【数学】2020届一轮复习(文)人教通用版1-2命题及其关系、充分条件与必要条件学案

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

【数学】2020届一轮复习(文)人教通用版1-2命题及其关系、充分条件与必要条件学案

‎§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解命题的概念.‎ ‎2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.‎ ‎3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.‎ 命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式,多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇,考查学生的推理能力,题型为选择、填空题,低档难度.‎ ‎1.命题 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.‎ ‎2.四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性;‎ ‎②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.‎ ‎3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 概念方法微思考 若条件p,q以集合的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则由A⊆B可得,p是q的充分条件,请写出集合A,B的其他关系对应的条件p,q的关系.‎ 提示 若AB,则p是q的充分不必要条件;‎ 若A⊇B,则p是q的必要条件;‎ 若AB,则p是q的必要不充分条件;‎ 若A=B,则p是q的充要条件;‎ 若A⊈B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)“对顶角相等”是命题.( √ )‎ ‎(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.( × )‎ ‎(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( √ )‎ ‎(4)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( √ )‎ 题组二 教材改编 ‎2.下列命题是真命题的是(  )‎ A.矩形的对角线相等 B.若a>b,c>d,则ac>bd C.若整数a是素数,则a是奇数 D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题 答案 A ‎3.命题“同位角相等,两直线平行”的逆否命题是_________________________.‎ 答案 两直线不平行,同位角不相等 ‎4.“x-3=0”是“(x-3)(x-4)=0”的______条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)‎ 答案 充分不必要 题组三 易错自纠 ‎5.设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的(  )‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 x>y⇏x>|y|(如x=1,y=-2),‎ 但当x>|y|时,能有x>y.‎ ‎∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.‎ ‎6.已知p:x>a是q:2a},∴a≤2.‎ 题型一 命题及其关系 ‎1.已知下列三个命题:‎ ‎①若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的;‎ ‎②若两组数据的平均数相等,则它们的方差也相等;‎ ‎③直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切.‎ 其中真命题的序号是________.‎ 答案 ①③‎ ‎2.某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是(  )‎ A.不拥有的人们会幸福 B.幸福的人们不都拥有 C.拥有的人们不幸福 D.不拥有的人们不幸福 答案 D ‎3.有下列四个命题:‎ ‎①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;‎ ‎②“面积相等的三角形全等”的否命题;‎ ‎③“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;‎ ‎④“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.‎ 其中真命题为________.(填写所有真命题的序号)‎ 答案 ①②③‎ 解析 ①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy=1”,显然是真命题,故①正确;②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”,显然是真命题,故②正确;③若x2-2x+m=0有实数解,则Δ=4-4m≥0,解得m≤1,所以“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”是真命题,故其逆否命题是真命题,故③正确;④若A∩B=B,则B⊆A,故原命题错误,所以其逆否命题错误,故④错误.‎ ‎4.设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是_________.‎ 答案 若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0‎ 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意:‎ ‎①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;‎ ‎②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.‎ ‎(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例即可.‎ ‎(3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.‎ 题型二 充分、必要条件的判定 例1 (1)已知α,β均为第一象限角,那么“α>β”是“sin α>sin β”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 D 解析 取α=,β=,α>β成立,而sin α=sin β,sin α>sin β不成立.‎ ‎∴充分性不成立;‎ 取α=,β=,sin α>sin β,但α<β,必要性不成立.‎ 故“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件.‎ ‎(2)已知条件p:x>1或x<-3,条件q:5x-6>x2,则綈p是綈q的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由5x-6>x2,得22m2-3”是“-1a+1或x-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案 B 解析 原命题正确,从而其逆否命题也正确;其逆命题为“若a>-6,则a>-3”是假命题,从而其否命题也是假命题.因此4个命题中有2个假命题.‎ ‎2.已知命题p:“正数a的平方不等于0”,命题q:“若a不是正数,则它的平方等于0”,则q是p的(  )‎ A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.否定 答案 B 解析 命题p:“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数,则它的平方不等于0”,从而q是p的否命题.‎ ‎3.(2018·天津)设x∈R,则“<”是“x3<1”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由<,得00,则x>0且y>0”的否命题;‎ ‎②“矩形的对角线相等”的否命题;‎ ‎③“若m>1,则mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集是R”的逆命题;‎ ‎④“若a+7是无理数,则a是无理数”的逆否命题.‎ 其中正确的是(  )‎ A.①②③ B.②③④‎ C.①③④ D.①④‎ 答案 C 解析 ①的逆命题“若x>0且y>0,则x+y>0”为真,故否命题为真;‎ ‎②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”,为假命题;‎ ‎③的逆命题为“若mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R,则m>1”.‎ 因为当m=0时,解集不是R,‎ 所以应有即m>1.所以③是真命题;‎ ‎④原命题为真,逆否命题也为真.‎ ‎6.(2018·包头模拟)“log2(2x-3)<1”是“4x>8”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由log2(2x-3)<1⇒0<2x-3<2⇒8⇒2x>3⇒x>,所以“log2(2x-3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件,故选A.‎ ‎7.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 方法一 ∵数列{an}是公差为d的等差数列,‎ ‎∴S4=4a1+6d,S5=5a1+10d,S6=6a1+15d,‎ ‎∴S4+S6=10a1+21d,2S5=10a1+20d.‎ 若d>0,则21d>20d,10a1+21d>10a1+20d,‎ 即S4+S6>2S5.‎ 若S4+S6>2S5,则10a1+21d>10a1+20d,‎ 即21d>20d,‎ ‎∴d>0.∴“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件.‎ 故选C.‎ 方法二 ∵S4+S6>2S5⇔S4+S4+a5+a6>2(S4+a5)⇔a6>a5⇔a5+d>a5⇔d>0.‎ ‎∴“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件.‎ 故选C.‎ ‎8.“直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是(  )‎ A.-1≤k<3 B.-1≤k≤3‎ C.03‎ 答案 C 解析 直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点等价于<,解得k∈‎ ‎(-1,3).四个选项中只有(0,3)是(-1,3)的真子集,故充分不必要条件可以是“0b,则a2>b2”的否命题;②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;③“若x2<4,则-21且y>1,q:实数x,y满足x+y>2,则p是q的________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)‎ 答案 充分不必要 解析 当x>1,y>1时,x+y>2一定成立,即p⇒q,‎ 当x+y>2时,可令x=-1,y=4,即q⇏p,‎ 故p是q的充分不必要条件.‎ ‎11.在△ABC中,角A,B均为锐角,则“cos A>sin B”是“△ABC为钝角三角形”的____________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)‎ 答案 充要 解析 因为cos A>sin B,所以cos A>cos,‎ 因为角A,B均为锐角,所以-B为锐角,‎ 又因为余弦函数y=cos x在(0,π)上单调递减,‎ 所以A<-B,所以A+B<,‎ 在△ABC中,A+B+C=π,所以C>,‎ 所以△ABC为钝角三角形;‎ 若△ABC为钝角三角形,角A,B均为锐角,‎ 则C>,所以A+B<,‎ 所以A<-B,所以cos A>cos,‎ 即cos A>sin B.‎ 故“cos A>sin B”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件.‎ ‎12.已知集合A=,B={x|-13,即m>2.‎ ‎13.已知α,β∈(0,π),则“sin α+sin β<”是“sin(α+β)<”的______________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)‎ 答案 充分不必要 解析 因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β0),q:方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,若p是q的充分条件,则a的取值范围是________________.‎ 答案  解析 由2-m>m-1>0,解得1
查看更多

相关文章