【数学】2018届一轮复习人教A版二次函数与幂函数教案
1.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值)．
2．了解二次函数的广泛应用．
3．了解幂函数的概念．
4．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况．
知识点一 幂函数
1．幂函数的定义
形如________(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是________，α为______．
2．五种幂函数的图象
3．五种幂函数的性质
答案
1．y＝xα 自变量 常数
3．R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞
) 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 [0，＋∞) (－∞，0] 增 增 (0，＋∞) (－∞，0)
1．判断正误
(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．( )
(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( )
(3)幂函数的图象不经过第四象限．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．(必修①P82A组第10题改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝( )
A. B．1
C. D．2
解析：因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1.又f(x)的图象过点，所以α＝，所以α＝，所以k＋α＝1＋＝.
答案：C
知识点二 二次函数
1．二次函数的三种常见解析式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；
(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．
2．二次函数的图象和性质
函数
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
图象
a>0
a<0
定义域
R
R
值域
y∈____________
y∈____________
对称轴
x＝________
顶点
坐标
奇偶性
b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数
递增
区间
递减
区间
答案
2. －
3．(必修①P24习题1.2A组第6题改编)若函数f(x)＝x2＋bx＋c，且f(0)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝( )
A．－1 B．－2
C．1 D．4
解析：由f(0)＝0，f(3)＝0，得解得所以f(x)＝x2－3x，所以f(－1)＝4，故选D.
答案：D
4．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：由题意知即得a>.
答案：C
5．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．
解析：如图，由图象可知m的取值范围是[1,2]．
答案：[1,2]
热点一 幂函数的图象与性质
【例1】 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x
)的图象是( )
(2)当0
g(x)>f(x)．
【答案】 (1)C (2)h(x)>g(x)>f(x)
【总结反思】
(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α
为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
比较下列各组数的大小：
(1)1.1，0.9，1；
(2) ，，(－1.1) .
解：(1)把1看作1，幂函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数．
∵0<0.9<1<1.1，∴0.9<1<1.1，即0.9<1<1.1.
(2)因为＝，
＝＝，
(－1.1) ＝(1.12) ＝1.21，
幂函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数，且<<1.21.
∴<<(－1.1) .
热点二 二次函数的图象及应用
【例2】 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即b2>4ac，①正确；
对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；
结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是( )
解析：若01，则y＝logax单调递增，y＝(a－1)x2－x开口向上，其图象的对称轴在y轴右侧，排除B.故选A.
答案：A
热点三 二次函数的性质及应用
考向1 二次函数的单调性问题
【例3】 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；
(2)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．
【解】 (1)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
所以实数a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
(2)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，
∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]．
且f(x)＝∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．
考向2 二次函数的最值问题
【例4】 已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．
【解】 函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.
当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，
∴1－a＝2，∴a＝－1.
当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1.
∴a2－a＋1＝2，即a2－a－1＝0.
∴a＝(舍去)．
当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.
综上可知，a＝－1或a＝2.
考向3 二次函数中的恒成立问题
【例5】 已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，求实数a的取值范围．
【解】 由题意知2ax2＋2x－3<0在[－1，1]上恒成立，
当x＝0时，－3<0，适合；
当x≠0时，a<2－，
因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值，所以a<.
综上，实数a的取值范围是.
【总结反思】
1．二次函数最值问题的三种类型及解题思路
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．
(2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．
2．由不等式恒成立求参数取值范围的两大思路及一个关键
(1)两大思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)一个关键：两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.
(1)(2017·宜春模拟)已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )
(2)(2017·定州模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x在区间[－1，n]上的值域是[－5,4]，则n的取值范围是( )
A．[2,5] B．[1,5]
C．[－1,2] D．[0,5]
(3)(2017·开封模拟)已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对x∈[－3,1]，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围为____
.
解析：(1)因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，得a>0，且c<0，所以f(0)＝c<0，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上．
(2)f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
所以f(2)＝4，又由f(x)＝－5，得x＝－1或5.
由f(x)的图象知：2≤n≤5.
(3)因为f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，
对称轴x＝－(a－2)，
对x∈[－3,1]，f(x)>0恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3,1]的位置关系得：
或
或解得a∈∅或1≤a<4或－
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