2020全国中考数学试卷分类汇编专题22 等腰三角形

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2020全国中考数学试卷分类汇编专题22 等腰三角形

等腰三角形 ‎ 一.选择题 ‎1.(3分2020年辽宁省辽阳市)一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放,若∠1=20°,则∠2的度数是(  )‎ A.15° B.20° C.25° D.40°‎ ‎【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵AB∥CD,‎ ‎∴∠3=∠1=20°,‎ ‎∵三角形是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠2=45°﹣∠3=25°,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质,平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.‎ ‎2. . 2020年青海省等腰三角形的一个内角为70°,则另外两个内角的度数分别是( )‎ A. 55°,55° B. 70°,40°或70°,55° C. 70°,40° D. 55°,55°或70°,40°‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 先根据等腰三角形的定义,分的内角为顶角和的内角为底角两种情况,再分别根据三角形的内角和定理即可得.‎ ‎【详解】(1)当的内角为这个等腰三角形的顶角 则另外两个内角均为底角,它们的度数为 ‎(2)当的内角为这个等腰三角形的底角 则另两个内角一个为底角,一个为顶角 底角为,顶角为 综上,另外两个内角的度数分别是或 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理,根据等腰三角形的定义,正确分两种情况讨论是解题关键.‎ ‎3. (2020•四川省甘孜州•3分)如图,等腰△中,点D,E分别在腰AB,AC上,添加下列条件,不能判定≌的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案.‎ ‎【详解】解: A.若添加,由于AB=AC,∠A是公共角,则可根据SAS判定≌,故本选项不符合题意;‎ B.若添加,不能判定≌,故本选项符合题意;‎ C.若添加,由于AB=AC,∠A是公共角,则可根据AAS判定≌,故本选项不符合题意;‎ D.若添加,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABE=∠ACD,由于∠A是公共角,则可根据ASA判定≌,故本选项不符合题意.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质,属于基本题型,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.‎ ‎4. (2020•山东济宁市•3分)一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,2小时后到达海岛B处.灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42°方向上,在海岛B的北偏西84°方向上.则海岛B到灯塔C的距离是( )‎ A. 15海里 B. 20海里 C. 30海里 D. 60海里 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出图形,根据三角形外角性质求出∠C=∠CAB=42°,根据等角对等边得出BC=AB,求出AB即可.‎ ‎【详解】解:∵根据题意得:∠CBD=84°,∠CAB=42°,‎ ‎∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB,‎ ‎∴BC=AB,‎ ‎∵AB=15海里/时×2时=30海里,‎ ‎∴BC=30海里,‎ 即海岛B到灯塔C的距离是30海里.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定和三角形的外角性质,关键是求出∠C=∠CAB,题目比较典型,难度不大.‎ ‎5.(2020•山东聊城市•3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=65°,点D是BC 边上任意一点,过点D作DF∥AB交AC于点E,则∠FEC的度数是(  )‎ A.120° B.130° C.145° D.150°‎ ‎【分析】由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=65°,由平行线的性质得出∠CDE=∠B=65°,再由三角形的外角性质即可得出答案.‎ ‎【解答】解:∵AB=AC,∠C=65°,‎ ‎∴∠B=∠C=65°,‎ ‎∵DF∥AB,‎ ‎∴∠CDE=∠B=65°,‎ ‎∴∠FEC=∠CDE+∠C=65°+65°=130°;‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质;熟练掌握等腰三角形的性质和平行线的性质是解题的关键.‎ ‎6.(2020•山东临沂市•3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,CD∥AB,则∠BCD=(  )‎ A.40° B.50° C.60° D.70°‎ ‎【分析】根据等腰三角形的性质可求∠ACB,再根据平行线的性质可求∠BCD.‎ ‎【解答】解:∵在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,‎ ‎∴∠ACB=70°,‎ ‎∵CD∥AB,‎ ‎∴∠ACD=180°﹣∠A=140°,‎ ‎∴∠BCD=∠ACD﹣∠ACB=70°.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】考查了等腰三角形的性质,平行线的性质,关键是求出∠ACB和∠‎ ‎7. (2020•福建省•4分)如图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于(  )‎ A.10 B.5 C.4 D.3‎ ‎【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解.‎ ‎【解答】解:∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,‎ ‎∴CD=5.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】考查了等腰三角形的性质,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.‎ ‎8. (2020•四川省南充市•4分)如图,在等腰三角形ABC中,BD为∠ABC的平分线,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD=( )‎ A. B. C. a-b D. b-a ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD,进而解答即可.‎ ‎【详解】解:∵在等腰△ABC中,BD为∠ABC的平分线,∠A=36°,‎ ‎∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°,‎ ‎∴∠ABD=36°=∠A,‎ ‎∴BD=AD,‎ ‎∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C,‎ ‎∴BD=BC,‎ ‎∵AB=AC=a,BC=b,‎ ‎∴CD=AC-AD=a-b,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】此题考查等腰三角形的性质,关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD解答.‎ 二.填空题 ‎1. (2020年山东省滨州市5分)在等腰△ABC中,AB=AC,∠B=50°,则∠A的大小为 80° .‎ ‎【分析】根据等腰三角形两底角相等可求∠C,再根据三角形内角和为180°列式进行计算即可得解.‎ ‎【解答】解:∵AB=AC,∠B=50°,‎ ‎∴∠C=∠B=50°,‎ ‎∴∠A=180°﹣2×50°=80°.‎ 故答案为:80°.‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质,主要利用了等腰三角形两底角相等的性质.‎ ‎(2020•贵州省安顺市•4分)如图,△ABC中,点E在边AC上,EB=EA,∠A=2∠CBE,CD垂直于BE的延长线于点D,BD=8,AC=11,则边BC的长为  .‎ ‎【分析】延长BD到F,使得DF=BD,根据等腰三角形的性质与判定,勾股定理即可求出答案.‎ ‎【解答】解:延长BD到F,使得DF=BD,‎ ‎∵CD⊥BF,‎ ‎∴△BCF是等腰三角形,‎ ‎∴BC=CF,‎ 过点C点作CH∥AB,交BF于点H ‎∴∠ABD=∠CHD=2∠CBD=2∠F,‎ ‎∴HF=HC,‎ ‎∵BD=8,AC=11,‎ ‎∴DH=BH﹣BD=AC﹣BD=3,‎ ‎∴HF=HC=8﹣3=5,‎ 在Rt△CDH,‎ ‎∴由勾股定理可知:CD=4,‎ 在Rt△BCD中,‎ ‎∴BC==4,‎ 故答案为:4‎ ‎【点评】本题考查勾股定理,解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质与判定,本题属于中等题型.‎ 三.解答题 ‎1.(2020•广东省•6分)如题20图,在△ABC中,点D.E分别是AB.AC边上的点,BD=CE,∠ABE=∠ACD,BE与CD相交于点F.求证:△ABC是等腰三角形.‎ ‎【答案】‎ 证明:‎ ‎∵BD=CE,∠ABE=∠ACD,∠DFB=∠CFE ‎∴△BFDF≌△CFE(AAS)‎ ‎∴∠DBF=∠ECF ‎∵∠DBF+∠ABE=∠ECF+∠ACD ‎∴∠ABC=∠ACB ‎∴AB=AC ‎∴△ABC是等腰三角形 ‎【解析】等式的性质、等角对等边 ‎【考点】全等三角形的判定方法、等腰三角形的判定方法 ‎2.(2020•贵州省安顺市•10分)如图,AB为⊙O的直径,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC,BD交于点E,⊙O的切线AF交BD的延长线于点F,切点为A,且∠CAD=∠ABD.‎ ‎(1)求证:AD=CD;‎ ‎(2)若AB=4,BF=5,求sin∠BDC的值.‎ ‎【分析】(1)根据圆周角定理得∠ABD=∠ACD,进而得∠ACD=∠CAD,便可由等腰三角形判定定理得AD=CD;‎ ‎(2)证明△ADF≌△ADE,得AE=AF,DE=DF,由勾股定理求得AF,由三角形面积公式求得AD,进而求得DE,BE,再证明△BEC∽△AED,得BC,进而求得sin∠BAC便可.‎ ‎【解答】解:(1)证明:∵∠CAD=∠ABD,‎ 又∵∠ABD=∠ACD,‎ ‎∴∠ACD=∠CAD,‎ ‎∴AD=CD;‎ ‎(2)∵AF是⊙O的切线,‎ ‎∴∠FAB=90°,‎ ‎∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ACB=∠ADB=∠ADF=90°,‎ ‎∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠FAD=90°,‎ ‎∴∠ABD=∠FAD,‎ ‎∵∠ABD=∠CAD,‎ ‎∴∠FAD=∠EAD,‎ ‎∵AD=AD,‎ ‎∴△ADF≌△ADE(ASA),‎ ‎∴AF=AE,DF=DE,‎ ‎∵AB=4,BF=5,‎ ‎∴AF=,‎ ‎∴AE=AF=3,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴DE=,‎ ‎∴BE=BF﹣2DE=,‎ ‎∵∠AED=∠BEC,∠ADE=∠BCE=90°,‎ ‎∴△BEC∽△AED,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵∠BDC=∠BAC,‎ ‎∴.‎ ‎【点评】本题主要考查了圆的切线的性质,圆周角定理,相似三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判定,等腰三角形的性质与判定,解直角三角形的应用,勾股定理,关键是证明三角形全等与相似.‎ ‎3. 16. 2020年内蒙古通辽市如图,在中,,点P在斜边上,以为直角边作等腰直角三角形,,则三者之间的数量关系是_____.‎ ‎【答案】PA2+PB2=PQ2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把AP2和PB2都用PC和CD表示出来,结合Rt△PCD中,可找到PC和PD和CD的关系,从而可找到PA2,PB2,PQ2三者之间的数量关系;‎ ‎【详解】解:过点C作CD⊥AB,交AB于点D ‎∵△ACB为等腰直角三角形,CD⊥AB,‎ ‎∴CD=AD=DB,‎ ‎∵PA2=(AD-PD)2=(CD-PD)2=CD2-2CD•PD+PD2,‎ PB2=(BD+PD)2=(CD+PD)2=CD2-2CD•PD+PD2,‎ ‎∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2(CD2+PD2),‎ 在Rt△PCD中,由勾股定理可得PC2=CD2+PD2,‎ ‎∴PA2+PB2=2PC2,‎ ‎∵△CPQ为等腰直角三角形,且∠PCQ=90°,‎ ‎∴2PC2=PQ2,‎ ‎∴PA2+PB2=PQ2,‎ 故答案为PA2+PB2=PQ2.‎ ‎【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质,勾股定理的应用,关键是作出辅助线,利用三线合一进行论证.‎
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