【数学】2020届一轮复习人教A版第26课三角函数的恒等变形与求值(2)学案（江苏专用）

【数学】2020届一轮复习人教A版第26课三角函数的恒等变形与求值(2)学案（江苏专用）

‎____第26课__三角函数的恒等变形与求值(2)____‎ ‎1. 掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式及倍角公式．‎ ‎2. 能用公式进行化简、求值及证明.‎ ‎1. 阅读：阅读必修4第102～122页．‎ ‎2. 解悟：①两角和差余弦公式“同名相乘，符号相反”，两角和差正弦公式“异名相乘，符号相同”，两角和差正切公式“分子同，分母反”；②二倍角公式中“倍角”是相对的；③注意公式的“正用、逆用、变形使用”，牢记“角优先”，弄清已知角和所求角之间的联系；④辅助角公式．‎ ‎3. 践习：在教材的空白处完成必修4第106页练习第4题、第109页练习第8题、第111页练习第1题、第117页练习第3题、第123页练习第2题.‎ ‎　基础诊断　‎ ‎1. 已知<α<π，sinα＝，tanβ＝，则tan(α－β)＝__－2__．‎ 解析：因为<α<π，所以cosα<0，所以cosα＝－，tanα＝－，则tan(α－β)＝＝＝－2.‎ ‎2. 计算：＝____．‎ 解析：因为tan15°＝tan(45°－30°)＝＝，所以原式＝＝＝.‎ ‎3. 已知tanθ＝2，则cos2θ＝__－__．‎ 解析：cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝＝－.‎ ‎4. 已知cos＝，θ∈，则cosθ＝____．‎ 解析：因为cos＝，θ∈，‎ 所以sin＝＝，‎ 所以cosθ＝cos ‎＝cos＋sin＝.‎ ‎　范例导航　‎ 考向❶ 化简与求值问题 例1　(1) 化简：tan＋tan＋tantan；‎ ‎(2) 计算：.‎ 解析：(1) 原式＝tan·＋tan(－θ)tan(＋θ)＝.‎ ‎(2) 因为sin50°(1＋tan10°)＝sin50°×＝sin50°×＝1，‎ cos80°＝sin10°＝sin210°，‎ 所以原式＝＝＝.‎ ‎(1) 化简：＝cos__10°；‎ 解析：原式＝＝＝cos10°.‎ ‎(2) 求值：＝__－4__．‎ 解析：原式＝＝＝－4.‎ ‎【备用题】 求值：(1) ；‎ ‎(2) 4cos50°－tan40°.‎ 解析：(1) 原式＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎(2) 原式＝4sin40°－tan40°‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 考向❷ 给值求值，给值求角的问题 例2　已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.‎ ‎(1) 求sinα的值；‎ ‎(2) 求β的值．‎ 解析：(1) 因为tan＝，‎ 所以sinα＝2sincos＝ ‎＝＝＝.‎ ‎(2) 0<α<，sinα＝，所以cosα＝.‎ 又0<α<<β<π，所以0<β－α<π.‎ 由cos(β－α)＝，所以sin(β－α)＝，‎ 所以sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝×＋×＝＝，‎ 所以β＝.‎ 如果sinα＝，cosβ＝，且α，β为锐角，那么α＋2β＝____. ‎ 解析：因为sinα＝，cosβ＝，α，β为锐角，所以cosα＝，sinβ＝，所以cos(α＋β)＝×－×＝.又因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，则sin(α＋β)＝＝，故cos(α＋2β)＝cos[(α＋β)＋β]＝×－×＝.又因为α＋2β∈，所以α＋2β＝.‎ 考向❸ 三角函数的综合运用 ‎　　例3　如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C均在单位圆上，已知点A在第一象限，其横坐标为，点B在第二象限，点C(1，0)．‎ ‎(1) 设∠COA＝θ，求sin2θ；‎ ‎(2) 若△AOB为正三角形，求点B的坐标．‎ 解析：(1) 由题意得，cosθ＝，则sinθ＝，‎ 所以sin2θ＝2sinθcosθ＝.‎ ‎(2) 因为△ABO是正三角形，则∠BOC＝∠AOC＋60°＝θ＋60°，‎ cos∠BOC＝cos(θ＋60°)＝cosθcos60°－sinθsin60°＝，　‎ sin∠BOC＝sin(θ＋60°)＝sinθcos60°＋cosθsin60°＝，　‎ 从而点B的坐标为.‎ 如图，在平面直角坐标系中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分 别为，.‎ ‎(1) 求tan(α＋β)的值； ‎ ‎(2) 求α＋2β的值．‎ 解析：由条件得cosα＝，cosβ＝.‎ 因为α、β为锐角，‎ 所以sinα＝，sinβ＝，‎ 所以tanα＝7，tanβ＝.‎ ‎(1) tan(α＋β)＝＝＝－3，‎ ‎(2) tan2β＝＝＝，‎ 所以tan(α＋2β)＝＝＝－1.‎ 因为α、β为锐角，所以0<α＋2β<，‎ 所以α＋2β＝.‎ ‎【备用题】 已知锐角α，β，γ满足sinα＋sinγ＝sinβ，cosα－cosγ＝cosβ，求α－β的值．‎ ‎【点评】 注意题目目标求α－β的值，先将条件变形为sinα－sinβ＝－sinγ，cosα－cosβ＝cosγ，然后再联想两角差的余弦公式平方相加即可，另外要注意α－β自身的范围．‎ 解析：由题意得，sinα－sinβ＝－sinγ<0，①‎ 所以sinα0，b>0)要能熟练化成sin(x＋φ) 的形式，并掌握确定角φ所在象限的方法．‎ ‎3. 你还有那些体悟，写下来：‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎