2021年新高考数学名校选填压轴题好题汇编（五）
2021 新高考数学 轴题好题 （五）
一、 择题（共 25 题）
1.（2021 •全国模拟）已知抛物线 y2= 2px上三点A(2,2)，B，C，直线AB，AC (x- 2)2+ y2= 1的
两 线， 直线BC的方 为 ( )
A.x+ 2y+ 1= 0 B. 3x+ 6y+ 4= 0 C. 2x+ 6y+ 3= 0 D.x+ 3y+ 2= 0
2.（2021 •全国模拟）已知 a< 5且 ae5= 5ea，b< 4且 be4= 4eb，c< 3且 ce3= 3ec， ( )
A. c< b< a B. b< c< a C. a< c< b D.a< b< c
3.（2020秋•静安区期末） 面直角 系 xOy中，α、β 于不 的任意角，它们的终边交
（ 点O)于A、B两点．若A、B两点的纵 为正数 a、b，且 cos(α- β) ≤ 0，
a+ b的 大 为 ( )
A. 1 B. 2
C. 2 D. 不存
4.（2020秋•杨浦区校级期末）已知三角 ABC的三个顶点都
x2
4
+ y
2
3
= 1上，设它的三 边
AB、BC、AC的中点 为D、E、M，且三 边所 直线的斜 为 k1、k2、k3，且 k1、k2、k3 不
为 0．O为 点，若直线OD、OE、OM的斜 之 为 1．
1
k1
+ 1
k2
+ 1
k3
=( )
A.-4
3
B.-3 C.- 18
13
D.-3
2
5.（2020秋•大兴区期末）已知数 {an}的 n项 Sn= 2n+ 1- 2，若∀ n ∈N *，λan≤ 4+S2n恒成 ，
实数 λ的 大 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6.（2020秋•大兴区期末）已知 C : x
2
a2
+ y
2
b2
= 1(a> b> 0)的左、右顶点 为A1，A2，且以线段
A1A2为直 的 与直线 bx- ay+ 2ab= 0相 ， C的离 为 ( )
A. 2
3
B. 3
3
C. 2
3
D. 6
3
7.（2020秋•大通县期末）已知抛物线C : y2= 2px(p> 0)的焦点为 F，准线为 l，且 l过点 (-3,2)，M
抛物线C上，若点N (2,4)， |MF |+ |MN |的 为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8.（2020秋•大通县期末）已知点A，B 曲线
x2
a2
- y
2
b2
= 1(a> 0,b> 0)的左、右顶点，F1，F2 曲
线的左、右焦点，若| F1F2 |= 2 5
，P 曲线上 于A，B的 点，且直线PA，PB的斜 之积为定
4， |AB |= ( )
A. 2 B. 2 2
C. 2 3
D. 4
9.（2020秋•海淀区期末）数 {an}的 项公 为 an= n2- 3n，n ∈N *， n项 为 Sn.给出下 三个
结论：
①存 正整数m，n(m≠n)， Sm=Sn；
②存 正整数m，n(m≠n)， am+ an= 2 aman
；
③记Tn= a1a2…an(n= 1，2，3，…) 数 {Tn} 项．
其中所 正 结论的 号 ( )
A.① B. ③ C. ①③ D.①②③
10.（2020秋•海淀区期末）如图所示， 内放入两个球O1，O2，它们都与
相 （ 与 的每 母线相 ）， 点 （图中粗线所示） 为⊙ C1，⊙
C2.这两个球都与 面 a相 ， 点 为 F1，F2，丹 (G ⋅Dandelin)
用这个模 证 了 面 a与 面的交线为 ，F1，F2为此 的两个
焦点，这两个球也称为 Dandelin 球．若 的母线与它的轴的夹角为
30°，⊙C1，⊙C2的 为 1，4，点M为⊙C2上的一个定点，点P为
上的一个 点， 从点P 表面 达点M的路线 与线段PF1的 之
的 ( )
A. 6 B. 8 C. 3 3
D. 4 3
11.（2021 •福建模拟）已知 E : x
2
a2
+ y
2
b2
= 1(a> b> 0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线 l :
3x- 4y= 0交 E于A，B两点，若|AF |+ |BF |= 4，点M 直线 l的距离不 于
4
5
， E的
离 的取 围 ( )
A. (0， 3
2
] B. (0，3
4
] C. [ 3
2
，1) D. [3
4
，1)
12.（2020秋•西青区期末）2015 07 31日 17时 57 ，国 奥委 128次全 举行，投票
出 2022 冬奥 举 为 京．某人为了观 2022 京冬季奥运 ，从 2016 起，每 的 1
1日 银行存入 a元的定 蓄，若 为 p且保 不变， 约定每 ，存款的 息 自
转为新的一 的定 ， 2022 的 1 1日 所 存款 息全部取出， 可取出钱（元 )的总数为 (
)
A. a(1+P)6 B. a(1+P)7
C. a
P
[(1+P)6- (1+P)] D. a
P
[(1+P)7- (1+P)]
13.（2021 •河南模拟）已知 曲线C : x
2
a2
- y
2
b2
= 1(a> 0,b> 0)的左焦点为F，以OF为直 的 与 曲
线C的渐近线交于不 点O的A，B两点，若四边 AOBF的面积为
1
2
(a2+ b2)， 曲线C的渐
近线方 为 ( )
A.y=± 2
2
x B. y=± 2
x C. y=± x D.y=± 2x
14.（2020 •辽宁一模）已知函数 f(x) = 2( | cosx |+cosx) ∙ sinx给出下 四个 题：
① f(x)的 正 为 π；
② f(x)的图 关于直线 x= π
4
对称；
③ f(x) 间 [-π
4
,π
4
]上 ；
④ f(x)的 域为 [-2，2]．
其中所 正 的 号 ( )
A.②④ B. ③④ C. ①③④ D.②③
15.（2021 •天津模拟）已知函数 f(x) =
x2+ (4a- 3)x+ 3a,x< 0
loga(x+ 1) + 1,x≥ 0
(a> 0,a≠ 1) R上 减，且关于
x的方 | f(x) |= 2- x恰好 两个不相 的实数解， a的取 围 ( )
A. (0，2
3
] B. [2
3
，3
4
]
C. [ 1
3
，2
3
]⋃ { 3
4
} D. [ 1
3
，2
3
) ⋃ { 3
4
}
16.（2020秋•石景山区期末）如图，P 正方 ABCD-A1B1C1D1对角线AC1上一 点，设AP的
为 x，若ΔPBD的面积为 f(x)， f(x)的图 大致 ( )
A. B.
C. D.
17.（2020秋•成都期末）已知 M : x
2
4
+ y
2
3
= 1的左、右焦点 为F1、F2，过F2 y轴的 行线交
M于A、B两点，O为 点， 曲线N以F1、F2为顶点，以直线OA、OB为渐近线， 曲线N
的焦距为 ( )
A. 13
2
B. 5
2
C. 13
D. 5
18.（2020秋•海原县校级期末）若 (m+ 1)x2- (m- 1)x+ 3(m- 1) < 0对任意实数 x恒成 ， 实数m
的取 围 ( )
A.m> 1 B.m<-1
C.m<- 13
11
D.m> 1或m<- 13
11
19.（2020秋•济南期末）早 古 时 ，亚 大的科学家赫 发 ：光从一点直 另一点
择 短路 ， 这两点间的线段．若光从一点不 直 另一点，而 经由一面 子（ 面
曲面） 另一点，仍然 择 短路 ．已知曲线C : x
2
4
+ y
2
3
= 1(y> 0)，且 C 设为能起完
全 用的曲面 ，若光从点A(1,1) 出，经由C上一点P 点F(-1,0)， |AP |+ |PF |= (
)
A. 6
B. 3 C. 2 3
D. 7
20.（2020秋•南 期末）已知点P为 曲线
x2
a2
- y
2
b2
= 1(a> b> 0)右支上一点，点F1，F2 为 曲线
的左右焦点，点 I △PF1F2的内 （三角 内 的 ），若恒 S△ IPF1- S△ IPF2≥
2
2
S△ IF1F2成 ，
曲线的离 取 围 ( )
A. (1, 2
) B. (1，2 2
) C. (1，2 2
] D. (1， 2
]
21.（2020秋•江岸区校级期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每 胜者 1 ，负者 0 ，比赛进行
一人比对方多 2 或打满 6 时 止．设甲 每 中 胜的 为
2
3
，乙 每 中 胜的 为
1
3
，且 胜负相互独 ，设比赛 止时已打 数为 ξ， P(ξ≥ 5) = ( )
A. 320
729
B. 64
729
C. 26
81
D. 16
81
22.（2020秋•江岸区校级期末）正方 ABCD-A1B1C1D1的棱 为 4，点M 棱AB上，且AM= 1，点P
正方 下 面ABCD内（ 边界）的 点，且 点P 直线A1D1的距离与点P 点M的距离的
方差为 16， 点P B点的 ( )
A. 7
2
B. 2 2
C. 6
D. 2
23.（2020秋•江岸区校级期末）已知 C : x
2
a2
+ y
2
b2
= 1(a> b> 0)的左、右焦点 为F1，F2，点M (x1，
y1)，N (-x1，-y1) C上，若 2 |MF1 |= 3 |NF1 |，且∠MF1N= 120°， C的离 为 ( )
A. 7
5
B. 5
7
C. 7
10
D. 2 5
7
24.（2020 •湖北二模）设 f(n)为 近 n
(n ∈N *)的整数，如 f（1）= 1，f（2）= 1，f（3）= 2，f（4）= 2，f
（5）= 2，…，若正整数m满足
1
f(1)
+ 1
f(2)
+ 1
f(3)
+…+ 1
f(m)
= 4034， m= ( )
A. 2016× 2017 B. 20172 C. 2017× 2018 D. 2018× 2019
25.（2020秋•东莞 期末）如图，四边 ABCD中，CE ∠ACD，AE=CE= 2 3
，DE= 3
，若∠
ABC=∠ACD， 四边 ABCD 的 大 为 ( )
A. 24 B. 12+ 3 3
C. 18 3
D. 3(5+ 3
)
二、多 题（共 4 题）
26.（2021 •全国模拟）设函数 f(x) = cos2x
2+ sinxcosx
， ( )
A. f(x) = f(x+ π) B. f(x)的 大 为
1
2
C. f(x) (-π
4
，0) D. f(x) (0,π
4
) 减
27.（2020秋•济南期末） 代数学 著《九章 》 九 《勾股》章中提 了著 的 “ 勾股容方 ” 问题．
如图，正方 GBEF内 于直角三角 ABC，其中BE= d，BC= a，AB= b，a≤ b， 下 关系
成 的 ( )
A. a< 2d< ab
B. ab
< 2d< a+ b
2
C. 1
d
= 1
a
+ 1
b
D. a2+ b2
= a+ b- d
28.（2020秋•济南期末）设抛物线 y= ax2的准线与对称轴交于点P，过点P 抛物线
的两 线， 点 为A B， ( )
A. 点P 为 (0, - 1
4a
) B. 直线AB的方 为 y= 1
4a
C.PA⊥PB D. |AB |= 1
2|a|
29.（2020秋•雁塔区校级期末）已知点A，B的 (-1,0)，(1,0)，直线A，B相交于点M，且它们
的斜 为 k1，k2，下 题 题的 ( )
A. 若 k1+ k2= 2， M的轨迹 （ 两个点）
B. 若 k1- k2= 2， M的轨迹 抛物线（ 两个点）
C. 若 k1 ⋅ k2= 2， M的轨迹 曲线（ 两个点）
D. 若 k1÷ k2= 2， M的轨迹 一 直线（ 一点）
三、 题（共 21 题）
30.（2021 •全国模拟）对一个物理 n次测 ， 以测 结 的 为该物理 的 结 ．已
知 结 的误差 εn~N (0,
2
n
)，为 误差 εn (-0.5,0.5)的 不 于 0.9545，至 要测
次．（若X~N (μ,σ2)， P( |X- μ |< 2σ) = 0.9545)．
31.（2020秋•静安区期末）如图所示， 面直角 系 xOy中， 点P以每秒
π
2
的角 从点A出发， 为 2的上 时针移 B，再以每秒
π
3
的角 从点B 为 1的下 时针移 点O， 上述过
中 点P的纵 y关于时间 t的函数表达 为 ．
32.（2020 •新建区校级模拟）已知 曲线C : x
2
a2
- y
2
b2
= 1(a> 0,b> 0)的左，右焦点 为F1，F2，过右支
上一点P 曲线C的一 渐近线的 线， 足为H．若|PH |+ |PF1 |的 为 4a， 曲线C
的离 为 ．
33.（2020秋•杨浦区校级期末）如 M C1 :
x2
16
+ y
2
9
= 1上的 点，N C2 :
x2
64
+ y
2
36
= 1上
的 点， 么ΔOMN面积的 大 为 ．
34.（2020秋•杨浦区校级期末）已知方 1- x2
= x+ a 两个不 的实 ， 实数 a的取 围为
．
35.（2020秋•杨浦区校级期末）已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为 M : x2+ y2= 4上的两点，且 x1x2+ y1y2=-
1
2
，设P(x0，y0)为 AB上一点，且AP
= 2PB
， | 3x0+ 4y0- 10 |的 为 ．
36.（2020秋•大兴区期末）如图， 四面 ABCD中，其棱 为 1，M，N 为BC，AD的中点．若
MN
= xAB
+ yAC
+ zAD
， x+ y+ z= - 1
2
；直线MN CD
的夹角为 ．
37.（2020秋•大兴区期末） 一 的 连续抛 n次，以Pn表示 出 连续 3次正面的 ．
给出下 四个结论：
①P3=
7
8
；
②P4=
15
16
；
③ n≥ 2时，Pn+ 1
0，b> 0，1
a
+ 2
b
= 1， 4a
a- 1
+ 3b
b- 2
的 ．
43.（2020 秋•天津期末）已知扇 AOB 为 1，∠ AOB = 60°， AB
上的点 P满足 OP
= λOA
+
μOB
(λ,μ ∈R)， λ+ μ的 大 ；PA
∙PB
．
44.（2020 •石景山区一模）已知F 抛物线C : y2= 4x的焦点，M C上一点，FM的延 线交 y轴于点
N，若M为FN的中点， |FN |= ．
45.（2020秋•成都期末）已知 C : (x- 2)2+ (y- 5)2= 4的 为C，T为直线 x- 2y- 2= 0上的
点，过点T C的 线， 点为M， TM
⋅TC
的 为 ．
46.（2012 •上海） 矩 ABCD中，边AB、AD的 为 2、1，若M、N 边BC、CD上的点，且
满足
|BM
|
|BC
|
= |CN
|
|CD
|
， AM
⋅AN
的取 围 ．
47.（2020秋•济南期末）为 全 ，宣 天下 ，首 （济 ）马拉 赛于 2019 11 2日
大 湖 门 赛．如图①，②，③，④ 1个、5个、13个、25个首 马拉 赛的 LOGO
“ ”， 的方 图 ，设 n个图 an个 “ ”， n≥ 2时，an- an- 1= ，
a10= ．
48.（2020秋•济南期末）已知
x2
a2
+ y
2
b2
= 1(a> b> 0)与 曲线
x2
m2
- y
2
n2
= 1(m> 0,n> 0)具 相
的焦点F1，F2，且 一 交于点P， 与 曲线的离 为 e1，e2，若∠F1PF2=
π
2
， e21+
e22的取 围为 ．
49.（2020秋•凉山州期末）已知F1，F2 曲线
x2
a2
- y
2
b2
= 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点，以 点
O为 ，|OF1 |为 的 与该 曲线左支交于A，B两点， 该 曲线离 为 时，
△F2AB为 边三角 ．
50.（2020秋•江岸区校级期末）一个口袋中 3个红球 4个白球，从中取出 2个球．下面几个 题：
（1）如 不放回 抽取， 么取出 1个红球，1个白球的
2
7
；
（2）如 不放回 抽取， 么 至 取出一个红球的 件下， 2次取出红球的
3
5
；
（3）如 放回 抽取， 么取出 1个红球 1个白球的
12
49
；
（4）如 放回 抽取， 么 2次取 红球的 1次取 红球的 相 ．
其中正 的 题 ．
2021 新高考数学 轴题好题 （五）
一、 择题（共 25 题）
1.（2021 •全国模拟）已知抛物线 y2= 2px上三点A(2,2)，B，C，直线AB，AC (x- 2)2+ y2= 1的
两 线， 直线BC的方 为 ( )
A.x+ 2y+ 1= 0 B. 3x+ 6y+ 4= 0 C. 2x+ 6y+ 3= 0 D.x+ 3y+ 2= 0
【解 】解：把点A(2,2)代入抛物线方 可 p= 1，所以抛物线的方 为 y2= 2x，
直线AB，AC (x- 2)2+ y2= 1的两 线，
设 线方 为 y- 2= k(x- 2)，因为 线的距离 于 ，
1= |2|
k2+ 1
，解 k=± 3
，
直线AB的方 为 y- 2= 3
(x- 2)，
直线AC的方 为 y- 2=- 3
(x- 2)，
联 直线AB 抛物线的方 可 B( 8
3
- 4
3
, 2
3
- 2)，
理可 C( 8
3
+ 4
3
,- 2
3
- 2)，
由直线的两点 方 可 ，直线BC的方 为 3x+ 6y+ 4= 0．
故 ：B．
2.（2021 •全国模拟）已知 a< 5且 ae5= 5ea，b< 4且 be4= 4eb，c< 3且 ce3= 3ec， ( )
A. c< b< a B. b< c< a C. a< c< b D.a< b< c
【解 】解： 题意，设 f(x) = e
x
x
，
a< 5且 ae5= 5ea，变 可
ea
a
= e
5
5
， f（a）= f（5），
b< 4且 be4= 4eb，变 可
eb
b
= e
4
4
， f（b）= f（4），
c< 3且 ce3= 3ec，变 可
ec
c
= e
3
3
， f（c）= f（3），
f(x) = e
x
x
，其导数 f′ (x) = e
x(x- 1)
x2
，
间 (0,1)上，f′ (x)< 0， f(x)为减函数，
间 (1, +∞)上，f′ (x)> 0， f(x)为 函数，其 图如图：
0< a< b< c< 1，
故 ：D．
3.（2020秋•静安区期末） 面直角 系 xOy中，α、β 于不 的任意角，它们的终边交
（ 点O)于A、B两点．若A、B两点的纵 为正数 a、b，且 cos(α- β) ≤ 0，
a+ b的 大 为 ( )
A. 1 B. 2
C. 2 D. 不存
【解 】解：角 α 角 β一个 一 ，另一个 二 ，
不妨 设 α 一 ， β 二 ，
题意可 A(cosα,a)、B(cosβ,b)，且 a= sinα> 0，b= sinβ> 0，
∴ cosα= 1- a2
，cosβ=- 1- b2
，
∴ cos(α- β) = cosαcosβ+ sinαsinβ=- 1- a2
⋅ 1- b2
+ ab≤ 0，
1- a2
⋅ 1- b2
≥ ab，
方可 ，a2+ b2≤ 1， 且仅 a= b时，取 号．
∴ a+ b= (a+ b)2
= a2+ b2+ 2ab
≤ 2(a2+ b2)
≤ 2
， 且仅 a= b时，取 号，
故 a= b时，a+ b取 大 为 2
，
故 ：B．
4.（2020秋•杨浦区校级期末）已知三角 ABC的三个顶点都
x2
4
+ y
2
3
= 1上，设它的三 边
AB、BC、AC的中点 为D、E、M，且三 边所 直线的斜 为 k1、k2、k3，且 k1、k2、k3 不
为 0．O为 点，若直线OD、OE、OM的斜 之 为 1．
1
k1
+ 1
k2
+ 1
k3
=( )
A.-4
3
B.-3 C.- 18
13
D.-3
2
【解 】解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
把A，B两点代入 方 可 ：
x21
4
+ y
2
1
3
= 1，x
2
2
4
+ y
2
2
3
= 1，
两 差可 ：
(x1- x2) (x1+ x2)
4
+ (y1- y2) (y1+ y2)
3
= 0，
x1+ x2
y1+ y2
=-4
3
⋅ y2- y1
x2- x1
，所以
1
kAB
=-4
3
kOD，
理可 ：
1
kAC
=-4
3
kOM，
1
kBC
=-4
3
kOE，
所以
1
k1
+ 1
k2
+ 1
k3
=-4
3
(kOD+ kOM+ kOE) =-
4
3
，
故 ：A．
5.（2020秋•大兴区期末）已知数 {an}的 n项 Sn= 2n+ 1- 2，若∀ n ∈N *，λan≤ 4+S2n恒成 ，
实数 λ的 大 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【解 】解：由Sn= 2n+ 1- 2， a1=S1= 22- 2= 2，
n≥ 2时，an=Sn-Sn- 1= 2n+ 1- 2- (2n- 2) = 2n，
验证n= 1时 an= 2n成 ，∴ an= 2n，
Sn= 2n+ 1- 2，∴S2n= 22n+ 1- 2，
∵∀n ∈N *，λan≤ 4+S2n恒成 ，∴ λ≤ 4+S2n
an
= 4+ 2
2n+ 1- 2
2n
= 2(2n+ 1
2n
)，
n= 1时，2(2n+ 1
2n
) 为 5．
∴ λ≤ 5．
实数 λ的 大 5．
故 ：C．
6.（2020秋•大兴区期末）已知 C : x
2
a2
+ y
2
b2
= 1(a> b> 0)的左、右顶点 为A1，A2，且以线段
A1A2为直 的 与直线 bx- ay+ 2ab= 0相 ， C的离 为 ( )
A. 2
3
B. 3
3
C. 2
3
D. 6
3
【解 】解：由题意可 以A1A2为直 的 的 为 点， 为 a，
直线 bx- ay+ 2ab= 0的距离为：
d= |2ab|
a2+ b2
= a，解 a2= 3b2，
所以 的离 为 e= c
a
= 1- b
2
a2
= 1- 1
3
= 6
3
，
故 ：D．
7.（2020秋•大通县期末）已知抛物线C : y2= 2px(p> 0)的焦点为 F，准线为 l，且 l过点 (-3,2)，M
抛物线C上，若点N (2,4)， |MF |+ |MN |的 为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【解 】解：∵抛物线C : y2= 2px(p> 0)的焦点为F，
准线为 l且 1过点 (-3,2)，
∴抛物线的准线方 x=-3，
抛物线的方 为 y2= 12x，
∴点N (2,4) 抛物线内，
过点N 准线的 线， 足 A，
设点M 直线 x=-3的距离 d，
∵M 抛物线C上，F 抛物线的C焦点，
∴ |MF |= d，
∴ |MN |+ |MF |= |MN |+d≥ |NA |，
∴ |MN |+ |MF |的 |NA |= 2+ 3= 5，
故 ：D．
8.（2020秋•大通县期末）已知点A，B 曲线
x2
a2
- y
2
b2
= 1(a> 0,b> 0)的左、右顶点，F1，F2 曲
线的左、右焦点，若| F1F2 |= 2 5
，P 曲线上 于A，B的 点，且直线PA，PB的斜 之积为定
4， |AB |= ( )
A. 2 B. 2 2
C. 2 3
D. 4
【解 】解：设A(-a,0)，B(a,0)，P(x,y)，
kPA=
y
x+ a
,kPB=
y
x- a
，
所以 kPA ⋅ kPB=
y
x+ a
⋅ y
x- a
= y2
x2- a2
=
(x
2
a2
- 1)b2
x2- a2
= b
2
a2
= 2，
因为|F1F2 |= 2 5
，
所以 2c= 2 5
,c= 5
，
因为 c2= a2+ b2，
所以 a= 1，b= 2，
所以|AB |= 2a= 2，
故 ：A．
9.（2020秋•海淀区期末）数 {an}的 项公 为 an= n2- 3n，n ∈N *， n项 为 Sn.给出下 三个
结论：
①存 正整数m，n(m≠n)， Sm=Sn；
②存 正整数m，n(m≠n)， am+ an= 2 aman
；
③记Tn= a1a2…an(n= 1，2，3，…) 数 {Tn} 项．
其中所 正 结论的 号 ( )
A.① B. ③ C. ①③ D.①②③
【解 】解：若存 正整数m，n(m≠n)， Sm=Sn， Sm-Sn= 0，
am+ 1+ am+ 2+…+ an= 0，
令 an= 0，解 n= 0（ )或n= 3， a3= 0，
所以存 m= 2，n= 3， Sm=Sn，
故 项①正 ；
因为 am+ an= 2 aman
， ( am
- an
)2= 0，
am= an，且 am≥ 0，an≥ 0，
记 y=n2- 3n，对称轴为n= 3
2
，
而n= 1，2，3，…故只 n1= 1，n2= 2时， an1= an2，
此时 a1= 1- 3=-2= a2< 0不成 ，
故不存 正整数m，n(m≠n)， am+ an= 2 aman
，故 项② 误；
因为Tn= a1a2…an(n= 1，2，3，…)，
a1=-2，a2=-2，a3= 0，且 n≥ 2时，an ，
所以 n> 3时，an> 0，而T3= 0，
故 n> 3时，Tn= 0， T2= 4，T1=-2，
所以数 {Tn} 项T1=-2，故 项③正 ．
故 ：C．
10.（2020秋•海淀区期末）如图所示， 内放入两个球O1，O2，它们都与
相 （ 与 的每 母线相 ）， 点 （图中粗线所示） 为⊙ C1，⊙
C2.这两个球都与 面 a相 ， 点 为 F1，F2，丹 (G ⋅Dandelin)
用这个模 证 了 面 a与 面的交线为 ，F1，F2为此 的两个
焦点，这两个球也称为 Dandelin 球．若 的母线与它的轴的夹角为
30°，⊙C1，⊙C2的 为 1，4，点M为⊙C2上的一个定点，点P为
上的一个 点， 从点P 表面 达点M的路线 与线段PF1的 之
的 ( )
A. 6 B. 8 C. 3 3
D. 4 3
【解 】解：如图所示， 上任取一点P，连 VP交C1于Q，交C2于
点R，
连 O1Q，O1F1，PO1，PF1，O2R，
△O1PF与△O1PQ中，O1Q=O1F= r1，其中 r1为 ，
∠O1QP=∠O1FP= 90°，O1P为公共边，
所以△O1PF≅△O1PQ，所以PF1=PQ，
设P 表面 达M的路 为 d，
PF1+ d=PQ+ d≥PQ+PR=QR，
且仅 P为直线VM与 的交点时取 号，
QR=VR-VQ= OR2
tan30°
- OR1
sin30°
= r2- r1
3
2
= 8- 6= 2，
故从点P 表面 达点M的路线 与线段PF1的 之 的 6．
故 ：A．
11.（2021 •福建模拟）已知 E : x
2
a2
+ y
2
b2
= 1(a> b> 0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线 l :
3x- 4y= 0交 E于A，B两点，若|AF |+ |BF |= 4，点M 直线 l的距离不 于
4
5
， E的
离 的取 围 ( )
A. (0， 3
2
] B. (0，3
4
] C. [ 3
2
，1) D. [3
4
，1)
【解 】解：如图所示，设F′为 的左焦点，连 AF′，BF′， 四边 AFBF′ 行四边 ，
∴ 4= |AF |+ |BF |= |AF′ |+ |AF |= 2a，∴ a= 2．
取M (0,b)，∵点M 直线 l的距离不 于
4
5
，∴ |4b|
32+ 42
≥ 4
5
，解 b≥
1．
∴ e= c
a
= 1- b
2
a2
≤ 1- 1
22
= 3
2
．
∴ E的离 的取 围 (0, 3
2
]．
故 ：A．
12.（2020秋•西青区期末）2015 07 31日 17时 57 ，国 奥委 128次全 举行，投票
出 2022 冬奥 举 为 京．某人为了观 2022 京冬季奥运 ，从 2016 起，每 的 1
1日 银行存入 a元的定 蓄，若 为 p且保 不变， 约定每 ，存款的 息 自
转为新的一 的定 ， 2022 的 1 1日 所 存款 息全部取出， 可取出钱（元 )的总数为 (
)
A. a(1+P)6 B. a(1+P)7
C. a
P
[(1+P)6- (1+P)] D. a
P
[(1+P)7- (1+P)]
【解 】解：由题意可知，可取出钱的总数为：
a ( 1 + p ) 7 + a ( 1 + p ) 6 + a ( 1 + p ) 5 + a ( 1 + p ) 4 + a ( 1 + p ) 3 + a ( 1 + p ) 2 + a ( 1 + p ) = a ⋅
(1+ p) [1- (1+ p)7]
1- (1+ p)
= a
p
[(1+ p)7- (1+ p)]，
故 ：D．
13.（2021 •河南模拟）已知 曲线C : x
2
a2
- y
2
b2
= 1(a> 0,b> 0)的左焦点为F，以OF为直 的 与 曲
线C的渐近线交于不 点O的A，B两点，若四边 AOBF的面积为
1
2
(a2+ b2)， 曲线C的渐
近线方 为 ( )
A.y=± 2
2
x B. y=± 2
x C. y=± x D.y=± 2x
【解 】解： 题意，OA⊥AF， 曲线C的焦点F C的一 渐近线 y=± b
a
x的距离为
bc
a2+ b2
= b，
|AF |= b，所以|OA |= a，所以 ab= 1
2
(a2+ b2)，
所以
b
a
= 1，
所以 曲线C的渐近线方 为 y=± x．
故 ：C．
14.（2020 •辽宁一模）已知函数 f(x) = 2( | cosx |+cosx) ∙ sinx给出下 四个 题：
① f(x)的 正 为 π；
② f(x)的图 关于直线 x= π
4
对称；
③ f(x) 间 [-π
4
,π
4
]上 ；
④ f(x)的 域为 [-2，2]．
其中所 正 的 号 ( )
A.②④ B. ③④ C. ①③④ D.②③
【解 】解：f(π+ x) = 2( | cos(π+ x) |+cos(π+ x)) ∙ sin(π+ x) =-2( | cosx |-cosx) ∙ sinx≠ f(x)，
f(x)的 正 不 π，① ， C 项；
f( π
2
- x) = 2( | cos( π
2
- x) |+cos( π
2
- x)) ∙ sin( π
2
- x) = 2( | sinx |+sinx) ∙ cosx≠ f(x)，f(x)的图
不关于直线 x= π
4
对称，② ， AD 项
f(x) 间 [-π
4
,π
4
]时，f(x) = 2( | cosx |+cosx) ∙ sinx= 4cosxsinx= 2sin2x， [-π
4
,π
4
]上
，③对， A 项；
故 ：B．
15.（2021 •天津模拟）已知函数 f(x) =
x2+ (4a- 3)x+ 3a,x< 0
loga(x+ 1) + 1,x≥ 0
(a> 0,a≠ 1) R上 减，且关于
x的方 | f(x) |= 2- x恰好 两个不相 的实数解， a的取 围 ( )
A. (0，2
3
] B. [2
3
，3
4
] C. [ 1
3
，2
3
]⋃ { 3
4
} D. [ 1
3
，2
3
) ⋃ { 3
4
}
【解 】解：y= loga(x+ 1) + 1 [0，+∞) 减， 0< a< 1，
函数 f(x) R上 减， ：
3- 4a
2
≥ 0
0< a< 1
02+ (4a- 3) ⋅ 0+ 3a≥ loga(0+ 1) + 1
；
解 ，
1
3
≤ a≤ 3
4
；
由图 可知， [0，+∞)上，| f(x) |= 2- x 且仅 一个解，
故 (-∞ ,0)上，| f(x) |= 2- x 且仅 一个解，
3a> 2 a> 2
3
时，联 | x2+ (4a- 3)x+ 3a |= 2- x，
△= (4a- 2)2- 4(3a- 2) = 0，
解 a= 3
4
或 1（ ），
1≤ 3a≤ 2时，由图 可知， 件，
综上：a的取 围为 [ 1
3
，2
3
] {3
4
} ，
故 ：C．
16.（2020秋•石景山区期末）如图，P 正方 ABCD-A1B1C1D1对角线AC1上一 点，设AP的
为 x，若ΔPBD的面积为 f(x)， f(x)的图 大致 ( )
A. B.
C. D.
【解 】解：设正方 的棱 为 1，连 AC交BD于O，连PO， PO ΔPBD的高，
故ΔPBD的面积为 f(x) = 1
2
BD×PO，
三角 PAO中，PO= PA2+AO2- 2PA×AOcos∠PAO
= x2+ 1
2
- 2x× 2
2
× 2
3
，
∴ f(x) = 1
2
× 2
× x2+ 1
2
- 2x× 2
2
× 2
3
= 2
2
x2- 2
3
x+ 1
2
，
画出其图 ，如图所示，
对照 项，A正 ．
故 ：A．
17.（2020秋•成都期末）已知 M : x
2
4
+ y
2
3
= 1的左、右焦点 为F1、F2，过F2 y轴的 行线交
M于A、B两点，O为 点， 曲线N以F1、F2为顶点，以直线OA、OB为渐近线， 曲线N
的焦距为 ( )
A. 13
2
B. 5
2
C. 13
D. 5
【解 】解：由 M : x
2
4
+ y
2
3
= 1， a2= 4，b2= 3，
c= a2- b2
= 1，∴F1(-1,0)，F2(1,0)，
把 x= 1代入
x2
4
+ y
2
3
= 1， y=± 3
2
， A(1,3
2
)，B(1, - 3
2
)，
kOA=
3
2
，kOB=-
3
2
，
曲线N的渐近线方 为 y=± 3
2
x，
F1、F2为 曲线N的顶点，∴ 曲线的实 轴 为 1，
曲线的虚 轴 为
3
2
，∴ 曲线N的 焦距 c1= 12+ ( 3
2
)2
= 13
2
，
∴ 曲线N的焦距为 13
．
故 ：C．
18.（2020秋•海原县校级期末）若 (m+ 1)x2- (m- 1)x+ 3(m- 1) < 0对任意实数 x恒成 ， 实数m
的取 围 ( )
A.m> 1 B.m<-1 C.m<- 13
11
D.m> 1或m<- 13
11
【解 】解：∵(m+ 1)x2- (m- 1)x+ 3(m- 1)< 0对任意实数 x恒成 ，
① m+ 1= 0， m=-1时，不 为 2x- 6< 0，x< 3不 对任意实数 x满足，故不 题意；
② m+ 1≠ 0， m≠-1时，由 (m+ 1)x2- (m- 1)x+ 3(m- 1)< 0对任意实数 x恒成 ，
∴
m+ 1< 0
(m- 1)2- 12(m+ 1) (m- 1)< 0
，解 m<- 13
11
，
∴实数m的取 围 m<- 13
11
．
故 ：C．
19.（2020秋•济南期末）早 古 时 ，亚 大的科学家赫 发 ：光从一点直 另一点
择 短路 ， 这两点间的线段．若光从一点不 直 另一点，而 经由一面 子（ 面
曲面） 另一点，仍然 择 短路 ．已知曲线C : x
2
4
+ y
2
3
= 1(y> 0)，且 C 设为能起完
全 用的曲面 ，若光从点A(1,1) 出，经由C上一点P 点F(-1,0)， |AP |+ |PF |= (
)
A. 6
B. 3 C. 2 3
D. 7
【解 】解：曲线C : x
2
4
+ y
2
3
= 1(y> 0)的图 如图，
的焦点 为F(-1,0)，H(1,0)，由 定义可知，
曲线上任意一点与两焦点的距离 为定 ， |PF |+ |PH |= 4，
|PA |+ |PF |= |PA |+4- |PH |= 4- ( |PH |- |PA | )，
P、A、H共线时，|PH |- |PA | 大为|AH |= 1，
∴ |AP |+ |PF |的 为 4- 1= 3．
故 ：B．
20.（2020秋•南 期末）已知点P为 曲线
x2
a2
- y
2
b2
= 1(a> b> 0)右支上一点，点F1，F2 为 曲线
的左右焦点，点 I △PF1F2的内 （三角 内 的 ），若恒 S△ IPF1- S△ IPF2≥
2
2
S△ IF1F2成 ，
曲线的离 取 围 ( )
A. (1, 2
) B. (1，2 2
) C. (1，2 2
] D. (1， 2
]
【解 】解：设△PF1F2的内 为 r， S△ IPF1=
1
2
∙ |PF1 | ∙ r，S△ IPF2=
1
2
∙ |PF2 | ∙ r，
S△ IF1F2=
1
2
∙ |F1F2 | ∙ r，
∵S△ IPF1-S△ IPF2≥
2
2
S△ IF1F2，
∴ |PF1 |- |PF2 |≥
2
2
|F1F2 |，
由 曲线的定义可知：|PF1 |- |PF2 |= 2a，|F1F2 |= 2c，
∴ a≥ 2
2
c， c
a
≤ 2
．
e= c
a
> 11，
∴ 曲线的离 的 围 (1， 2
]．
故 ：D．
21.（2020秋•江岸区校级期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每 胜者 1 ，负者 0 ，比赛进行
一人比对方多 2 或打满 6 时 止．设甲 每 中 胜的 为
2
3
，乙 每 中 胜的 为
1
3
，且 胜负相互独 ，设比赛 止时已打 数为 ξ， P(ξ≥ 5) = ( )
A. 320
729
B. 64
729
C. 26
81
D. 16
81
【解 】解： 题意知，ξ的所 可能 为 2，4，6，
设每两 比赛为一轮， 该轮结 时比赛 止的 为 (2
3
)2+ ( 1
3
)2= 5
9
．
若该轮结 时比赛还 继续，
甲、乙 该轮中 一 ，此时，该轮比赛结 对下轮比赛 止 ．
从而 P(ξ= 2) = 5
9
，
P(ξ= 4) = 4
9
× 5
9
= 20
81
，
P(ξ= 6) = ( 4
9
)2= 16
81
，
∴P(ξ≥ 5) =P(ξ= 6) = 16
81
．
故 ：D．
22.（2020秋•江岸区校级期末）正方 ABCD-A1B1C1D1的棱 为 4，点M 棱AB上，且AM= 1，点P
正方 下 面ABCD内（ 边界）的 点，且 点P 直线A1D1的距离与点P 点M的距离的
方差为 16， 点P B点的 ( )
A. 7
2
B. 2 2
C. 6
D. 2
【解 】解：如图所示， PQ⊥AD， 足为Q， PQ⊥ 面ADD1A1，
过点Q QR⊥A1D1， A1D1⊥ 面PQR，
所以PR 为点P 直线A1D1的距离，
因为PR2-PQ2=RQ2= 16，且PR2-PM 2= 16，
所以PM=PQ，
所以点P的轨迹 以AD为准线，点M为焦点的抛物线，
如图建 直角 系， 点P的轨迹方 为 y2= 2x(0≤ x≤ 2 2
)，
点B(7
2
,0)，设点P(y
2
2
，y)，
PB= (y
2
2
- 7
2
)2+ y2
= y4
4
- 5y
2
2
+ 49
4
．
故 ：C．
23.（2020秋•江岸区校级期末）已知 C : x
2
a2
+ y
2
b2
= 1(a> b> 0)的左、右焦点 为F1，F2，点M (x1，
y1)，N (-x1，-y1) C上，若 2 |MF1 |= 3 |NF1 |，且∠MF1N= 120°， C的离 为 ( )
A. 7
5
B. 5
7
C. 7
10
D. 2 5
7
【解 】解：由 的对称性可知，四边 MF1NF2为 行四边 ，且
∠MF1N= 120°，
所以∠F1MF2= 60°， 三角 F1MF2中，因为 2 |MF1 |= 3 |NF1 |，
所以可设|MF1 |= 3m， |NF1 |= |MF2 |= 2m，
由 定理可 ：|F1F2 | 2= |MF1 | 2+ |MF2 | 2- 2 |MF1 ||MF2 | cos60°
= 7m2，
所以|F1F2 |= 7
m， 2c= 7
m，
由 的定义可 ：2a= |MF1 |+ |MF2 |= 5m，
所以 的离 为 e= c
a
= 7
m
5m
= 7
5
，
故 ：A．
24.（2020 •湖北二模）设 f(n)为 近 n
(n ∈N *)的整数，如 f（1）= 1，f（2）= 1，f（3）= 2，f（4）= 2，f
（5）= 2，…，若正整数m满足
1
f(1)
+ 1
f(2)
+ 1
f(3)
+…+ 1
f(m)
= 4034， m= ( )
A. 2016× 2017 B. 20172 C. 2017× 2018 D. 2018× 2019
【解 】解： 一组：
1
f(1)
= 1， 1
f(2)
= 1，共 2个，之 为 2；
二组：
1
f(3)
= 1
2
， 1
f(4)
= 1
2
， 1
f(5)
= 1
2
， 1
f(6)
= 1
2
，共 4个，之 为 2；
三组：
1
f(7)
= 1
3
， 1
f(8)
= 1
3
， 1
f(9)
= 1
3
， 1
f(10)
= 1
3
， 1
f(11)
= 1
3
， 1
f(12)
= 1
3
，Fong6个，之 为 2；
四组：
1
f(13)
= 1
4
， 1
f(14)
= 1
4
，… 1
f(20)
= 1
4
，共 8个，之 为 2；
…
n组：共 2n个，之 为 2；
∴ 1
f(1)
+ 1
f(2)
+ 1
f(3)
+…+ 1
f(m)
= 4034= 2× 2017，
故一共 2017组，
m= 2017× 2+ 2017× 2016
2
× 2= 2017× 2018，
故 ：C．
25.（2020秋•东莞 期末）如图，四边 ABCD中，CE ∠ACD，AE=CE= 2 3
，
DE= 3
，若∠ABC=∠ACD， 四边 ABCD 的 大 为 ( )
A. 24 B. 12+ 3 3
C. 18 3
D. 3(5+ 3
)
【解 】解：设∠ABC=∠ACD= θ， 由CE ∠ACD，可 ：∠ACE=∠ECD
= θ
2
，
∵AE=CE= 2 3
，DE= 3
，设CD= x，
∴由
DE
EA
= CD
AC
，可 ：
3
2 3
= x
AC
，可 ：AC= 2x，
∴ ΔDEC中，由 定理DE2=CD2+CE2- 2CD ⋅CD ⋅ cos θ
2
，可 ：3= x2+ 12- 2× x× 2 3
×
cos
θ
2
，可 ：-9= x2- 4 3
x ⋅ cosθ
2
，①
ΔAEC中，由 定理AE2=AC 2+CE2- 2CE ⋅AC ⋅ cosθ
2
，可 ：12= (2x)2+ 12- 2× 2 3
× 2x
× cosθ
2
，可 ：0= 4x2- 8 3
x ⋅ cosθ
2
，②
∴由①②联 解 ：x= 3，可 ：CD= 3，AC= 6，
∴ ΔACD中，由 定理可 ：cosθ= CD
2+AC 2-AD2
2CD ⋅AC
= 9+ 36- 27
2× 3× 6
= 1
2
，
∴ ΔABC中，由 定理AC 2=AB2+BC 2- 2AB ⋅BC ⋅ cosθ，可 ：36=AB2
+BC 2- 2AB ⋅BC ⋅ 1
2
=AB2+BC 2-AB ⋅BC≥ 2AB ⋅BC-AB ⋅BC=AB ⋅BC，
且仅 AB=BC时 号成 ，
∴ (AB+BC)2= 36+ 3AB ⋅BC≤ 36+ 3× 36= 144，解 ：AB+BC≤ 12， 且仅
AB=BC时 号成 ，
∴四边 ABCD AB+BC+CD+DA= 3 3
+ 3+AB+BC≤ 3 3
+ 3+ 12= 3(5+ 3
)，
且仅 AB=BC时 号成 ．
故 ：D．
二、多 题（共 4 题）
26.（2021 •全国模拟）设函数 f(x) = cos2x
2+ sinxcosx
， ( )
A. f(x) = f(x+ π) B. f(x)的 大 为
1
2
C. f(x) (-π
4
，0)
D. f(x) (0,π
4
) 减
【解 】解 ：对 于 A ：函 数 f ( x ) = cos2x
2+ sinxcosx
= 2 ×
cos2x- 0
sin2x- (-4)
，所以满足 f(x) = f(x+ π)，故A正 ；
对于B : f(x)的几 意义为 上 点 (sin2x,cos2x)与点 (-
4,0)连线的斜 的 2 ，
相 时， 大 为
2
15
，故B 误；
对于C： x ∈ (-π
4
,0)时， 点 二 从左 右运 ，斜 先 大 减 ，故C 误；
对于D： x ∈ (0,π
4
)时， 点 一 从左 右运 ，斜 渐减 ，故D正 ；
如图所示：
故 ：AD．
27.（2020秋•济南期末） 代数学 著《九章 》 九 《勾股》章中提 了著 的 “ 勾股容方 ” 问题．
如图，正方 GBEF内 于直角三角 ABC，其中BE= d，BC= a，AB= b，a≤ b， 下 关系
成 的 ( )
A. a< 2d< ab
B. ab
< 2d< a+ b
2
C. 1
d
= 1
a
+ 1
b
D. a2+ b2
= a+ b- d
【解 】解：因为正方 GBEF内 于直角三角 ABC，其中 BE= d，BC= a，
AB= b，
所以 tan∠BAC= d
b- d
= a
b
，整理可 d(a+ b) = ab，①
由①可
1
d
= 1
a
+ 1
b
，可 C正 ；
因为 a≤ b，由①可 ad= b(a- d)≥ a(a- d) = a2- ad，
a2≤ 2ad，可 a≤ 2d，故A 误；
由①可 d(a+ b) = ab≥ 2d ab
， 且仅 a= b时 号成 ，
可 ab
≥ 2d， 且仅 a= b时 号成 ，故B 误；
因为 d(a+ b) = ab，所以 (a+ b- d)2= (a+ b)2- 2(a+ b)d+ d2
= (a+ b)2- 2ab+ d2= a2+ b2+ d2，
故 a2+ b2
≠ a+ b- d，故D 误．
故 ：AC．
28.（2020秋•济南期末）设抛物线 y= ax2的准线与对称轴交于点P，过点P 抛物线的两 线， 点
为A B， ( )
A. 点P 为 (0, - 1
4a
) B. 直线AB的方 为 y= 1
4a
C.PA⊥PB D. |AB |= 1
2|a|
【解 】解：抛物线的 准方 为 x2= 1
a
y，其准线方 为 y=- 1
4a
，
∴点P为 (0, - 1
4a
)， 项A正 ；
∵ y= ax2的，∴ y= 2ax，
设点A的 为 (m,am2)， 点A处的 线斜 为 2am，
∵ kAP=
am2+ 1
4a
m
，
∴
am2+ 1
4a
m
= 2am，解 m=± 1
2a
，
∴点A的纵 为 am2= a ⋅ 1
4a2
= 1
4a
，
∴直线AB的方 为 y= 1
4a
， 项B正 ；
不妨取A( 1
2a
，
1
4a
)，B(- 1
2a
，
1
4a
)，
PA
= ( 1
2a
，
1
2a
)，PB
= (- 1
2a
，
1
2a
)，
∴PA
⋅PB
=-( 1
2a
)2+ ( 1
2a
)2= 0， PA⊥PB，故 项C正 ；
|AB |= | 1
2a
-(- 1
2a
) |= 1
|a|
， 项D 误．
故 ：ABC．
29.（2020秋•雁塔区校级期末）已知点A，B的 (-1,0)，(1,0)，直线A，B相交于点M，且它们
的斜 为 k1，k2，下 题 题的 ( )
A. 若 k1+ k2= 2， M的轨迹 （ 两个点）
B. 若 k1- k2= 2， M的轨迹 抛物线（ 两个点）
C. 若 k1 ⋅ k2= 2， M的轨迹 曲线（ 两个点）
D. 若 k1÷ k2= 2， M的轨迹 一 直线（ 一点）
【解 】解：不妨设点M (x,y)，
项A，不妨设 k1= k，k2= 2- k
y= k(x+ 1)
y= (2- k) (x- 1)
，
数 k ，y= x- 1
x
,x≠± 1，所以A不正 ；
项B，不妨设 k1= k，k2= 2+ k
y= k(x+ 1)
y= (2+ k) (x- 1)
，
数 k ，y= x2- 1，x≠± 1，所以B正 ；
项C，k1 ⋅ k2= 2=
y
x+ 1
⋅ y
x- 1
，整理 x2- y
2
2
= 1,x=± 1，所以C正 ；
项D，k1÷ k2= 2=
y
x+ 1
⋅ x- 1
y
，整理 x=-3，y≠ 0，所以D正 ．
故 ：BCD．
三、 题（共 21 题）
30.（2021 •全国模拟）对一个物理 n次 ， 以 结 的 为该物理 的 结 ．已
知 结 的误差 εn~N (0,
2
n
)，为 误差 εn (-0.5,0.5)的 不 于 0.9545，至 要 32
次．（若X~N (μ,σ2)， P( |X- μ |< 2σ) = 0.9545)．
【解 】解： 正态曲线的对称性知，要 误差 εn (-0.5,0.5)的 不 于 0.9545，
(μ- 2σ，μ+ 2σ) ⊂ (-0.5，0.5)且 μ= σ，σ= 2
n
，
所以 0.5≥ 2 2
n
，
解 ，n≥ 32， n的 32．
故 为：32．
31.（2020秋•静安区期末）如图所示， 面直角 系 xOy中， 点P以每秒
π
2
的角 从点A出发，
为 2的上 时针移 B，再以每秒
π
3
的角 从点B 为 1的下 时针移
点 O， 上述过 中 点 P 的纵 y 关于时间 t 的函数表达 为 y =
2sin
π
2
t,0≤ t≤ 2
-sin[π
3
(t- 2)],2< t≤ 5
．
【解 】解： P 大 上 上运 时，∠POA= π
2
t，0≤ t≤ 2，
由任意角的三角函数的定义，可 P的纵 为 y= 2sinπ
2
t，0≤ t≤ 2；
点P 下 上运 时，∠POB= π+ π
3
(t- 2)，2< t≤ 5，
可 P点纵 为 y= sin[π+ π
3
(t- 2)]=-sin[π
3
(t- 2)]，2< t≤ 5．
∴ 点 P 的 纵 y 关 于 时 间 t 的 函 数 表 达 为 y =
2sin
π
2
t,0≤ t≤ 2
-sin[π
3
(t- 2)],2< t≤ 5
．
故 为：y=
2sin
π
2
t,0≤ t≤ 2
-sin[π
3
(t- 2)],2< t≤ 5
．
32.（2020 •新建区校级模拟）已知 曲线C : x
2
a2
- y
2
b2
= 1(a> 0,b> 0)的左，右焦点
为F1，F2，过右支上一点P 曲线C的一 渐近线的 线， 足为H．若|
PH |+ |PF1 |的 为 4a， 曲线C的离 为 5
．
【解 】解：由 曲线定义知，|PF1 |- |PF2 |= 2a， |PF1 |= |PF2 |+2a，∴ |PH |+ |
PF1 |= |PH |+ |PF2 |+2a，
所以，过F2 曲线一 渐近线的 线 足为H，交右支于点P，
此时|PH |+ |PF2 |+2a 且 为 4a， 焦点 渐近线的距离为 b
|PH |+ |PF2 |= b，所以 b+ 2a= 4a， b= 2a，c2= 5a2，
可 离 e= 5
．
故 为： 5
．
33.（2020秋•杨浦区校级期末）如 M C1 :
x2
16
+ y
2
9
= 1上的 点，N C2 :
x2
64
+ y
2
36
= 1上
的 点， 么ΔOMN面积的 大 为 12 ．
【解 】解：ΔOMN面积S= 1
2
|OM
| ⋅ |ON
| sin∠MON= 1
2
(|OM
| ⋅ |ON
|2- (OM
⋅ON
)2
= 1
2
(|OM
| ⋅ |ON
|)2- (OM
⋅ON
)2
，
设OM
= (x1，y1)，ON
= (x2，y2)，
可 ( |OM
| ⋅ |ON
| )2- (OM
⋅ON
)2= (x21+ y21) (x22+ y22) - (x1x2+ y1y2)2= x21y22+ x22y21 - 2x1x2y1y2=
(x1y2- x2y1)2，
所以S= 1
2
| x1y2- x2y1 |，
由题意可设M (4cosα,3sinα)，N (8cosβ,6sinβ)，
S= 1
2
| 24cosαsinβ- 24sinαcosβ |= 12 | sin(α- β) |，
sin(α- β) =± 1时， α- β= 2kπ± π
2
，k ∈Z时，S取 大 12．
故 为：12．
34.（2020秋•杨浦区校级期末）已知方 1- x2
= x+ a 两个不 的实
， 实数 a的取 围为 (1, 2
) ．
【解 】解： 题意画出图 ，如图所示：
y= x+ a表示一 直线，方 右边 y= 1- x2
，
直线与 相 时， 直线的距离 d= r， |a|
2
= 1，
解 ：a= 2
或 a=- 2
（ ），
直线与 两个公共点，
方 方 1- x2
= x+ a 两个不 的实 ，
此时 a的取 围为 (1, 2
)．
故 为：(1, 2
)．
35.（2020秋•杨浦区校级期末）已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为 M : x2+ y2= 4上的两点，且 x1x2+ y1y2=-
1
2
，设P(x0，y0)为 AB上一点，且AP
= 2PB
， | 3x0+ 4y0- 10 |的 为 10- 5 2
．
【解 】解：由题设可 ：AP
= (x0- x1，y0- y1)，PB
= (x2- x0，y2- y0)，
∵AP
= 2PB
，∴
x0- x1= 2(x2- x0)
y0- y1= 2(y2- y0)
，
3x0= x1+ 2x2
3y0= y1+ 2y2
，
∴ 9(x20+ y20) = (x1+ 2x2)2+ (y1+ 2y2)2= (x21+ y21) + 4(x22+ y22) + 4(x1x2+ y1y2)，
∵A(x1，y1)，B(x2，y2)为 M : x2+ y2= 4上的两点，且 x1x2+ y1y2=-
1
2
，
∴ 9(x20+ y20) = 4+ 4× 4- 2= 18， x20+ y20= 2，
∴点P的轨迹为 x2+ y2= 2，
| 3x0+ 4y0- 10 |= 5× |3x0+ 4y0- 10|
32+ 42
，其几 意义为 x2+ y2= 2上一点 直线 3x+ 4y- 10= 0
的距离的 5 ，
∵ x2+ y2= 2的 (0,0) 直线 3x+ 4y- 10= 0的距离 d= |-10|
32+ 42
= 2，
∴ x2+ y2= 2上一点 直线 3x+ 4y- 10= 0的距离的 为 d- r= 2- 2
，
∴ | 3x0+ 4y0- 10 |= 5× |3x0+ 4y0- 10|
32+ 42
≥ 5(2- 2
)= 10- 5 2
，
故 为：10- 5 2
．
36.（2020秋•大兴区期末）如图， 四面 ABCD中，其棱 为 1，M，N 为BC，AD的中点．若
MN
= xAB
+ yAC
+ zAD
， x+ y+ z= - 1
2
；直线MN CD
的夹角为 ．
【解 】解：由 M，N 为 BC，AD的中点可 AM
= 1
2
(AB
+
AC
)，AN
= 1
2
AD
，
∴MN
=MA
+ AN
= - 1
2
(AB
+ AC
) + 1
2
AD
= - 1
2
AB
- 1
2
AC
+
1
2
AD
，
而MN
= xAB
+ yAC
+ zAD
，所以 x= y=- 1
2
，z= 1
2
，
∴ x+ y+ z=- 1
2
．
连 BN、CN， 四面 ABCD中，其棱 为 1，
所以BN=CN= 3
2
，而BC= 1，
所以MN= ( 3
2
)2- ( 1
2
)2
= 2
2
，
取AC的中点 E，EN //CD，所以∠ ENM 为直线MN CD的夹
角，
三角 MNE中，EN=EM= 1
2
，MN= 2
2
，
所以 cos∠ENM=
( 1
2
)2+ ( 2
2
)2- ( 1
2
)2
2× 1
2
× 2
2
= 2
2
，
直线MN CD的夹角为 45°．
故 为：- 1
2
，45°．
37.（2020秋•大兴区期末） 一 的 连续抛 n次，以Pn表示 出 连续 3次正面的 ．
给出下 四个结论：
①P3=
7
8
；
②P4=
15
16
；
③ n≥ 2时，Pn+ 1P3>P4，
∴n≥ 2时，数 {Pn} 减， n≥ 2时，Pn+ 1 11
20
，故 项③ 误；
设N (5+ 2
cosθ,2+ 2
sinθ)，M (5,2+ 2
)，
MN的中点Q(5+ 2
2
cosθ，2+ 2
2
+ 2
2
sinθ)，
而∠MAN= 90°， 点A为以MN为直 的 上，
设 为 r，MN 2= 4- 4sinθ， r= 1- sinθ
，
所以 t 大时 该 点Q的纵 ， t= 2+ 2
2
+ 2
2
sinθ+ 1- sinθ
，
令 g(x) = 2+ 2
2
+ 2
2
x+ 1- x
，x ∈ [-1，1]，
令 μ= 1- x
∈ [0, 2
]， f(μ) = 2+ 2
2
+ 2
2
(1- μ2) + μ，μ ∈ [0, 2
]，
f(μ) =- 2
2
μ2+ μ+ 2+ 2
， μ= 2
2
时，f(μ)max= f(
2
2
)=- 2
4
+ 2
2
+ 2+ 2
= 5 2
+ 8
4
，
所以 t的 大 为
5 2
+ 8
4
，故 项④正 ；
故 为：①②④．
40.（2020秋•丰台区期末）如 数 {an}满足
an+ 2
an+ 1
- an+ 1
an
= k(k为 数）， 么数 {an}叫 比差数
，k叫 公比差．给出下 四个结论：
①若数 {an}满足
an+ 1
an
= 2n， 该数 比差数 ；
②数 {n ⋅ 2n} 比差数 ；
③所 的 比数 都 比差数 ；
④存 差数 比差数 ．
其中所 正 结论的 号 ①③④ ．
【解 】解： 题意，数 {an}满足
an+ 1
an
= 2n， an+ 2
an+ 1
- an+ 1
an
= 2n+ 2- 2n= 2，
所以数 比差数 ，故 项①正 ；
对于数 { n ⋅ 2n }， an+ 2
an+ 1
- an+ 1
an
= (n+ 2) ⋅ 2
n+ 2
(n+ 1) ⋅ 2n+ 1
- (n+ 1) ⋅ 2
n+ 1
(n) ⋅ 2n
= 2n+ 4
n+ 1
- 2n+ 2
n
=
2n2+ 4n- 2n2- 4n- 2
n(n+ 1)
= -2
n(n+ 1)
不 数，
所以数 {n ⋅ 2n}不 比差数 ，故 项② 误；
由 比数 的定义可知，an= an- 1q，
所以
an+ 2
an+ 1
- an+ 1
an
= q- q= 0，
所以所 的 比数 都 比差数 ，故 项③正 ；
设 差数 为 {an}，公差为 d，
所以
an+ 2
an+ 1
- an+ 1
an
= an+ 2d
an+ d
- an+ d
an
= -d2
an(an+ d)
，
d= 0时，
an+ 2
an+ 1
- an+ 1
an
= 0，所以存 差数 比差数 ，故 项④正 ．
故 ：①③④．
41.（2020秋•西青区期末）已知抛物线C : y2= 4x的焦点为F，准线为 l，过点F的直线与抛物线交于两点
P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
①抛物线 y2= 4x焦点 准线的距离为 2；
②若 x1+ x2= 6， |PQ |= 8；
③ y1y2=-4p2；
④过点P 抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点A， 直线AQ//抛物线的对称轴；
⑤绕点 (-2,1)旋转且与抛物线C 且仅 一个公共点的直线至多 2 ．
以上结论中正 的 号为 ①②④ ．
【解 】解：由抛物线的方 可 ：p= 2，且焦点F(1,0)，准线方 为：x=-1，
对于①：由抛物线的焦点 以 准线方 可 焦点 准线的距离为 2，故①正 ，
对于②：由抛物线的定义可 ：|PQ |= xx+ x2+ p= x1+ x2+ 2= 8，故②正 ，
对于③：设直线PQ的方 为：x=my+ 1，代入抛物线方 可 ：
y2- 4my- 4= 0，所以 y1y2=-4≠-4p2，故③ 误，
对于④：由点P的 可设直线OP的方 为：y= y1
x1
x，
令 x=-1， y=- y1
x1
，所以A(-1, - y1
x1
)，
因为由③知：y1y2=-4，y1+ y2= 4m，
所以点Q的 为 (x2, -
4
y1
)，而点P满足方 y21= 4x1， x1=
1
4
y21，
所以A(-1, - 4
y1
)，所以AQ//x轴， 直线AQ//抛物线的对称轴，故④正 ，
对于⑤： y= 1时， 然与抛物线只 一个公共点，
设过M的直线的方 为：x=my-m- 2，代入抛物线的方 可 ：
y2- 4my+ 4m+ 8= 0，令△= 16m2- 4(4m+ 8) = 0，
解 m= 2或-1，
故绕点 (-2,1)旋转且与抛物线C 且仅 一个公共点的直线 3 ．，故⑤ 误，
故 为：①②④．
42.（2020秋•天津期末）已知实数 a> 0，b> 0，1
a
+ 2
b
= 1， 4a
a- 1
+ 3b
b- 2
的 7+ 4 3
．
【解 】解：∵ 1
a
+ 2
b
= 1，
∴ a- 1= 2a
b
,b- 2= b
a
，且 a> 0，b> 0，
∴ 4a
a- 1
+ 3b
b- 2
= 4+ 4
a- 1
+ 3+ 6
b- 2
= 7+ 2b
a
+ 6a
b
≥ 7+ 2 12
= 7+ 4 3
， 且仅
2b
a
= 6a
b
，
a= 1+ 2 3
3
,b= 3
+ 2时取 号，
∴ 4a
a- 1
+ 3b
b- 2
的 7+ 4 3
．
故 为：7+ 4 3
．
43.（2020 秋•天津期末）已知扇 AOB 为 1，∠ AOB = 60°， AB
上的点 P满足 OP
= λOA
+
μOB
(λ,μ ∈R)， λ+ μ的 大
2 3
3
；PA
∙PB
．
【解 】解：以O为 点，以OB为 x轴建 面直角 系，
设∠BOP= θ， P(cosθ,sinθ)，B(1,0)，A( 1
2
， 3
2
)，
∵OP
= λOA
+ μOB
，
∴
cosθ= 1
2
λ+ μ
sinθ= 3
2
λ
，
λ= 2 3
sinθ
3
μ= cosθ- 3
3
sinθ
．
∴ λ+ μ= cosθ+ 3
3
sinθ= 2 3
3
sin(θ+ π
3
)，
∵P AB
上，∴ 0≤ θ≤ π
3
，
∴ θ= π
6
时，λ+ μ取 大
2 3
3
．
PA
= ( 1
2
- cosθ， 3
2
- sinθ)，PB
= (1- cosθ, - sinθ)，
∴PA
∙PB
= ( 1
2
- cosθ) (1- cosθ) + ( 3
2
- sinθ) (-sinθ) = 3
2
- 3
2
cosθ- 3
2
sinθ= 3
2
- 3
sin(θ
+ π
3
)．
∵ 0≤ θ≤ π
3
，∴ π
3
≤ θ+ π
3
≤ 2π
3
．
∴ θ+ π
3
= π
2
时，PA
∙PB
取
3
2
- 3
．
故 为：
2 3
3
，
3
2
- 3
．
44.（2020 •石景山区一模）已知F 抛物线C : y2= 4x的焦点，M C上一点，FM的延 线交 y轴于点
N，若M为FN的中点， |FN |= 3 ．
【解 】解：抛物线C : y2= 4x的焦点 F(1,0)，M C上一点，FM的延 线交 y轴于点N．若M为
FN的中点，
可知M的横 为：
1
2
，
|FM |= 1
2
+ 1= 1 1
2
，
|FN |= 2 |FM |= 2× 1 1
2
= 3．
故 为：3．
45.（2020秋•成都期末）已知 C : (x- 2)2+ (y- 5)2= 4的 为C，T为直线 x- 2y- 2= 0上的
点，过点 T C的 线， 点为M， TM
⋅ TC
的 为
16 ．
【解 】解：由已知， (2,5)， 2，如图，
TM
⋅TC
= (TC
+CM
) ⋅TC
=TC
2+CM
⋅TC
=TC
2-CM
⋅
CT
，
M 点，CT
CM
方 上的投 线段CM代表的数
，故CM
⋅CT
=CM
2= 4 个定 ，
故 CT取 时，TM
⋅TC
取 ， CT
直线的 线段时取
直线 x- 2y- 2= 0，故 直线的距离
|2- 2× 5- 2|
12+ 22
=
2 5
，
所以TM
⋅TC
的 (2 5
)2- 4= 16，
故 为：16．
46.（2012 •上海） 矩 ABCD中，边AB、AD的 为 2、1，若M、N 边BC、CD上的点，且
满足
|BM
|
|BC
|
= |CN
|
|CD
|
， AM
⋅AN
的取 围 [1，4] ．
【解 】解：以AB
所 的直线为 x轴，以AD
所 的直线为 y轴，
建 系如图，
∵AB= 2，AD= 1，
∴A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)，
设M (2,b)，N (x,1)，
∵ |BM
|
|BC
|
= |CN
|
|CD
|
，
∴ b= 2- x
2
∴AN
= (x,1)，AM
= (2,2- x
2
)，
∴AM
⋅AN
= 3
2
x+ 1, (0≤ x≤ 2)，
∴ 1≤ 3
2
x+ 1≤ 4，
1≤AM
⋅AN
≤ 4
故 为：[1，4]
47.（2020秋•济南期末）为 全 ，宣 天下 ，首 （ ）马拉 赛于 2019 11 2日
大 湖 门 赛．如图①，②，③，④ 1个、5个、13个、25个首 马拉 赛的 LOGO
“ ”， 的方 图 ，设 n个图 an个 “ ”， n≥ 2时，an- an- 1= 4(n- 1)
，a10= ．
【解 】解：由图可知，a2- a1= 4，a3- a2= 4× 2，…，
所以 n≥ 2时，an- an- 1= 4(n- 1)，
由 a2- a1= 4，a3- a2= 4× 2，…，an- an- 1= 4(n- 1)，
相 ，an= 2n(n- 1) + 1，于 a10= 2× 10× 9- 1= 179．
故 为：4(n- 1)；179．
48.（2020秋•济南期末）已知
x2
a2
+ y
2
b2
= 1(a> b> 0)与 曲线
x2
m2
- y
2
n2
= 1(m> 0,n> 0)具 相
的焦点F1，F2，且 一 交于点P， 与 曲线的离 为 e1，e2，若∠F1PF2=
π
2
， e21+
e22的取 围为 (2, +∞) ．
【解 】解：设|PF1 |= s，|PF2 |= t，
由 曲线的定义可 s+ t= 2a，s- t= 2m，
解 s= a+m，t= a-m，
三角 F1PF2中，∠F1PF2=
π
2
，
可 4c2= s2+ t2= a2+m2+ 2am+ a2+m2- 2am，
a2+m2= 2c2，
1
e12
+ 1
e22
= 2，
所以 e21+ e22=
1
2
(e21+ e22) (
1
e12
+ 1
e22
)= 1
2
(2+ e1
2
e22
+ e2
2
e12
)≥ 1
2
(2+ 2 e12
e22
⋅ e2
2
e12
)= 2，
且仅 e1= e2时取 号， e1≠ e2，所以 e21+ e22> 2．
所以 e21+ e22的取 围为 (2, +∞)．
故 为：(2, +∞)．
49.（2020秋•凉山州期末）已知F1，F2 曲线
x2
a2
- y
2
b2
= 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点，以 点
O为 ，|OF1 |为 的 与该 曲线左支交于A，B两点， 该 曲线离 为 3
+ 1 时，
△F2AB为 边三角 ．
【解 】解：连结AF1，
∵F1F2 O的直 ，
∴∠F1AF2= 90°， F1A⊥AF2，
∵△F2AB 边三角 ，F1F2⊥AB，
∴∠AF2F1=
1
2
∠AF2B= 30°，
因此， Rt △F1AF2中，|F1F2 |= 2c，|F1A |= 1
2
|F1F2 |= c，
|F2A |= 3
2
|F1F2 |= 3
c．
曲线的定义， 2a= |F2A |- |F1A |= ( 3
- 1)c，
解 c= ( 3
+ 1)a，
∴ 曲线的离 为 e= c
a
= 3
+ 1．
故 为： 3
+ 1．
50.（2020秋•江岸区校级期末）一个口袋中 3个红球 4个白球，从中取出 2个球．下面几个 题：
（1）如 不放回 抽取， 么取出 1个红球，1个白球的
2
7
；
（2）如 不放回 抽取， 么 至 取出一个红球的 件下， 2次取出红球的
3
5
；
（3）如 放回 抽取， 么取出 1个红球 1个白球的
12
49
；
（4）如 放回 抽取， 么 2次取 红球的 1次取 红球的 相 ．
其中正 的 题 （2）（4） ．
【解 】解： 题意， 次 4个 题：
（1）如 不放回 抽取， 么取出 1个红球，1个白球的 P= C
1
3×C 1
4
C 2
7
= 4
7
，因此不正 ；
（2）如 不放回 抽取，至 取出一个红球的 P1= 1-
C 2
4
C 2
7
= 5
7
， 2次取出红球的 P2=
4× 3
7× 6
+ 3× 2
7× 6
= 3
7
，
至 取出一个红球的 件下， 2次取出红球的 P= P2
P1
= 3
5
，因此正 ；
（3）如 放回 抽取， 么取出 1个红球 1个白球的 P= C
1
3
C 1
7
× C
1
4
C 1
7
× 2= 24
49
≠ 12
49
，因此不正
；
（4）如 放回 抽取， 么 2次取 红球的 1次取 红球的 相 ，正 ，其 P
= C
1
3
C 1
7
= 3
7
．
其中正 的 题 （2）（4），
故 为：（2）（4）．
