【数学】2018届一轮复习人教A版1-3简单逻辑联结词、全称量词与特称量词学案

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【数学】2018届一轮复习人教A版1-3简单逻辑联结词、全称量词与特称量词学案

‎ ‎ ‎1.命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎2.全称量词和存在量词 量词名词 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ‎∀‎ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ‎∃‎ ‎3.全称命题和特称命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称命题 对M中任意一个x,有p(x)成立 ‎∀x∈M,p(x)‎ 特称命题 存在M中的一个x0,使p(x0)成立 ‎∃x0∈M,p(x0)‎ ‎4.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ‎∀x∈M,p(x)‎ ‎∃x0∈M,綈p(x0)‎ ‎∃x0∈M,p(x0)‎ ‎∀x∈M,綈p(x)‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 ‎(1)p∨q:p、q中有一个为真,则p∨q为真,即有真为真;‎ ‎(2)p∧q:p、q中有一个为假,则p∧q为假,即有假即假;‎ ‎(3)綈p:与p的真假相反,即一真一假,真假相反.‎ ‎2.含一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)命题p∧q为假命题,则命题p、q都是假命题.( × )‎ ‎(2)命题p和綈p不可能都是真命题.( √ )‎ ‎(3)若命题p、q至少有一个是真命题,则p∨q是真命题.( √ )‎ ‎(4)命题綈(p∧q)是假命题,则命题p,q中至少有一个是真命题.( × )‎ ‎(5)“长方形的对角线相等”是特称命题.( × )‎ ‎(6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.( × )‎ ‎1.设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为;命题q:函数y=cos x的图象关于直线x=对称,则下列判断正确的是(  )‎ A.p为真 B.綈q为假 C.p∧q为假 D.p∨q为真 答案 C 解析 函数y=sin 2x的最小正周期为=π,故命题p为假命题;x=不是y=cos x的对称轴,命题q为假命题,故p∧q为假.故选C.‎ ‎2.已知命题p,q,“綈p为真”是“p∧q为假”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 綈p为真知p为假,可得p∧q为假;反之,若p∧q为假,则可能是p真q假,从而綈p为假,故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件,故选A.‎ ‎3.(教材改编)下列命题中, 为真命题的是(  )‎ A.∀x∈R,-x2-1<0‎ B.∃x0∈R,x+x0=-1‎ C.∀x∈R,x2-x+>0‎ D.∃x0∈R,x+2x0+2<0‎ 答案 A ‎4.(2017·西安调研)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是(  )‎ A.全等三角形的面积不一定都相等 B.不全等三角形的面积不一定都相等 C.存在两个不全等三角形的面积相等 D.存在两个全等三角形的面积不相等 答案 D 解析 命题是省略量词的全称命题,易知选D.‎ ‎5.(2015·山东)若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.‎ 答案 1‎ 解析 ∵函数y=tan x在上是增函数,‎ ‎∴ymax=tan =1.‎ 依题意,m≥ymax,即m≥1.‎ ‎∴m的最小值为1.‎ 题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 例1 (1)已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是(  )‎ A.p∧q B.(綈p)∧(綈q)‎ C.(綈p)∧q D.p∧(綈q)‎ ‎(2)(2016·聊城模拟)若命题“p∨q”是真命题,“綈p为真命题”,则(  )‎ A.p真,q真 B.p假,q真 C.p真,q假 D.p假,q假 答案 (1)D (2)B 解析 (1)∵p是真命题,q是假命题,‎ ‎∴p∧(綈q)是真命题.‎ ‎(2)∵綈p为真命题,∴p为假命题,‎ 又p∨q为真命题,∴q为真命题.‎ 思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤 ‎(1)确定命题的构成形式;‎ ‎(2)判断其中命题p、q的真假;‎ ‎(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假.‎ ‎ 已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(綈q);④(綈p)∨q中,真命题是(  )‎ A.①③ B.①④‎ C.②③ D.②④‎ 答案 C 解析 当x>y时,-x<-y,‎ 故命题p为真命题,从而綈p为假命题.‎ 当x>y时,x2>y2不一定成立,‎ 故命题q为假命题,从而綈q为真命题.‎ 由真值表知:①p∧q为假命题;②p∨q为真命题;③p∧(綈q)为真命题;④(綈p)∨q为假命题,‎ 故选C.‎ 题型二 含有一个量词的命题 命题点1 全称命题、特称命题的真假 例2 不等式组的解集记为D,有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D, x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.‎ 其中的真命题是(  )‎ A.p2,p3 B.p1,p4‎ C.p1,p2 D.p1,p3‎ 答案 C 解析 画出不等式组的可行域D如图阴影部分所示,两直线交于点A(2,-1),设直线l0的方程为x+2y=0.由图象可知,∀(x,y)∈D,x+2y≥0,故p1为真命题,p2为真命题,p3,p4为假命题.‎ 命题点2 含一个量词的命题的否定 例3 (1)命题“∃x0∈R,x-2x0>0”的否定是(  )‎ A.∀x∈R,x2-2x<0‎ B.∃x0∈R,x-2x0≥0‎ C.∀x∈R,x2-2x≤0‎ D.∃x0∈R,x-2x0<0‎ ‎(2)(2015·浙江)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(  )‎ A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n B.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n C.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0‎ D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0‎ 答案 (1)C (2)D 解析 (1)将“∃”改为“∀”,对结论中的“>”进行否定,可知C正确.‎ ‎(2)由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.‎ 思维升华 (1)判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x=x0,使p(x0)成立.‎ ‎(2)对全(特)称命题进行否定的方法 ‎①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词.‎ ‎②对原命题的结论进行否定.‎ ‎ (1)下列命题是假命题的是(  )‎ A.∃α,β∈R,使sin(α+β)=sin α+sin β B.∀φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数 C.∃x0∈R,使x+ax+bx0+c=0(a,b,c∈R且为常数)‎ D.∀a>0,函数f(x)=ln2x+ln x-a有零点 ‎(2)(2017·福州质检)已知命题p:“∃x0∈R,”,则綈p为(  )‎ A.∃x0∈R,‎ B.∃x0∈R,‎ C.∀x∈R,ex-x-1>0‎ D.∀x∈R,ex-x-1≥0‎ 答案 (1)B (2)C 解析 (1)取α=0时,sin(α+β)=sin α+sin β,A正确;‎ 取φ=时,函数f(x)=sin(2x+)=cos 2x是偶函数,B错误;‎ 对于三次函数y=f(x)=x3+ax2+bx+c,当x→-∞时,y→-∞,当x→+∞时,y→+∞,又f(x)在R上为连续函数,故∃x0∈R,使x+ax+bx0+c=0,C正确;‎ 当f(x)=0时,ln2x+ln x-a=0,则有a=ln2x+ln x=(ln x+)2-≥-,所以∀a>0,函数f(x)=ln2x+ln x-a有零点,D正确,综上可知选B.‎ ‎(2)根据全称命题与特称命题的否定关系,可得綈p为“∀x∈R,ex-x-1>0”,故选C.‎ 题型三 含参数命题中参数的取值范围 例4 (1)已知命题p:关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数,若p∧q是真命题,则实数a的取值范围是________________.‎ ‎(2)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=()x-m,若对∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是(  )‎ A.[,+∞) B.(-∞,]‎ C.[,+∞) D.(-∞,-]‎ 答案 (1)[-12,-4]∪[4,+∞) (2)A 解析 (1)若命题p是真命题,则Δ=a2-16≥0,‎ 即a≤-4或a≥4;若命题q是真命题,‎ 则-≤3,即a≥-12.‎ ‎∵p∧q是真命题,∴p,q均为真,‎ ‎∴a的取值范围是[-12,-4]∪[4,+∞).‎ ‎(2)当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当x∈[1,2]时,‎ g(x)min=g(2)=-m,由f(x)min≥g(x)min,‎ 得0≥-m,所以m≥,故选A.‎ 引申探究 本例(2)中,若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”,其他条件不变,则实数m 的取值范围是________________.‎ 答案 [,+∞)‎ 解析 当x∈[1,2]时,g(x)max=g(1)=-m,‎ 由f(x)min≥g(x)max,得0≥-m,‎ ‎∴m≥.‎ 思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假,可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围;(2)含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数值域(或最值)解决.‎ ‎ (1)已知命题p:“∀x∈[0,1],a≥ex”,命题q:“∃x0∈R,x+4x0+a=0”.若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(4,+∞) B.[1,4]‎ C.[e,4] D.(-∞,-1)‎ ‎(2)已知函数f(x)=x2-2x+3,g(x)=log2x+m,对任意的x1,x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立,则实数m的取值范围是________________.‎ 答案 (1)C (2)(-∞,0)‎ 解析 (1)由题意知p与q均为真命题,由p为真,可知a≥e,由q为真,知x2+4x+a=0有解,则Δ=16-4a≥0,∴a≤4.综上可知e≤a≤4.‎ ‎(2)f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,‎ 当x∈[1,4]时,f(x)min=f(1)=2,g(x)max=g(4)=2+m,则f(x)min>g(x)max,即2>2+m,解得m<0,故实数m的取值范围是(-∞,0).‎ ‎1.常用逻辑用语 考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现,多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合,难度中等以下.解决这类问题应熟练把握各类内在联系.‎ 一、命题的真假判断 典例1 (1)已知命题p:∃x0∈R,x+1<2x0;命题q:若mx2-mx-1<0恒成立,则-45”是“x2-4x-5>0”的充分不必要条件;‎ ‎③命题p:∃x0∈R,x+x0-1<0,则綈p:∀x∈R,x2+x-1≥0;‎ ‎④命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2-3x+2≠0”.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 解析 (1)由于x2-2x+1=(x-1)2≥0,‎ 即x2+1≥2x,所以p为假命题;‎ 对于命题q,当m=0时,-1<0恒成立,‎ 所以命题q为假命题.‎ 综上可知,綈p为真命题,‎ p∧q为假命题,p∨q为假命题,故选C.‎ ‎(2)对于①,若p∨q为真命题,则p,q至少有一个为真,即可能有一个为假,所以p∧q不一定为真命题,所以①错误;对于②,由x2-4x-5>0可得x>5或x<-1,所以“x>5”是“x2-4x-5>0”的充分不必要条件,所以②正确;对于③,根据特称命题的否定为全称命题,可知③正确;对于④,命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0”,所以④错误,所以错误命题的个数为2,故选B.‎ 答案 (1)C (2)B 二、求参数的取值范围 典例2 (1)已知p:x≥k,q:<1,如果p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是(  )‎ A.[2,+∞) B.(2,+∞)‎ C.[1,+∞) D.(-∞,-1]‎ ‎(2)(2016·郑州一模)已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若∀x1∈[,3],∃x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是(  )‎ A.a≤1 B.a≥1‎ C.a≤0 D.a≥0‎ 解析 (1)由<1,得-1=<0,‎ 即(x-2)(x+1)>0,‎ 解得x<-1或x>2,由p是q的充分不必要条件,知k>2,故选B.‎ ‎(2)∵x∈[,3],∴f(x)≥2 =4,当且仅当x=2时,f(x)min=4,当x∈[2,3]时,g(x)min=22+a=4+a,依题意f(x)min≥g(x)min,∴a≤0,故选C.‎ 答案 (1)B (2)C 三、利用逻辑推理解决实际问题 典例3 (1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,‎ 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;‎ 乙说:我没去过C城市;‎ 丙说:我们三人去过同一城市.‎ 由此可判断乙去过的城市为________.‎ ‎(2)对于中国足球参与的某次大型赛事,有三名观众对结果作如下猜测:‎ 甲:中国非第一名,也非第二名;‎ 乙:中国非第一名,而是第三名;‎ 丙:中国非第三名,而是第一名.‎ 竞赛结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错,则中国足球队得了第________名.‎ 解析 (1)由题意可推断:甲没去过B城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A,C城市,而乙“没去过C城市”,说明乙去过A城市,由此可知,乙去过的城市为A.‎ ‎(2)由题意可知:甲、乙、丙均为“p且q”形式,所以猜对一半者也说了错误“命题”,即只有一个为真,所以可知丙是真命题,因此中国足球队得了第一名.‎ 答案 (1)A (2)一 ‎1.命题p:若sin x>sin y,则x>y;命题q:x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是(  )‎ A.p∨q B.p∧q C.q D.綈p 答案 B 解析 命题p假,q真,故命题p∧q为假命题.‎ ‎2.下列命题中,真命题是(  )‎ A.∀x∈R,x2>0 B.∀x∈R,-10,故C错,D正确.‎ ‎3.(2017·西安质检)已知命题p:∃x0∈R,则(  )‎ A.p是假命题;綈p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0‎ B.p是假命题;綈p:∀x∈R,log2(3x+1)>0‎ C.p是真命题;綈p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0‎ D.p是真命题;綈p:∀x∈R,log2(3x+1)>0‎ 答案 B 解析 ∵3x>0,∴3x+1>1,则log2(3x+1)>0,∴p是假命题;綈p:∀x∈R,log2(3x+1)>0,故选B.‎ ‎4.(2016·河北邯郸收官考试)已知p:∀x∈R,x2-x+1>0,q:∃x0∈(0,+∞),sin x0>1,则下列命题为真命题的是(  )‎ A.p∨(綈q) B.(綈p)∨q C.p∧q D.(綈p)∧(綈q)‎ 答案 A 解析 因为x2-x+1=(x-)2+>0恒成立,所以命题p是真命题;∀x∈R,sin x≤1,所以命题q是假命题,所以p∨(綈q)是真命题,故选A.‎ ‎5.下列命题中的假命题是(  )‎ A.∀x∈R,2x-1>0 B.∀x∈N*,(x-1)2>0‎ C.∃x0∈R,lg x0<1 D.∃x0∈R,tan=5‎ 答案 B 解析 A项,∵x∈R,∴x-1∈R,由指数函数性质得2x-1>0;B项,∵x∈N*,∴当x=1时,(x-1)2=0与(x-1)2>0矛盾;C项,当x0=时,lg =-1<1;D项,当x∈R时,tan x∈R,∴∃x0∈R,tan=5.‎ ‎6.(2016·开封一模)已知命题p1:∀x∈(0,+∞),有3x>2x,p2:∃θ∈R,sin θ+cos θ=,则在命题q1:p1∨p2;q2:p1∧p2;q3:(綈p1)∨p2和q4:p1∧(綈p2)中,真命题是(  )‎ A.q1,q3 B.q2,q3‎ C.q1,q4 D.q2,q4‎ 答案 C 解析 因为y=()x在R上是增函数,即y=()x>1在(0,+∞)上恒成立,所以p1是真命题;sin θ+cos θ=sin(θ+)≤,所以命题p2是假命题,綈p2是真命题,所以命题q1:p1∨p2,q4:p1∧(綈p2)是真命题,选C.‎ ‎7.已知命题“∃x0∈R,使2x+(a-1)x0+≤0”是假命题,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-1) B.(-1,3)‎ C.(-3,+∞) D.(-3,1)‎ 答案 B 解析 依题意可知“∀x∈R,2x2+(a-1)x+>0”为真命题,所以Δ=(a-1)2-4×2×<0,即(a+1)(a-3)<0,解得-10),若∃x0∈R,使得∀x1∈[1,2]都有f(x1)0),‎ 当x∈(0,a)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(a,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;‎ 故f(x)max=f(a),∃x0∈R,使得∀x1∈[1,2]都有f(x1)f(x1)对∀x1∈[1,2]恒成立,故a∉[1,2],所以实数a的取值范围是(0,1)∪(2,+∞),选D.‎ ‎9.以下四个命题:①∀x∈R,x2-3x+2>0恒成立;②∃x∈Q,x2=2;③∃x∈R,x2+1=0;④∀x∈R,4x2>2x-1+3x2.其中真命题的个数为(  )‎ A.0 B.1‎ C.2 D.4‎ 答案 A 解析 ∵x2-3x+2>0,Δ=(-3)2-4×2>0,‎ ‎∴当x>2或x<1时,x2-3x+2>0才成立,‎ ‎∴①为假命题;‎ 当且仅当x=±时,x2=2,∴不存在x∈Q,使得x2=2,∴②为假命题;‎ 对∀x∈R,x2+1≠0,∴③为假命题;‎ ‎4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,‎ 即当x=1时,4x2=2x-1+3x2成立,‎ ‎∴④为假命题.‎ ‎∴①②③④均为假命题.‎ ‎10.(2016·成都模拟)已知函数f(x)的定义域为(a,b),若“∃x0∈(a,b),f(x0)+f(-x0)≠0”是假命题,则f(a+b)=________.‎ 答案 0‎ 解析 若“∃x0∈(a,b),f(x0)+f(-x0)≠0”是假命题,则“∀x∈(a,b),f(x)+f(-x)=0”是真命题,即f(-x)=-f(x),则函数f(x)是奇函数,则a+b=0,即f(a+b)=0.‎ ‎11.下列结论:‎ ‎①若命题p:∃x0∈R,tan x0=1;命题q:∀x∈R,x2-x+1>0.则命题“p∧(綈q)”是假命题;‎ ‎②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;‎ ‎③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题是:“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.‎ 其中正确结论的序号为________.‎ 答案 ①③‎ 解析 ①中命题p为真命题,命题q为真命题,‎ 所以p∧(綈q)为假命题,故①正确;‎ ‎②当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确;‎ ‎③正确,所以正确结论的序号为①③.‎ ‎12.已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:>1,若“(綈q)∧p”为真,则x的取值范围是________________.‎ 答案 (-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)‎ 解析 因为“(綈q)∧p”为真,即q假p真,而q为真命题时,<0,即20,解得x>1或x<-3,由得x≥3或1<x≤2或x<-3,‎ 所以x的取值范围是{x|x≥3或1<x≤2或x<-3}.‎ ‎13.(2017·江西五校联考)已知命题p:∃x0∈R,(m+1)·(x+1)≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立.若p∧q为假命题,则实数m的取值范围为______________.‎ 答案 (-∞,-2]∪(-1,+∞)‎ 解析 由命题p:∃x0∈R,(m+1)(x+1)≤0可得m≤-1,由命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立,可得-2-1.‎ ‎14.已知命题p:“∀x∈R,∃m∈R,4x-2x+1+m=0”,若命题綈p是假命题,则实数m的取值范围是________. ‎ 答案 (-∞,1]‎ 解析 若綈p是假命题,则p是真命题,‎ 即关于x的方程4x-2·2x+m=0有实数解,‎ 由于m=-(4x-2·2x)=-(2x-1)2+1≤1,‎ ‎∴m≤1.‎ ‎*15.已知函数f(x)=(x≥2),g(x)=ax(a>1,x≥2).‎ ‎(1)若∃x0∈[2,+∞),使f(x0)=m成立,则实数m的取值范围为________________;‎ ‎(2)若∀x1∈[2,+∞),∃x2∈[2, +∞)使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围为________________.‎ 答案 (1)[3,+∞) (2)(1,]‎ 解析 (1)因为f(x)==x+=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x=2时等号成立,所以若∃x0∈[2,+∞),使f(x0)=m成立,则实数m的取值范围为[3,+∞).‎ ‎(2)因为当x≥2时,f(x)≥3,g(x)≥a2,若∀x1∈[2,+∞),∃x2∈[2,+∞)使得f(x1)=g(x2),则解得a∈(1,].‎
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