【物理】2020届一轮复习人教版第九章第四讲带电粒子在复合场中的运动学案

【物理】2020届一轮复习人教版第九章第四讲带电粒子在复合场中的运动学案

第四讲 带电粒子在复合场中的运动 热点一 带电粒子在叠加场中运动的实例分析 (自主学习) 1．质谱仪 (1)构造：如图所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成． (2)原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝1 2 mv2. 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有 qvB＝mv2 r . 由以上两式可得 r＝1 B 2mU q ，m＝qr2B2 2U ，q m ＝ 2U B2r2. 2．回旋加速器 (1)构造：如图所示，D1、D2 是半圆形金属盒，D 形盒的缝隙处接交流电源，D 形盒处于匀强磁场中． (2)原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由 qvB＝mv2 r ，得 Ekm＝q2B2r2 2m ，可见粒子获得的最大动能由磁感应强度 B 和 D 形盒半径 r 决定，与加速电压无关． 3．其他实验应用 装置 原理图 规律 速度 选择器 若 qv0B＝Eq，即 v0＝E B ，粒子做匀速直线运动 磁流体 发电机 等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、 负电，两极电压为 U 时稳定，qU d ＝qv0B，U＝v0Bd 电磁流 量计 U Dq＝qvB，所以 v＝ U DB 所以 Q＝vS＝πDU 4B 霍尔 元件 当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电 流方向都垂直的方向上出现电势差 1－1. [质谱仪] (2018·全国卷Ⅰ)现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图所示，其 中加速电压恒定．质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场．若某种 一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场， 需将磁感应强度增加到原来的 12 倍．此离子和质子的质量比约为( ) A．11 B．12 C．121 D．144 解析：带电粒子在加速电场中运动时，有 qU＝1 2 mv2，在磁场中偏转时，其半径 r＝mv qB ，由以上两式整理得 r＝1 B 2mU q .由于质子与一价正离子的电荷量相同，B1∶B2＝1∶12，当半径相等时，解得m2 m1 ＝144，D 正 确． 答案：D 1－2.[回旋加速器] (多选)如图是一个回旋加速器示意图，其核心部分是两个 D 形金属盒，两金属盒置于 匀强磁场中，并分别与高频电源相连．现分别加速氘核(21H)和氦核(42He)，下列说法中正确的是( ) A．它们的最大速度相同 B．它们的最大动能相同 C．两次所接高频电源的频率相同 D．仅增大高频电源的频率可增大粒子的最大动能 解析：由 R＝mv qB 得最大速度 v＝qBR m ，两粒子的q m 相同，所以最大速度相同，A 正确；最大动能 Ek＝1 2 mv2， 因为两粒子的质量不同，最大速度相同，所以最大动能不同，B 错误；高频电源的频率 f＝ qB 2πm ，因为q m 相 同，所以两次所接高频电源的频率相同，C 正确；粒子的最大动能与高频电源的频率无关，D 错误． 答案：AC 热点二 带电粒子在组合场中的运动 (师生共研) “磁偏转”和“电偏转”的比较 电偏转 磁偏转 偏转 条件 带电粒子以 v⊥E 进入匀强电场(不计 重力) 带电粒子以 v⊥B 进入匀强磁场(不计 重力) 受力 情况 只受恒定的电场力 F＝Eq 只受大小恒定的洛伦兹力 F＝qvB 运动 情况 类平抛运动 匀速圆周运动 运动 轨迹 求解 方法 利用类平抛运动的规律 x＝v0t，y＝ 1 2 at2，a＝qE m ，tan θ＝at v0 牛顿第二定律、向心力公式 r＝mv qB ，T ＝2πm qB ，t＝θT 2π [典例 1] 如图所示，一质量 m＝1×10－16 kg、电荷量 q＝2×10－6 C 的带正电微粒(重力不计)，从静止开始 经电压 U1＝400 V 的加速电场加速后，水平进入两平行金属板间的偏转电场中，金属板长 L＝1 m，两极间 距 d＝ 3 2 m，微粒射出偏转电场时的偏转角θ＝30°，接着进入一方向垂直于纸面向里的匀强磁场区，该 匀强磁场的磁感应强度大小 B＝π 3 T，微粒在磁场中运动后恰能从右边界射出．求： (1)微粒进入偏转电场时的速度大小 v0； (2)两金属板间的电压 U2； (3)微粒在磁场中的运动时间 t 和匀强磁场的宽度 D. 解析：(1)带电微粒在加速电场中，由动能定理有 qU1＝1 2 mv20 解得 v0＝ 2qU1 m ＝4×106 m/s. (2)带电微粒在偏转电场中运动时 a＝qE m ＝qU2 md t＝ L v0 tan θ＝at v0 ＝ 3 3 联立解得 U2＝400 V. (3)带电微粒在磁场中运动，恰好从右边界射出，对应圆周运动的圆心角为 120°，由洛伦兹力提供向心力， 有 qvB＝mv2 r 可得 r＝mv qB T＝2πr v ＝2πm qB 带电微粒在磁场中的时间 t＝T 3 ＝2πm 3qB ＝1×10－10 s 由几何关系可知 D＝r＋rsin θ，又v0 v ＝cos θ 解得 D＝6 3 π ×10－4 m. 答案：(1)4×106 m/s (2)400 V (3)1×10－10 s 6 3 π ×10－4 m [反思总结] “3 步”突破带电粒子在组合场中的运动问题 第 1 步：分阶段(分过程)按照时间顺序和进入不同的区域分成几个不同的阶段； 第 2 步：受力和运动分析，主要涉及两种典型运动，如下： 第 3 步：用规律 如图所示，真空中有一以(r,0)为圆心，半径为 r 的圆柱形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为 B，方向 垂直于纸面向里，在 y≥r 的范围内，有方向水平向左的匀强电场，电场强度的大小为 E；从 O 点向不同方 向发射速率相同的质子，质子的运动轨迹均在纸面内．已知质子的电荷量为 e，质量为 m，质子在磁场中 的偏转半径也为 r，不计重力及阻力的作用，求： (1)质子射入磁场时的速度大小； (2)速度方向沿 x 轴正方向射入磁场的质子， 到达 y 轴所需时间及与 y 轴交点坐标． 解析：(1)质子射入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 evB＝mv2 r ，可得 v＝ eBr m . (2)质子沿 x 轴正方向射入磁场，经1 4 圆弧后，以速度 v 垂直于电场方向进入电场，由于 T＝2πr v ＝2πm eB ，质 子在磁场中运动的时间为 t1＝T 4 ＝πm 2eB. 质子进入电场后做类平抛运动，沿电场方向运动 r 后到达 y 轴，因此有 r＝1 2 at22，则 t2＝ 2r a ＝ 2mr eE .所 求时间为 t＝t1＋t2＝πm 2eB ＋ 2mr eE . 与 y 轴的交点：y＝r＋ 2mr eE ·eBr m ＝r＋Br 2er mE ，x＝0. 答案：(1)eBr m (2)πm 2eB ＋ 2mr eE (0，r＋Br 2er mE) 热点三 带电粒子在叠加场中的运动 (师生共研) 带电体在复合场中运动的归类分析 1．磁场力、重力并存 (1)若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动． (2)若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒． 2．电场力、磁场力并存(不计重力) (1)若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动． (2)若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体做复杂的曲线运动，可用动能定理求解． 3．电场力、磁场力、重力并存 (1)若三力平衡，带电体做匀速直线运动． (2)若重力与电场力平衡，带电体做匀速圆周运动． (3)若合力不为零，带电体可能做复杂的曲线运动，可用能量守恒定律或动能定理求解． [典例 2] 如图所示，绝缘粗糙的竖直平面 MN 左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水 平向右，电场强度大小为 E，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为 B.一质量为 m、电荷量为 q 的带 正电的小滑块从 A 点由静止开始沿 MN 下滑，到达 C 点时离开 MN 做曲线运动．A、C 两点间距离为 h，重 力加速度为 g. (1)求小滑块运动到 C 点时的速度大小 vC； (2)求小滑块从 A 点运动到 C 点过程中克服摩擦力做的功 Wf； (3)若 D 点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到 D 点时 撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平地面上的 P 点．已知小滑块在 D 点时的速度大小为 vD，从 D 点运动 到 P 点的时间为 t，求小滑块运动到 P 点时速度的大小 vP. 解析：(1)小滑块沿 MN 运动过程，水平方向受力满足 qvB＋FN＝qE 小滑块在 C 点离开 MN 时，有 FN＝0 解得 vC＝E B. (2)由动能定理得 mgh－Wf＝1 2 mv2C－0 解得 Wf＝mgh－mE2 2B2 . (3)如图，小滑块速度最大时，速度方向与电场力、重力的合力方向垂直．撤去磁场后小滑块将做类平抛运 动，等效加速度为 g′，则 g′＝ qE m 2＋g2 且 v2P＝v2D＋g′2t2 解得 vP＝ v2D＋ qE m 2＋g2 t2. 答案：(1)E B (2)mgh－mE2 2B2 (3) v2D＋ qE m 2＋g2 t2 [反思总结] 遵循“解题流程”，规范答题 3－1.[电场、磁场、重力场] 如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，一带 电液滴从静止开始自 A 点沿曲线 ACB 运动，到达 B 点时，速度为零，C 点是运动的最低点，则以下叙述错 误的是( ) A．液滴一定带负电 B．液滴在 C 点时动能最大 C．液滴在 C 点电势能最小 D．液滴在 C 点机械能最小 解析：液滴偏转是由于受洛伦兹力作用，据左手定则可判断液滴一定带负电，A 正确；液滴所受电场力必 向上，而液滴能够从静止向下运动，是因为重力大于电场力，由 A→C 合力做正功，故在 C 处液滴的动能 最大，B 正确；而由于 A→C 克服电场力做功最多，电势能增加最多，又机械能与电势能的和不变，因此， 由 A→C 机械能减小，故液滴在 C 点机械能最小，C 错误，D 正确． 答案：C 3－2.[电场、磁场、重力场] 在如图所示的真空环境中，匀强磁场方向水平、垂直纸面向外，磁感应强度 B＝2.5 T；匀强电场方向水平向左，电场强度 E＝ 3 N/C.一个带负电的小颗粒质量 m＝3.0×10－7 kg，带电 荷量 q＝3.0×10－6 C，带电小颗粒在这个区域中刚好做匀速直线运动(g 取 10 m/s2)．则( ) A．这个带电小颗粒一定沿与水平方向成 30°向右下方做匀速直线运动 B．这个带电小颗粒做匀速直线运动的速度大小为 0.4 m/s C．若小颗粒运动到图中 P 点时，把磁场突然撤去，小颗粒将做匀加速直线运动 D．撤去磁场后，小颗粒通过与 P 点在同一电场线上的 Q 点，那么从 P 点运动到 Q 点所需时间为 0.08 3 s 解析：带电小颗粒受力如图：tan α＝mg qE ＝ 3 3 ，所以α＝30°，由左手定则可知带负电小颗粒运动方向应 与水平方向成 60°角斜向右上方，由平衡条件可得 qvB＝ mg sin 30° ，解得 v＝ mg qBsin 30° ＝0.8 m/s，A、B 错 误； 撤去磁场后，小颗粒受到的重力和电场力的合力与速度方向垂直，故小颗粒将做匀变速曲线运动(类平抛运 动)，C 错误；加速度大小为 a＝ mg msin 30° ＝2g＝20 m/s2，方向与水平方向成 30° 角斜向右下方，在竖直 方向上，小颗粒做初速度为 vsin 60°、加速度为 g 的竖直上抛运动，从 P 点运动到 Q 点所需时间为 t＝ 2vsin 60° g ＝0.08 3 s，D 正确． 答案：D 热点四 带电粒子在交变场中的运动 (师生共研) 解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路 先读图 看清、并明白场的变化情况 受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况 过程分析 分析粒子在不同时间内的运动情况 找衔接点 找出衔接相邻两过程的物理量 选规律 联立不同阶段的方程求解 [典例 3] 如图甲所示，M、N 为竖直放置且彼此平行的两块平板，板间距离为 d，两板中央各有一个小孔 O、O′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示(垂直纸面 向里为正)．有一束正离子在 t＝0 时垂直于 M 板从小孔 O 射入磁场．已知正离子的质量为 m，电荷量为 q， 正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为 T0，不考虑由于磁场变化而产生的电 场的影响，不计离子所受重力． (1)求磁感应强度 B0 的大小； (2)要使正离子从 O′孔垂直于 N 板射出磁场，求正离子射入磁场时的速度 v0 的可能值． [思路点拨] (1)正离子做匀速圆周运动的周期等于磁场的变化周期，由此可求出磁感应强度． (2)画出正离子在磁场中的运动轨迹，求出轨迹半径与 d 的几何关系即可求出速度的可能值． 解析：(1)设磁场方向垂直于纸面向里时为正，正离子射入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力， 有 B0qv0＝mv20 r 粒子运动的周期 T0＝2πr v0 联立两式得磁感应强度 B0＝2πm qT0 . (2)正离子从 O′孔垂直于 N 板射出磁场时，运动轨迹如图所示． 在两板之间正离子只运动一个周期 T0 时，有 r＝d 4 在两板之间正离子运动 n 个周期即 nT0 时，有 r＝ d 4n(n＝1,2,3…) 解得 v0＝ πd 2nT0 (n＝1,2,3…)． 答案：(1)2πm qT0 (2) πd 2nT0 (n＝1,2,3…) [反思总结] 分析带电粒子在交变磁场中的运动，首先必须明确粒子运动的周期与磁场变化的周期之间的关系，正确作 出粒子在磁场中随磁场变化的运动轨迹图，然后灵活运用粒子做圆周运动的规律进行解答．还要注意对题 目中隐含条件的挖掘，分析不确定因素，力求使解答准确、完整． 电视机显像管中需要用变化的磁场来控制电子束的偏转．图(a)为显像管工作原理示意图，阴极 K 发射的电 子束(初速不计)经电压为 U 的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，磁场方向垂直于圆面(以垂直圆面向里 为正方向)，磁场区的中心为 O，半径为 r，荧光屏 MN 到磁场区中心 O 的距离为 L.当不加磁场时，电子束 将通过 O 点垂直打到屏幕的中心 P 点．当磁场的磁感应强度随时间按图(b)所示的规律变化时，在荧光屏上 得到一条长为 2 3L 的亮线．由于电子通过磁场区的时间很短，可以认为在每个电子通过磁场区的过程中 磁感应强度不变．已知电子的电荷量为 e，质量为 m，不计电子之间的相互作用及所受的重力．求： (1)电子打到荧光屏上时速度的大小； (2)磁感应强度的最大值 B0. 解析：(1)电子打到荧光屏上时速度的大小等于它飞出加速电场时的速度大小，设为 v，由动能定理 eU＝ 1 2 mv2；解得 v＝ 2eU m . (2)当交变磁场为峰值 B0 时，电子束有最大偏转，电子打在荧光屏上 Q 点，PQ＝ 3L.电子运动轨迹如图所 示，设此时的偏转角度为θ，由几何关系可知，tan θ＝ 3L L ，θ＝60°. 根据几何关系，电子束在磁场中运动路径所对的圆心角α＝θ而 tan α 2 ＝r R. 由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得 evB0＝mv2 R ；解得 B0＝ 6meU 3er . 答案：(1) 2eU m (2) 6meU 3er 1．质谱仪是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具．如图所示为质谱仪的原理示意图，现利用质 谱仪对氢元素进行测量．让氢的三种同位素的离子流从容器 A 下方的小孔 S 无初速度飘入电势差为 U 的加 速电场．加速后垂直进入磁感应强度为 B 的匀强磁场中．氢的三种同位素最后打在照相底片 D 上，形成 a、 b、c 三条“质谱线”．则下列判断正确的是( A ) A．进入磁场时速度从大到小排列的顺序是氕、氘、氚 B．进入磁场时动能从大到小排列的顺序是氕、氘、氚 C．在磁场中运动时间由大到小排列的顺序是氕、氘、氚 D．a、b、c 三条“质谱线”依次排列的顺序是氕、氘、氚 2．如图所示，一带电塑料小球质量为 m，用丝线悬挂于 O 点，并在竖直平面内摆动，最大摆角为 60°， 水平磁场垂直于小球摆动的平面．当小球自左方摆到最低点时，悬线上的张力恰为零，则小球自右方最大 摆角处摆到最低点时悬线上的张力为( C ) A．0 B．2mg C．4mg D．6mg 3．(多选)导体导电是导体中自由电荷定向移动的结果，这些可以定向移动的电荷又叫载流子，例如金属导 体中的载流子就是电子．现代广泛应用的半导体材料分为两大类：一类是 N 型半导体，其载流子是电子， 另一类是 P 型半导体，其载流子称为“空穴”，相当于带正电的粒子．如果把某种导电材料制成长方体放 在匀强磁场中，磁场方向如图所示，且与长方体的前后侧面垂直，当长方体中通有向右的电流 I 时，测得 长方体的上下表面的电势分别为φ上和φ下，则( AC ) A．长方体如果是 N 型半导体，必有φ上＞φ下 B．长方体如果是 P 型半导体，必有φ上＞φ下 C．长方体如果是 P 型半导体，必有φ上＜φ下 D．长方体如果是金属导体，必有φ上＜φ下 4．如图所示，在 y 轴左侧的区域内存在方向与 x 轴同向的匀强电场，电场强度为 E.在 y 轴右侧以原点 O 为圆心、半径为 R 的半圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于 xOy 平面并指向纸面里，磁感应强度为 B.x 轴上的 A 点与 O 点的距离为 d.一质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子从 A 点由静止释放，经电场加速 后从 O 点射入磁场．不计粒子的重力作用． (1)求粒子在磁场中运动的轨道半径 r； (2)要使粒子进入磁场之后不再经过 y 轴，电场强度需大于或等于某个值 E0，求 E0； (3)若电场强度 E 等于第(2)问中 E0 的2 3 ，求粒子经过 y 轴时的位置． 解析：(1)粒子在电场中做匀加速运动，则有 Eq＝ma，v2＝2ad. 粒子进入磁场中做匀速圆周运动，则有 qvB＝mv2 r . 联立以上各式解得 r＝ 2mqEd qB . (2)粒子进入磁场之后恰好不再经过 y 轴，则粒子离开磁场时的速度方向与 y 轴平行，由几何关系可得 r＝ 2 2 R. 联立以上各式解得 E0＝qB2R2 4md . (3)将 E＝2 3 E0 代入可得在磁场中运动的轨道半径 r′＝ R 3 . 带电粒子运动轨迹如图所示，则有 cos α＝ R 2 r′ ＝ 3 2 ，即α＝30°，β＝2α＝60°. 粒子第一次经过 y 轴时 y1＝r′＋ r′ cos β 联立以上各式解得 y1＝ 3R. 此后粒子进入电场中做类斜抛运动，设在电场中运动的时间为 t，沿 y 轴方向上运动的距离为Δy，则有 Δy＝vcos 30°·t，vsin 30°＝at 2. 联立解得Δy＝ 3d. 则粒子第二次经过 y 轴时 y2＝ 3(R＋d)． 答案：(1) 2mqEd qB (2)qB2R2 4md (3)(0， 3R)和[0， 3(R＋d)] [A 组·基础题] 1．(2018·全国卷Ⅰ)如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场 方向垂直于纸面向里，三个带正电的微粒 a，b，c 电荷量相等，质量分别为 ma，mb，mc，已知在该区域 内，a 在纸面内做匀速圆周运动，b 在纸面内向右做匀速直线运动，c 在纸面内向左做匀速直线运动．下列 选项正确的是( B ) A．ma>mb>mc B．mb>ma>mc C．mc>ma>mb D．mc>mb>ma 2．质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图所示．粒子源 S 发出两 种带正电的同位素粒子甲和乙，两种粒子从 S 出来时速度很小，可忽略不计．粒子经过加速电场加速后垂 直进入有界匀强磁场(图中线框所示)，最终打到照相底片上．测得甲、乙两种粒子打在照相底片上的点到 入射点的距离之比为 5∶4.则它们在磁场中运动的时间之比是( C ) A．5∶4 B．4∶5 C．25∶16 D．16∶25 3．(多选)某型号的回旋加速器的工作原理图如图甲所示，图乙为俯视图．回旋加速器的核心部分为 D 形盒， D 形盒置于真空容器中，整个装置放在电磁铁两极之间的磁场中，磁场可以认为是匀强磁场，且与 D 形盒 面垂直．两盒间狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计．质子从粒子源 A 处进入加速电场的初速度 不计，从静止开始加速到出口处所需的时间为 t，已知磁场的磁感应强度大小为 B，质子质量为 m、电荷 量为＋q，加速器接一高频交流电源，其电压为 U，可以使质子每次经过狭缝都能被加速，不考虑相对论 效应和重力作用．则下列说法正确的是( AB ) A．质子第一次经过狭缝被加速后，进入 D 形盒运动轨迹的半径 r＝1 B 2mU q B．D 形盒半径 R＝ 2Ut πB C．质子能够获得的最大动能为2q2BUt πm D．加速质子时的交流电源频率与加速α粒子的交流电源频率之比为 1∶1 4．(多选) 如图所示，甲是一个带正电的小物块，乙是一个不带电的绝缘物块，甲、乙叠放在一起静置于 粗糙的水平地板上，地板上方空间有水平方向的匀强磁场．现用水平恒力拉乙物块，使甲、乙一起保持相 对静止向左加速运动，在加速运动阶段，下列说法正确的是( ACD ) A．甲对乙的压力不断增大 B．甲、乙两物块间的摩擦力不断增大 C．乙对地板的压力不断增大 D．甲、乙两物块间的摩擦力不断减小 5．(多选)如图所示，两平行金属板水平放置，开始时开关 S 合上使平行板电容器带电．板间存在垂直于纸 面向里的匀强磁场．一个不计重力的带电粒子恰能以水平向右的速度沿直线通过两板．在以下方法中，能 使带电粒子仍沿水平直线通过两板的是( BD ) A．将两板的距离增大一倍，同时将磁感应强度增大一倍 B．将两板的距离减小一半，同时将磁感应强度增大一倍 C．将开关 S 断开，两板间的正对面积减小一半，同时将板间磁场的磁感应强度减小一半 D．将开关 S 断开，两板间的正对面积减小一半，同时将板间磁场的磁感应强度增大一倍 6．(2019·河南中原名校质检)如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场．区域Ⅰ匀强电场 的场强大小为 E、方向竖直向上，宽度为 L，区域Ⅱ匀强磁场的磁感应强度大小为 B，方向垂直纸面向外； 区域Ⅲ匀强磁场的磁感应强度大小也为 B，方向垂直纸面向里，一个不计重力的带正电的粒子，其比荷为q m ＝ E 2B2L ，从电场的下边缘的 O 点由静止开始运动，穿过区域Ⅱ进入区域Ⅲ后，又回到原点，然后重复上述 运动过程． (1)为使粒子能完成上述运动，区域Ⅲ的最小宽度为多大？ (2)粒子从 O 点开始运动全过程的周期 T 为多大？(结果用 B、E、L、 π的最简形式表示) 解析：(1)电场中加速 qEL＝1 2 mv2① 磁场中偏转 qvB＝mv2 R ② 粒子的运动轨迹如图所示，三段圆弧的圆心连线组成等边三角形，则区域Ⅲ的最小宽度 d＝R＋Rsin60°③ 联立①②③解得 d＝(2＋ 3)L； (2)在电场中 L＝ qE 2m t21④ 磁场中 T＝2πm qB ⑤ 总时间 t＝2t1＋ 1 6 T＋1 6 T＋5 6 T ＝12＋14πBL 3E . 答案：(1)(2＋ 3)L (2)12＋14πBL 3E [B 组·能力题] 7．质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，其构造原理如图所示，离子源 S 产生质量 为 m、电荷量为 q、初速度为 0 的某种正离子，离子经过电压 U 加速后形成离子流，然后从 S1 处垂直于磁 场进入矩形 ABCD 区域内的匀强磁场中，运动半周到达记录它的照相底片上的 P 点，已知 P 与 S1 的距离为 x，离子形成的等效电流为 I.求： (1)磁场的磁感应强度； (2)在时间 t 内到达照相底片 P 上的离子个数． 解析：(1)加速过程中有 qU＝1 2 mv2， 在磁场中偏转过程中有 x＝2R， qvB＝mv2 R. 联立上式解得：B＝2 x 2Um q ，由左手定则可判断出磁场方向垂直于纸面向外． (2)时间 t 内，n＝Q q ，又 Q＝It，可得 n＝It q. 答案：(1)B＝2 x 2Um q ，方向垂直于纸面向外 (2)It q 8．如图，静止于 A 处的离子，经加速电场加速后沿图中圆弧虚线通过静电分析器，从 P 点垂直 CF 进入矩 形区域的有界匀强电场，电场方向水平向左．静电分析器通道内有均匀辐射分布的电场，已知圆弧虚线的 半径为 R，其所在处电场强度为 E，方向如图所示．离子质量为 m、电荷量为 q， QF ＝2d， PF ＝3d，离 子重力不计． (1)求加速电场的电压 U； (2)若离子恰好能打在 Q 点上，求矩形区域 QFCD 内匀强电场的电场强度 E0 的值； (3)若撤去矩形区域 QFCD 内的匀强电场，换为垂直于纸面向里的匀强磁场，要求离子能最终打在 QF 上， 求磁场的磁感应强度 B 的取值范围． 解析：(1)离子在电场中加速，据动能定理有 qU＝1 2 mv2. 离子在辐向电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，由牛顿第二定律可得 qE＝mv2 R. 解得加速电场的电压 U＝1 2 ER. (2)离子在水平电场中做类平抛运动，有 QF ＝2d＝vt， PF ＝3d＝1 2 at2. 由牛顿第二定律得 qE0＝ma. 可得匀强电场的电场强度 E0＝3ER 2d . (3)离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 qBv＝mv2 r ，可得 B＝ EmR qr2 . 离子能打在 QF 上，则离子运动径迹的边界如图所示． 由几何关系知 3 2 d＜r≤2d，则有 EmR 4qd2 ≤B＜ 4EmR 9qd2 . 答案：(1)1 2 ER (2)3ER 2d (3) EmR 4qd2 ≤B＜ 4EmR 9qd2 9．如图甲所示，以 O 为原点建立 xOy 平面直角坐标系，两平行极板 P、Q 垂直于 y 轴且关于 x 轴对称放置， 极板长度和极板间距均为 l，第一、四象限有方向垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场．紧靠极板左侧的粒子 源沿 x 轴向右连续发射带电粒子，已知粒子的质量为 m、电荷量为＋q、速度为 v0、重力忽略不计．两板 间加上如图乙所示的扫描电压(不考虑极板边缘的影响)时，带电粒子恰能全部射入磁场．每个粒子穿过平 行板的时间极短，穿越过程可认为板间电压不变；不考虑粒子间的相互作用． (1)求扫描电压的峰值 U0 的大小； (2)已知射入磁场的粒子恰好全部不再返回板间，匀强磁场的磁感应强度 B 应为多少？所有带电粒子中，从 粒子源发射到离开磁场的最短时间是多少？ 解析：(1)所加扫描电压达到峰值时，粒子在电场中的偏转位移为l 2 ，粒子在电场中做类平抛运动，加速度 大小为 a＝qU0 ml ，时间为 t＝ l v0 ，在电场中的偏转位移 y＝1 2 at2＝ qU0l 2mv20 ＝l 2 ，故所加扫描电压的峰值为 U0＝mv20 q . (2)设粒子从电场射出时的速度偏转角为θ，射入磁场时的速度为 v＝ v0 cos θ. 粒子在磁场中做圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，则 qvB＝mv2 R. 粒子在磁场中射入与射出点间的距离为Δy＝2Rcos θ. 联立得Δy＝2mv0 qB ，即所有粒子在磁场中射入与射出点间距离相同． 依题意，从下边缘射出电场的粒子在磁场中做圆周运动后刚好到达电场上边缘，Δy＝l，故匀强磁场的磁 感应强度为 B＝2mv0 ql . 从电场上边缘射出的粒子整个过程运动时间最短， 粒子速度偏转角正切值 tan α＝at v0 ＝qU0l mv20l ＝1，故α＝45°.粒子在电场中运动的时间为 t1＝ l v0 ， 粒子在磁场中运动的最短时间为 t2＝T 4 ＝πm 2qB ＝πl 4v0 ， 故带电粒子从发射到离开磁场的最短时间是 t＝t1＋t2＝ l v0 (1＋π 4 )． 答案：(1)mv20 q (2)2mv0 ql l v0 (1＋π 4 )