【物理】2018届一轮复习人教版第4章第3节圆周运动学案
第三节 圆周运动
一、描述圆周运动的物理量
1．线速度：描述物体圆周运动的快慢，v＝＝．
2．角速度：描述物体转动的快慢，ω＝＝．
3．周期和频率：描述物体转动的快慢，T＝，f＝.
4．向心加速度：描述线速度方向变化的快慢．
an＝rω2＝＝ωv＝r.
5．向心力：作用效果为产生向心加速度，Fn＝man.
1.(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则( )
A．角速度为0.5 rad/s
B．转速为0.5 r/s
C．轨迹半径为 m
D．加速度大小为4π m/s2
提示：选BCD.由ω＝，n＝，v＝及a＝可知，选项B、C、D正确，A错误．
二、匀速圆周运动
1．匀速圆周运动的向心力
(1)大小：F＝m＝mω2r＝mr＝mωv＝4π2mf2r.
(2)方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．
(3)作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
2．匀速圆周运动与非匀速圆周运动的比较
项目
匀速圆周运动
非匀速圆周运动
定义
线速度大小不变的圆周运动
线速度大小变化的圆周运动
运动特点
F向、a向、v均大小不变，方向变化，ω不变
F向、a向、v大小、方向均发生变化，ω发生变化
向心力
F向＝F合
由F合沿半径方向的分力提供
2.判断正误
(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动．( )
(2)在做圆周运动时向心加速度大小不变，方向时刻改变．( )
(3)当物体所受合力全部用来提供向心力时，物体做匀速圆周运动．( )
(4)做变速圆周运动的物体，只有在某些特殊位置，合力方向才指向圆心．( )
提示：(1)× (2)× (3)√ (4)√
三、离心运动
1．定义：做圆周运动的物体，在合力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．
2．供需关系与运动：如图所示，F为实际提供的向心力，则
(1)当F＝mω2r时，物体做匀速圆周运动；
(2)当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
(3)当F
mω2r时，物体逐渐靠近圆心．
3.(多选)如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动．若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况说法中正确的是( )
A．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动
C．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做向心运动
提示：选BC.若拉力减小，物体做离心运动，小球会沿Pb运动，选项B正确、D错误；若拉力消失，小球会沿切线Pa飞出，故选项C正确；当拉力变大时小球做近心运动，故A错误．
对传动装置问题的求解
【知识提炼】
在分析传动装置的物理量时，要抓住不等量和相等量的关系，表现为：
1．同一转轴的各点角速度ω相同，而线速度v＝ωr与半径r成正比，向心加速度大小a＝ω2r与半径r成正比．
2．当皮带不打滑时，用皮带连接的两轮边缘上的各点线速度大小相等，由ω＝可知，ω与r成反比，由a＝可知，a与r成反比．
【典题例析】
(多选)(2017·山东聊城模拟)如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，A是它边缘上的一点．左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r.B点在小轮上，它到小轮中心的距离为r.C点和D点分别位于小轮和大轮的边缘上．若在传动过程中，皮带不打滑．则( )
A．A点与B点的线速度大小相等
B．A点与B点的角速度大小相等
C．A点与C点的线速度大小相等
D．A点与D点的向心加速度大小相等
[审题指导] A点与B点既不共轴也不同在皮带上，故线速度、角速度大小均不相等．A与C同皮带线速度大小相等．
[解析] 由于A、C两点同在皮带上，故vA＝vC，C正确；B、C、D三点绕同一轴运动，故ωB＝ωC＝ωD＝ω2，由v＝ωr得vB＝ω2r，vC＝2ω2r，vD＝4ω2r，vA＝ω1r，则ω1＝2ω2，vA＝vC＞vB，再根据a＝ω2r可得aA＝aD，故A、B错误，D正确．
[答案] CD
(多选)如图所示为某一皮带传动装置．M是主动轮，其半径为r1，M′半径也为r1，M′和N在同一轴上，N和N′的半径都为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．则下列说法正确的是( )
A．N′轮做的是逆时针转动
B．N′轮做的是顺时针转动
C．N′轮的转速为n
D．N′轮的转速为n
解析：选BC.根据皮带传动关系可以看出，N轮和M轮转动方向相反，N′轮和N轮的转动方向相反，因此N′轮的转动方向为顺时针，A错误，B正确．皮带与轮边缘接触处的速度相等，所以2πnr1＝2πn2r2，得N(或M′)轮的转速为n2＝，同理2πn2r1＝2πn′2r2，得N′轮转速n′2＝n，C正确，D错误．
水平面内的圆周运动
【知识提炼】
1．运动实例：圆锥摆、车辆转弯、飞机在水平面内盘旋等．
2．运动特点：运动轨迹为圆且在水平面内．
3．受力特点
(1)物体所受合外力大小不变，方向沿水平方向指向圆心，提供向心力．
(2)竖直方向的合力为零．
【典题例析】
如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT.(g取10 m/s2，结果可用根式表示)
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
[审题指导] (1)小球离开锥面的临界条件是小球仍沿锥面运动，支持力为零．
(2)细线与竖直方向夹角为60°时，小球离开锥面，做圆锥摆运动．
[解析] (1)若要小球刚好离开锥面，此时小球只受到重力和细线拉力，如图所示．小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：
mgtan θ＝mωlsin θ
解得：ω＝
即ω0＝ ＝ rad/s.
(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式：mgtan α＝mω′2lsin α
解得ω′2＝，
即ω′＝ ＝2 rad/s.
[答案] (1) rad/s (2)2 rad/s
水平面内圆周运动的处理方法
质点随水平圆盘一起转动、火车转弯、汽车转弯、飞机在空中的盘旋、开口向上的光滑圆锥体内小球绕竖直轴线的圆周运动等，都是水平面内圆周运动的典型实例，其受力特点是合力沿水平方向指向轨迹内侧，求解时要明确物体所受的合外力提供向心力.以质点随水平圆盘一起转动为例，质点与圆盘面之间的静摩擦力提供向心力．静摩擦力随速度的增大而增大，当静摩擦力增大到最大静摩擦力时，质点达到保持圆周运动的最大速度．若速度继续增大，质点将做离心运动．
【跟进题组】
考向1 车辆转弯问题
1．(多选)(2015·高考浙江卷)如图所示为赛车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在O点的半圆，内外半径分别为r和2r.一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A′B′线，有如图所示的①、②、③三条路线，其中路线③是以O′为圆心的半圆，OO′＝r.赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax.选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则( )
A．选择路线①，赛车经过的路程最短
B．选择路线②，赛车的速率最小
C．选择路线③，赛车所用时间最短
D．①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等
解析：选ACD.由几何关系可得，路线①、②、③赛车通过的路程分别为：(πr＋2r)、(2πr＋2r)和2πr，可知路线①的路程最短，选项A
正确；圆周运动时的最大速率对应着最大静摩擦力提供向心力的情形，即μmg＝m，可得最大速率v＝，则知②和③的速率相等，且大于①的速率，选项B错误；根据t＝，可得①、②、③所用的时间分别为t1＝，t2＝，t3＝，其中t3最小，可知路线③所用时间最短，选项C正确；在圆弧轨道上，由牛顿第二定律可得：μmg＝ma向，a向＝μg，可知三条路线上的向心加速度大小均为μg，选项D正确．
考向2 圆锥摆模型
2.(多选)如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点，设法让两个小球均在水平面上做匀速圆周运动．已知L1跟竖直方向的夹角为60°，L2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是( )
A．细线L1和细线L2所受的拉力大小之比为 ∶1
B．小球m1和m2的角速度大小之比为 ∶1
C．小球m1和m2的向心力大小之比为3∶1
D．小球m1和m2的线速度大小之比为3∶1
解析：选AC.对任一小球进行研究，设细线与竖直方向的夹角为θ，竖直方向受力平衡，则Tcos θ＝mg，解得T＝，所以细线L1和细线L2所受的拉力大小之比为＝＝，故A正确；小球所受合力的大小为mgtan θ，根据牛顿第
二定律得mgtan θ＝mLω2sin θ，得ω2＝，故两小球的角速度大小之比为＝＝，故B错误；小球所受合力提供向心力，则向心力为F＝mgtan θ，小球m1和m2的向心力大小之比为＝＝3，故C正确．两小球角速度大小之比为∶1，由v＝ωr得线速度大小之比为 ∶1，故D错误．
考向3 水平面内圆周运动的临界问题
3．(多选)(高考全国卷Ⅰ)如图，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝ 是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝ 时，a所受摩擦力的大小为kmg
解析：选AC.小木块发生相对滑动之前，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律得，f＝mω2r，显然b受到的摩擦力较大；当木块刚要相对于盘滑动时，静摩擦力f达到最大值fmax，由题设知fmax＝kmg，所以kmg＝mω2r，由此可以求得木块刚要滑动时的临界角速度ω0＝ ，由此得a发生相对滑动的临界角速度为 ，b发生相对滑动的临界角速度为 ；若ω＝ ，a受到的是静摩擦力，大小为f＝mω2l＝kmg.综上所述，本题正确答案为A、C.
竖直面内的圆周运动
【知识提炼】
1．物体在竖直平面内的圆周运动有匀速圆周运动和变速圆周运动两种．
2．只有重力做功的竖直平面内的圆周运动一定是变速圆周运动，遵守机械能守恒．
3．竖直平面内的变速圆周运动问题，往往涉及最高点和最低点的两种情形．运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接、小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”．
绳、杆模型常涉及临界问题，分析如下：
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
过最高点的临界条件
由mg＝m得v临＝
由小球能运动即可，得v临＝0
讨论分析
(1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN；
(2)不能过最高点时v＜
在最高点：
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心；
(2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心且随v的增大而减小；
(3)当v＝时，FN＝0；
(4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
【典题例析】
如图，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m＝1.0 kg的小球．现将小球拉到A点(保持绳绷直)由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点．地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长L＝1.0 m，B点离地高度H＝1.0 m，A、B两点的高度差 h＝0.5 m，重力加速度g取10 m/s2，不计空气影响，求：
(1)地面上DC两点间的距离x；
(2)轻绳所受的最大拉力大小．
[审题指导] (1)小球从A→B做圆周运动，其机械能守恒，轻绳断前瞬间绳拉力与重力的合力提供向心力．
(2)绳断瞬间，小球速度方向水平，做平抛运动．平抛初速度等于绳断瞬间的速度．
[解析] (1)小球从A到B过程机械能守恒，有
mgh＝mv①
小球从B到C做平抛运动，在竖直方向上有
H＝gt2②
在水平方向上有x＝vBt③
由①②③式解得x≈1.41 m.
(2)小球下摆到达B点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，有F－mg＝m④
由①④式解得F＝20 N
根据牛顿第三定律得F′＝－F
故轻绳所受的最大拉力大小为20 N.
[答案] (1)1.41 m (2)20 N
解决圆周运动问题的基本思路
(1)寻找向心力的来源：对物体进行受力分析，列出向心力表达式．
(2)临界条件的判断：找出特殊位置的临界速度，分析可能存在的状态．
(3)动能定理的应用：把特殊点推广到一般，研究整个运动过程的特点．
【跟进题组】
考向1 汽车过拱桥模型
1．(2015·高考福建卷)如图，在竖直平面内，滑道ABC关于B点对称，且A、B、C三点在同一水平线上．若小滑块第一次由A滑到C，所用的时间为t1，第二次由C滑到A，所用的时间为t2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则( )
A．t1t2 D．无法比较t1、t2的大小
解析：选A.在滑道AB段上取任意一点E，比较从A点到E点的速度v1和从C点到E点的速度v2，易知v1>v2.因E点处于“凸”形轨道上，速度越大，轨道对小滑块的支持力越小，因动摩擦因数恒定，则摩擦力越小，可知由A滑到C比由C滑到A在AB段上的摩擦力小，因摩擦造成的动能损失也小．同理，在滑道BC段的“凹”形轨道上，小滑块速度越小，其所受支持力越小，摩擦力也越小，因摩擦造成的动能损失也越小，从C处开始滑动时，小滑块损失的动能更大．故综上所述，从A滑到C比从C滑到A在轨道上因摩擦造成的动能损失要小，整个过程中从A滑到C平均速度要更大一些，故t1
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