【数学】2020届一轮复习人教A版集合简易逻辑平面向量三角函数课时作业
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={x|x2-1<0}，B=，则A∩B= ( )
A.(-1，1) B.(1，+∞)
C. D.
【解题指南】求出集合A和B，由此求出A∩B.
【解析】选D.A={x|x2-1<0}={x|-1
1”的 ( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由题意得，根据<1，解得x>0，又由>1，解得01”的必要不充分条件.
【变式备选】“若x=0或x=1，则x2-x =0”的否命题为 ( )
A.若x=0或x=1，则x2-x≠0
B.若x2-x=0，则x=0或x=1
C.若x≠0或x≠1，则x2-x≠0
D.若x≠0且x≠1，则x2-x≠0
【解析】选D.“若x=0或x=1，则x2-x=0”的否命题为：若x≠0且x≠1，则x2-x≠0.
3.已知向量a=(，1)，b=(0，-1)，c=(k，)，若(a-2b)⊥c，则k等于
( )
A.2 B.2 C.-3 D.1
【解析】选C.因为(a-2b)⊥c，a-2b=(，3)，所以k+3=0，k=-3.
4.设a=，b=，c=ln，则 ( )
A.c0，b>0，又因为
函数f(x)=在区间(0，e)上是增加的，
故f>f，即>，
则ln>ln，据此有：ln>ln，结合对数函数的单调性有：>，即a>b，综上可得：a>b>c.
5.(2018·安康模拟)已知A(-1，cos θ)，B(sin θ，1)，若|+|=|-|(O为坐标原点)，则锐角θ= ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.方法一：+是以OA，OB为邻边作平行四边形OADB的对角线向量，-是对角线向量，由已知可得，对角线相等，则平行四边形
OADB为矩形.故OA⊥OB.因此·=0，所以sin θ-cos θ=0，所以锐角θ=.
方法二：+=(sin θ-1，cos θ+1)，-=(-sin θ-1，cos θ-1)，由|+|=|-|可得(sin θ-1)2+(cos θ+1)2=(-sin θ-1)2+
(cos θ-1)2，整理得sin θ=cos θ，于是锐角θ=.
6.“函数y=lncos x的图像是 ( )
【解析】选B.由题意得f(-x)=lncos(-x)=lncos x=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以图像关于y轴对称，所以排除A，C.由题得f=ln<0，所以排除D.
7.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2=+，且||=||，则向量在向量方向上的投影为 ( )
A. B.- C.- D.
【解析】选D.由题意可得：(-)+(-)=0，即+=0，=-，
即外接圆的圆心O为边BC的中点，则△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
结合||=||=1，则∠ACB=，|CA|=，则向量在向量方向上的投影为
||cos=×=.
8.(2018·西安模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B+C)0，则cos A=>0，因为0.因此角A的取值范围是.
9.已知函数f(x)=+cos x，下列说法中正确的个数为 ( )
①f(x)在上是减函数；
②f(x)在(0，π)上的最小值是；
③f(x)在(0，2π)上有两个零点.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选C.f′(x)=--sin x，当x∈时，f′(x)<0，故f(x)在上是减少的，①正确；f=<，故②错误；
由y=和y=-cos x的函数图像可知在(0，2π)上有两个交点，
所以f(x)在(0，2π)上有两个零点，③正确.
10.(2019·滁州模拟)已知cos +sin θ=，则sin 的值是
( )
A. B. C.- D.-
【解析】选C.因为cos +sin θ=，所以cos θ+sin θ=，
即=，
即sin =，所以sin =，
所以sin =-sin =-.
11.将函数f(x)=cos+(ω>0)的图像向左平移个单位，得到函数y=g(x)的图像，若y=g(x)在上为增函数，则ω的最大值为
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.
f(x)=cos+
=sin ωx-2×+
=sin ωx-cos ωx=2sin ，
将f(x)的图像向左平移个单位，
得y=2sin的图像，
所以函数y=g(x)=2sin ωx.
又y=g(x)在上为增函数，所以≥，
即≥，解得ω≤2.所以ω的最大值为2.
【变式备选】在△ABC中，a=1，b=，A=，则角B等于 ( )
A.或 B.
C. D.
【解析】选A.因为a=1，b=，A=，
所以由正弦定理得：=.
则sin B===，
又因为0a，
所以B=或.
12.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且对任意的实数x都有f′(x)=e-x(2x+3)-f(x)(e是自然对数的底数)，且f(0)=1，若关于x的不等式f(x)-m<0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是 ( )
A.(-e，0] B.[-e2，0)
C.[-e，0) D.(-e2，0]
【解析】选A.由题意可知，[f(x)+f′(x)]ex=2x+3，即[f(x)ex]′=2x+3，
所以f(x)ex=x2+3x+C，由f(0)=1⇒C=1，
所以f(x)=(x2+3x+1)e-x，
由f(x)可以知道f′(x)=-e-x(x2+x-2)，
f(x)在(-∞，-2)，(1，+∞)上减少，
在(-2，1)上增加，所以f(x)有极小值f(-2)，
f(-2)=-e2，f(-1)=-e，f(-3)=e3，
且x>1时，f(x)>0，
结合f(x)的图像，要使关于x的不等式f(x)-m<0的解集中恰有两个整数，
则f(-1)2的值域为，要使值域为R，x+a最大值必须大于等于，即满足2+a≥，解得：a≥-.
答案：a≥-
15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=1-log2x，则不等式f(x)<0的解集是_______.
【解析】由题意得，f(x)<0等价于
或
即或
解得x>2或-20，则△ABC一定为锐角三角形.
则其中正确命题的序号是_______.(把所有正确的命题序号都填上)
【解析】对于命题(1)，2A=2B或2A+2B=π，
所以△ABC为等腰或直角三角形，不正确；
对于命题(2)，因为sin A=sin B，由正弦定理可知，a=b，所以该三角形为等腰三角形，正确；
对于命题(3)由sin2A+sin2B+cos2C<1可得sin2A+sin2B0，所以A，B，C全为锐角，命题(4)正确，
故其中正确命题的序号是(2)(3)(4).
答案：(2)(3)(4)
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)计算：
(1)-+0.2×.
(2)lg25+lg2-lg-log29×log32.
【解析】(1)原式=-4-1+×()4=-3.
(2)原式=lg2+lg2-lg1-log232×log32
=lg(2×2×1)-2×log32
=lg1-2=-2=-.
18.(12分)已知函数f(x)=lo(x2-2ax+3).
(1)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.
(2)若f(x)在(-∞，1]上是增加的，求实数a的取值范围.
【解析】令u=x2-2ax+3，y=lou.
(1)f(x)的值域为R⇔u=x2-2ax+3能取(0，+∞)的一切值，
所以Δ=4a2-12≥0⇒a∈(-∞，-]∪[，+∞).
(2)f(x)在(-∞，1]内是增加的⇔u=x2-2ax+3在(-∞，1]内单调递减且恒正，所以⇒⇒a∈[1，2).
19.(12分)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos2+
sin 2A=1.
(1)求A.
(2)设a=2-2，△ABC的面积为2，求b+c的值.
【解析】(1)因为2cos2+sin 2A=1，
所以1+cos(B+C)+sin 2A=1，
所以cos(B+C)+sin 2A=0，
所以-cos A+2sin Acos A=0，
又因为△ABC为锐角三角形，所以sin A=，
所以A=30°.
(2)因为S=bcsin A=2，所以bc=8，
又因为a2=b2+c2-2bccos A，
所以12+4-8=b2+c2-8，
所以b2+c2=16，
故b+c===4.
20.(12分)函数f(x)=2x-的定义域为(0，1](a∈R).
(1)当a=-1时，求函数y=f(x)的值域.
(2)若函数y=f(x)在定义域上是减函数，求a的取值范围.
(3)求函数y=f(x)在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值.
【解析】(1)函数y=f(x)=2x+≥2，当且仅当x=时取等号，
所以函数y=f(x)的值域为[2，+∞).
(2)若函数y=f(x)在定义域上是减函数，
则任取x1，x2∈(0，1]且x1
f(x2)成立，即(x1-x2)·>0，只要a<-2x1x2即可，由x1，x2∈(0，1]，故-2x1x2∈(-2，0)，所以a≤-2，
故a的取值范围是(-∞，-2].
(3)当a≥0时，函数y=f(x)在(0，1]上是增加的，无最小值，当x=1时取得最大值2-a；
由(2)得当a≤-2时，y=f(x)在(0，1]上是减少的，无最大值，当x=1时取得最小值2-a；
当-220=1，所以f(x1)-f(x2)>0，
所以f(x)在(0，1)上是减少的.
(3)当x∈(0，1)时，因为f(x)在(0，1)上是减少的，所以f(1)0)，
则h′(x)==，
当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)是减少的，
当x∈(1，+∞)时，h′(x)>0，h(x)是增加的，
所以h(x)min=h(1)=4，所以a的取值范围为(-∞，4].
22.(12分)已知函数f(x)=lnx-(1+a)x2-x.
(1)讨论函数f(x)的单调性.
(2)当a<1时，证明：对任意的x∈(0，+∞)，有f(x)<--(1+a)x2-a+1.
【解析】(1)由题意得f′(x)=(x>0)，
当a≠-1时，由f′(x)=0得2(1+a)x2+x-1=0，且Δ=9+8a，当Δ>0时，
有x1=，x2=，
①当a=-1时，f(x)在(0，1)上是增加的，
在(1，+∞)上是减少的；
②当a>-1时，f(x)在(0，x2)上是增加的，
在(x2，+∞)上是减少的；
③当a≤-时，f(x)在(0，+∞)上是增加的；
④当-0)，
当0e时，g′(x)>0，
所以g(x)≥g(e)=-+1-a，
又a<1，所以-+1-a>->-1，即
F(x)max0.
所以-12时，
f′(x)<0⇒x∈，
所以f(x)在上是减少的；
所以f(x)在，上是增加的.
(2)①当a≤2时，由(1)知f(x)在(-1，1)上是增加的；
所以x∈(0，1)时，f(x)>f(0)=0，即有：
ln>ax，ln<-ax，
从而可得：>eax，2时，由(1)知f(x)在
上是减少的；
所以x∈时，f(x)-ax，从而可得：
e-ax，
所以eax-e-ax>，不合题意，舍去.
综上所述，实数a的取值范围为a≤2.
