【数学】2018届一轮复习人教A版9-6　双曲线　学案

【数学】2018届一轮复习人教A版9-6　双曲线　学案

‎1．双曲线定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．‎ 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.‎ ‎(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；‎ ‎(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；‎ ‎(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．‎ ‎2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0)‎ －＝1(a>0，b>0)‎ 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)‎ 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)‎ 的关系 ‎【知识拓展】‎ 巧设双曲线方程 ‎(1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．‎ ‎(2)过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝1(mn<0)．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　×　)‎ ‎(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　×　)‎ ‎(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　√　)‎ ‎(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　√　)‎ ‎(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．(　√　)‎ ‎1．(教材改编)若双曲线－＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B．5‎ C. D．2‎ 答案　A 解析　由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.‎ ‎∴e2＝＝5，∴e＝.‎ ‎2．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(　　)‎ A. B．2 C．4 D．8‎ 答案　C 解析　设C：－＝1.‎ ‎∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4，得A(－4，)，B(－4，－)，‎ ‎∴|AB|＝2＝4，‎ ‎∴a＝2，∴2a＝4.‎ ‎∴C的实轴长为4.‎ ‎3．(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)‎ A．x2－＝1 B.－y2＝1‎ C.－x2＝1 D．y2－＝1‎ 答案　C 解析　由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝±x，只有C符合，故选C.‎ ‎4．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．‎ 答案　2 解析　由已知，a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝2.‎ ‎5．双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．‎ 答案　 解析　双曲线的一个顶点坐标为(2,0)，‎ 一条渐近线方程是y＝x，即x－2y＝0，‎ 则顶点到渐近线的距离d＝＝.‎ 题型一　双曲线的定义及标准方程 命题点1　利用定义求轨迹方程 例1　已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．‎ 答案　x2－＝1(x≤－1)‎ 解析　如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.‎ 根据两圆外切的条件，‎ 得|MC1|－|AC1|＝|MA|，‎ ‎|MC2|－|BC2|＝|MB|，‎ 因为|MA|＝|MB|，‎ 所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，‎ 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，‎ 所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.‎ 又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，‎ 其中a＝1，c＝3，则b2＝8.‎ 故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．‎ 命题点2　利用待定系数法求双曲线方程 例2　根据下列条件，求双曲线的标准方程：‎ ‎(1)虚轴长为12，离心率为；‎ ‎(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；‎ ‎(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．‎ 解　(1)设双曲线的标准方程为 －＝1或－＝1(a>0，b>0)．‎ 由题意知，2b＝12，e＝＝.‎ ‎∴b＝6，c＝10，a＝8.‎ ‎∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.‎ ‎(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.‎ 又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.‎ ‎∴双曲线的标准方程为－＝1.‎ ‎(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．‎ ‎∴解得 ‎∴双曲线的标准方程为－＝1.‎ 命题点3　利用定义解决焦点三角形问题 例3　已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝________.‎ 答案　 解析　∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|‎ ‎＝|PF2|＝2a＝2，‎ ‎∴|PF1|＝2|PF2|＝4，‎ 则cos∠F1PF2＝ ‎＝＝.‎ 引申探究 ‎1．本例中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？‎ 解　不妨设点P在双曲线的右支上，‎ 则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，‎ 在△F1PF2中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝ ‎＝，所以|PF1|·|PF2|＝8，‎ 所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝2.‎ ‎2．本例中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积是多少？‎ 解　不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，‎ 由于·＝0，所以⊥，‎ 所以在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，‎ 即|PF1|2＋|PF2|2＝16，‎ 所以|PF1|·|PF2|＝4，‎ 所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝2.‎ 思维升华　(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；‎ ‎(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a ‎，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．‎ ‎(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．‎ ‎　(1)已知F1，F2为双曲线－＝1的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为(　　)‎ A.＋4 B.－4‎ C.－2 D.＋2 ‎(2)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D．3‎ 答案　(1)C　(2)B 解析　(1)由题意知，|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a，‎ 要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值，‎ 当A，P，F1三点共线时，取得最小值，‎ 则|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝，‎ ‎∴|AP|＋|AF2|的最小值为|AP|＋|AF1|－2a＝－2.‎ 故选C.‎ ‎(2)不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，‎ 又r1＋r2＝3b，故r1＝，r2＝.‎ 又r1·r2＝ab，所以·＝ab，解得＝(负值舍去)，故e＝＝＝＝，故选B.‎ 题型二　双曲线的几何性质 例4　(1)(2016·浙江)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(　　)‎ A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1‎ C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1‎ ‎(2)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．‎ 答案　(1)A　(2) 解析　(1)由题意可得m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，‎ 又∵m＞0，n＞0，故m＞n.‎ 又∵e·e＝·＝·＝＝1＋＞1，∴e1·e2＞1.‎ ‎(2)由题意，不妨设直线OA的方程为y＝x，直线OB的方程为y＝－x.‎ 由得x2＝2p ·x，‎ ‎∴x＝，y＝，∴A.‎ 设抛物线C2的焦点为F，则F，‎ ‎∴kAF＝.‎ ‎∵△OAB的垂心为F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，‎ ‎∴·＝－1，∴＝.‎ 设C1的离心率为e，则e2＝＝＝1＋＝.‎ ‎∴e＝. ‎ 思维升华　双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.‎ ‎　(2016·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)‎ A. B. C. D．2‎ 答案　A 解析　离心率e＝，由正弦定理得e＝＝＝＝.故选A.‎ 题型三　直线与双曲线的综合问题 例5　(2016·兰州模拟)已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点．‎ ‎(1)求双曲线C2的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．‎ 解　(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ 则a2＝4－1＝3，c2＝4，‎ 再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.‎ 故C2的方程为－y2＝1.‎ ‎(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，‎ 得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.‎ 由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得 ‎∴k2≠且k2<1.①‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ ‎∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.‎ 又∵·>2，得x1x2＋y1y2>2，‎ ‎∴>2，即>0，‎ 解得0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)若|AB|＝6，点C是双曲线上一点，且＝m(＋)，求k，m的值．‎ 解　(1)由得 故双曲线E的方程为x2－y2＝1.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由 得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.(*)‎ ‎∵直线与双曲线右支交于A，B两点，‎ 故 即所以10，b>0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则C的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 答案　A 解析　依题意解得∴双曲线C的方程为－＝1.‎ ‎2．(2016·全国乙卷)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)‎ A．(－1,3) B．(－1，)‎ C．(0,3) D．(0，)‎ 答案　A 解析　∵方程－＝1表示双曲线，‎ ‎∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m20，b>0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得(＋)·＝0(其中O为坐标原点)，且||＝||，则双曲线的离心率为(　　)‎ A.－1 B. C. D.＋1‎ 答案　D 解析　∵＝－，‎ ‎∴(＋)·＝(＋)·(－)＝0，‎ 即2－2＝0，∴||＝||＝c，‎ 在△MF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，可得⊥.‎ ‎∵||＝||，‎ ‎∴可设||＝λ(λ>0)，||＝λ，‎ 得(λ)2＋λ2＝4c2，解得λ＝c，‎ ‎∴||＝c，||＝c，‎ ‎∴根据双曲线定义得2a＝||－||＝(－1)c，‎ ‎∴双曲线的离心率e＝＝＋1.‎ ‎4．(2016·庐江第二中学月考)已知椭圆＋＝1(a1>b1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e1；双曲线－＝1(a2>0，b2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e2，则e1e2等于(　　)‎ A. B．1 C. D．2‎ 答案　B 解析　由b＝a1c1，得a－c＝a1c1，∴e1＝＝.‎ 由b＝a2c2，得c－a＝a2c2，∴e2＝＝.‎ ‎∴e1e2＝×＝1.‎ ‎5．(2015·课标全国Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意知a＝，b＝1，c＝，‎ ‎∴F1(－，0)，F2(，0)，‎ ‎∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．‎ ‎∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，‎ 即x－3＋y<0.∵点M(x0，y0)在双曲线上，‎ ‎∴－y＝1，即x＝2＋2y，‎ ‎∴2＋2y－3＋y<0，∴－0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)‎ A．(1，＋∞) B．(1,2)‎ C．(1,1＋) D．(2,1＋)‎ 答案　B 解析　由题意易知点F的坐标为(－c,0)，A(－c，)，B(－c，－)，E(a,0)，‎ ‎∵△ABE是锐角三角形，∴·>0，‎ 即·＝(－c－a，)·(－c－a，－)>0，‎ 整理得3e2＋2e>e4，∴e(e3－3e－3＋1)<0，‎ ‎∴e(e＋1)2(e－2)<0，解得e∈(0,2)，又e>1，‎ ‎∴e∈(1,2)，故选B.‎ ‎7．(2016·北京)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________.‎ 答案　1　2‎ 解析　由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以＝2.‎ 又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.‎ ‎8．(2016·浙江)设双曲线x2－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2‎ 为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．‎ 答案　(2，8)‎ 解析　如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，‎ 设|PF2|＝m，‎ 则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，‎ 由于△PF1F2为锐角三角形，‎ 结合实际意义需满足 解得－1＋＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，‎ ‎∴2＜2m＋2＜8.‎ ‎9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．‎ 答案　 解析　由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.‎ 又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a.‎ 在△PF1F2中，由余弦定理，‎ 得cos∠F1PF2＝＝－e2.‎ 要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，‎ ‎∴当cos∠F1PF2＝－1时，得e＝，‎ 即e的最大值为.‎ ‎10．(2015·课标全国Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF的周长最小时，该三角形的面积为________．‎ 答案　12 解析　设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，‎ ‎∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF 周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A、P、F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为＋＝1，与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2,2)，此时S△APF＝S△AF1F－S△F1PF＝12.‎ ‎11．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.‎ ‎(1)求这两曲线方程；‎ ‎(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．‎ 解　(1)由已知c＝，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a，b，‎ 双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m，n，‎ 则 解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.‎ ‎∴椭圆方程为＋＝1，‎ 双曲线方程为－＝1.‎ ‎(2)不妨设F1，F2分别为左，右焦点，P是第一象限的一个交点，‎ 则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，‎ ‎∴|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2，‎ ‎∴cos∠F1PF2＝＝＝. ‎ ‎12．(2016·湖北部分重点中学第一次联考)在面积为9的△ABC中，tan∠BAC＝－，且＝2，现建立以A点为坐标原点，以∠BAC的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示 .‎ ‎(1)求AB，AC所在直线的方程；‎ ‎(2)求以AB，AC所在直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；‎ ‎(3)过D分别作AB，AC所在直线的垂线DF，DE(E，F为垂足)，求·的值．‎ 解　(1)设∠CAx＝α，则由tan∠BAC＝tan 2α ‎＝＝－及α为锐角，‎ 得tan α＝2，∴AC所在直线方程为y＝2x，‎ AB所在直线方程为y＝－2x.‎ ‎(2)设所求双曲线的方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，‎ C(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>0，x2>0)．‎ 由＝2，得D(，)．‎ ‎∵点D在双曲线上，∴4()2－()2＝λ，‎ ‎∴x1x2＝λ.①‎ 由tan∠BAC＝－，得sin∠BAC＝.‎ ‎∵|AB|＝＝x2，|AC|＝＝x1，‎ ‎∴S△ABC＝|AB|·|AC|·sin∠BAC ‎＝×5x1x2× ‎＝2x1x2＝9，代入①，‎ 得λ＝16，∴双曲线的方程为－＝1.‎ ‎(3)由题意知〈，〉＝π－∠BAC，‎ ‎∴cos〈，〉＝－cos∠BAC＝，‎ 设D(x0，y0)，则－＝1.‎ 又∵点D到AB，AC所在直线距离分别为||＝，||＝，‎ ‎∴·＝||||·cos〈，〉‎ ‎＝·×＝.‎ ‎*13.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点是F2(2,0)，且b＝a.‎ ‎(1)求双曲线C的方程；‎ ‎(2)设经过焦点F2的直线l的一个法向量为(m,1)，当直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B时，求实数m的取值范围，并证明AB中点M在曲线3(x－1)2－y2＝3上；‎ ‎(3)设(2)中直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，问是否存在实数m，使得∠AOB为锐角？‎ 若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ 解　(1)c＝2，c2＝a2＋b2，‎ ‎∴4＝a2＋3a2，∴a2＝1，b2＝3，‎ ‎∴双曲线C的方程为x2－＝1.‎ ‎(2)l：m(x－2)＋y＝0，‎ 由 得(3－m2)x2＋4m2x－4m2－3＝0.‎ 由Δ>0，得4m4＋(3－m2)(4m2＋3)>0，‎ ‎12m2＋9－3m2>0，即m2＋1>0恒成立．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 又∴ ‎∴m2>3，∴m∈(－∞，－)∪(，＋∞)．‎ ‎∵＝，＝－＋2m＝－，‎ ‎∴AB的中点M(，－)，‎ ‎∵3(－1)2－ ‎＝3×－ ‎＝3×＝3，‎ ‎∴M在曲线3(x－1)2－y2＝3上．‎ ‎(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 假设存在实数m，使∠AOB为锐角，‎ 则·>0，‎ ‎∴x1x2＋y1y2>0.‎ ‎∵y1y2＝(－mx1＋2m)(－mx2＋2m)‎ ‎＝m2x1x2－2m2(x1＋x2)＋4m2，‎ ‎∴(1＋m2)x1x2－2m2(x1＋x2)＋4m2>0，‎ ‎∴(1＋m2)(4m2＋3)－8m4＋4m2(m2－3)>0，‎ 即7m2＋3－12m2>0，∴m2<，‎ 与m2>3矛盾，∴不存在实数m，使得∠AOB为锐角．‎