10， 即 － ＝10， 解得 x≈5.8， ∴DE＝5.8 m， ∴GH＝CE＝CD＋DE＝2 m＋5.8 m＝7.8 m. 答：GH 的长为 7.8 m. 【解析】首先构造直角三角形，设 DE＝xm，则 CE＝(x＋2)m，由三角函数得出 AE 和 BE，由 AE＝ BE＝AB 得出方程，解方程求出 DE，即可得出 GH 的长．