【数学】2020届一轮复习人教版（理）第2章第6讲对数与对数函数学案

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第2章第6讲对数与对数函数学案

第6讲　对数与对数函数 ‎[考纲解读]　1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用．‎ ‎2.理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊点．(重点、难点)‎ ‎3.通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是一类重要的函数模型．‎ ‎4.了解指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．‎ ‎[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点．预测2020年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现.‎ ‎1．对数 ‎2．对数函数的图象与性质 续表 ‎3．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．‎ ‎1．概念辨析 ‎(1)log2x2＝2log2x.(　　)‎ ‎(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　)‎ ‎(3)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　　)‎ ‎(4)当x>1时，若logax>logbx，则a0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)‎ 答案　B 解析　y＝loga(－x)的定义域是(－∞，0)，所以排除A，C；对于选项D，由y＝ax的图象知01，矛盾，故排除D.故选B.‎ ‎(2)设a＝log2，b＝e，c＝ln π，则(　　)‎ A．c1，所以a0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．如举例说明3中18b＝5的变形．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 计算下列各式：‎ ‎(1)计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________；‎ ‎(2)若lg x＋lg y＝2lg (2x－3y)，则log的值为________；‎ ‎(3)计算：(log32＋log92)·(log43＋log83)＝________.‎ 答案　(1)2　(2)2　(3) 解析　(1)原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 52‎ ‎＝lg 2×lg 100＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2.‎ ‎(2)由已知得lg (xy)＝lg (2x－3y)2，‎ 所以xy＝(2x－3y)2，整理得4x2－13xy＋9y2＝0，‎ 即42－13×＋9＝0，‎ 解得＝1或＝.‎ 由x>0，y>0,2x－3y>0可得＝1，不符合题意，舍去，‎ 所以log＝log＝2.‎ ‎(3)原式＝· ‎＝· ‎＝·＝.‎ 题型 　对数函数的图象及应用 ‎1．(2019·青岛模拟)函数f(x)＝lg (|x|－1)的大致图象是(　　)‎ 答案　B 解析　易知f(x)为偶函数，且 f(x)＝ 当x＞1时，y＝lg x的图象向右平移1个单位，可得y＝lg (x－1)的图象，结合选项可知，f(x)的大致图象是B.‎ ‎2．当01时，显然不成立；‎ 当01时，图象上升；01和00且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是(　　)‎ 答案　B 解析　因为lg a＋lg b＝0，所以lg (ab)＝0，所以ab＝1，即b＝，故g(x)＝－logbx＝－logx＝logax，则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，结合图象知，B正确．‎ ‎2．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且ab>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 答案　D 解析　因为e＝2.71828…>2，所以a＝log2e>log22＝1；b＝ln 2log22＝1，又因为a＝log2ea>b.‎ 角度2　解对数不等式 ‎2．(2018·银川模拟)设函数f(x)＝ 若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－1,0)∪(0,1)‎ B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ C．(－1,0)∪(1，＋∞)‎ D．(－∞，－1)∪(0,1)‎ 答案　C 解析　若a>0，则log‎2a>loga，即2log‎2a>0，所以a>1.‎ 若a<0，则log(－a)>log2(－a)，即2log2(－a)<0，‎ 所以0<－a<1，－10，且a≠1)．‎ ‎(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；‎ ‎(2)当00，且a≠1，－30，且a≠1，－3logab 借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0b 需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解 ‎3．解决与对数函数有关的综合问题单调性的步骤 一求 求出函数的定义域 二判 判断对数函数的底数与1的关系，分a>1与0b>1,0b>1,0bc，A错误；‎ ‎∵0ac－1，又ab>0，∴ab·bc－1>ab·ac－1，即abc>bac，B错误；易知y＝logcx是减函数，‎ ‎∴0>logcb>logca，‎ ‎∴logbc－logac>0，又a>b>1>0，∴－alogbc>－blogac>0，‎ ‎∴alogbc1，则f[f(x)]＝log2(log2x)≥－2，log2x≥2－2，x≥2＝，所以x≥.‎ ‎③若0

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