【数学】2019届一轮复习人教A版探索分段函数的图象与性质学案

【数学】2019届一轮复习人教A版探索分段函数的图象与性质学案

一．方法综述 ‎ 分段函数：对于自变量的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数，而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集.‎ ‎ 求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围.‎ 对于分段函数应用题，尤其是求最值问题，不仅要分段考虑，最后还要再将各段综合起 进行比较．要注意分段函数值域是各段上函数值域的并集，最大(小)值是各段上最大(小)值中最大(小)的．‎ 二．解题策略 类型一：分段函数的图象 例1.已知f(x)＝则下列函数的图象错误的是(　　)‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎【解题秘籍】函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性. : ]‎ ‎【举一反三】【2017年第三次全国大联考（山东卷）】已知偶函数与奇函数满足 ‎，设函数且，则函数的图象是（ ）‎ ‎【答案】D 类型二：分段函数的周期性 例2.【2014年四川卷】设是定义在上的周期为2的函数，当时， ，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】1‎ ‎【解题秘籍】判断周期函数的一般方法:‎ ‎(1)定义法：应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含条件，合理赋值，巧妙转化．考点梳理栏目中有关周期的结论应熟记．‎ ‎(2)公式法：若函数f(x)是周期函数，且周期为T，则函数f(ax＋b)(a≠0)也为周期函数，且周期T′＝.‎ ‎【举一反三】【2014年安徽卷】若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查函数的周期性和奇偶性.因为周期是4，且在上的解析式为， ‎ 所以 ‎.‎ 类型三：分段函数的奇偶性 例3.【2017江西九江地区联考】已知函数，定义函数则是（ ）‎ A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数，又是偶函数 D．非奇非偶函数 ‎【答案】A ‎【举一反三】已知函数是奇函数，则 .‎ ‎【答案】-15‎ ‎【解析】 ‎ 类型四：分段函数的单调性 例4.【2017河南濮阳市检测】已知函数当时，，则的取值范围是（ ）‎ A. B． C． D．[ : | ]‎ ‎【答案】A ‎ ‎【举一反三】【2006年北京卷】已知是上的减函数，那么的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意，有07a－1，‎ 当x>1时，logax<0，所以7a－1³0解得x³， ‎ 故选C. ‎ 三．强化训练 ‎1.【2017湖南衡阳三次联考】设函数是定义在上的奇函数，且，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】由分段函数的解析式可知： .‎ ‎2.【湖北2017届百所重点校高三联考】“”是“函数是在 上的单调函数”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎ 3.【2017山东省实验中 一诊】已知定义在上的偶函数满足，且时，则的零点个数是（ ） ‎ A．9 B．10 C．18 D．20‎ ‎【答案】C ‎【解析】，只需考虑上与交点个数，在第一个周期上有3个交点，第二个周期上有4个交点，在 上有2个交点，共有9个交点，因此零点个数一共是18个，故选C.‎ ‎4.已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）‎ A.是偶函数 B.在上是增函数 ‎ C.是周期函数 D.的值域为 ‎【答案】D ‎ 5.【2017年第一次全国大联考（山东卷）】已知函数是奇函数，则方程的根为（　　）‎ A． B． C. ， D．，‎ ‎【答案】B : ]‎ ‎【解析】因为函数为上的奇函数，所以，即，解得.‎ 所以.方程，即.‎ 当时，有，整理得，解得.‎ 综上，方程的根为，故选B. ‎ ‎6.【2017四川巴中市】定义在上的奇函数和偶函数满足：，给出如下结论：‎ ‎①且； ‎ ‎②，总有；‎ ‎③，总有；‎ ‎④，使得.‎ 其中所有正确结论的序号是（ ）‎ A.①②③ B．②③ C．①③④ D．①②③④‎ ‎【答案】A.‎ ‎7.【2017年第一次全国大联考（山东卷）】已知函数是奇函数，则方程的根为（　　） ‎ A． B． C. ， D．，‎ ‎【答案】B ]‎ ‎【解析】因为函数为上的奇函数，所以，即，解得.所以.方程，即.当时，有，整理得，解得.综上，方程的根为，故选B.‎ ‎8.若函数是R是的单调递减函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】要使为R上的减函数，则，解得 ‎9.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时恒有f(x+2)=f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)=ex1，则f(2014)+f(-2015)=（ ）‎ A.1-e B.e-1 C.-1-e D.e+1‎ ‎【答案】A ‎ 10.若直角坐标系内A、B两点满足：（1）点A、B都在f（x）的图像上；（2）点A、B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作一个“姊妹点对”。已知函数f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（ ）‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设P（x，y） 令x＜0，则点P关于原点的对称点为P′（-x，-y），于是 即，‎ 令,，画出,的图像 可得有两个交点，所以有两个解也就是说f（x）的“姊妹点对”有两个．所以选B．‎ ‎11.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . ‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】∵，∴，又∵在上单调递增，‎ ‎∴，即实数的取值范围是.‎ ‎12.【2018陕西西安联考】已知函数，无论去何值，函数在区间上总是不单调，则的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎ 13.【2017河北五邑四模】已知函数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时， ， 即，即此时函数是周期为4的周期函数， 则 ‎.‎ ‎14．【2017绵阳诊断】已知实数，函数，若，则的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎15．【2017重庆二诊】设函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题意，可以考虑采用数形结合法，作出函数的图象，当时，函数单调递减，且最小值为，则令，解得，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则最大值为2，且， ，综上得所求实数的取值为.‎