【数学】2020届一轮复习人教B版利用数轴解决集合运算问题学案

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【数学】2020届一轮复习人教B版利用数轴解决集合运算问题学案

微专题03 利用数轴解决集合运算问题 ‎ 数形结合是解决高中数学问题的常用手段,其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果,与代数的精确性结合,能够快速解决一些较麻烦的问题。在集合的运算中,涉及到单变量的取值范围,数轴就是一个非常好用的工具,本文将以一些题目为例,来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交并运算。‎ 一、基础知识:‎ ‎1、集合运算在数轴中的体现:‎ ‎ 在数轴上表示为表示区域的公共部分 ‎ 在数轴上表示为表示区域的总和 ‎ 在数轴上表示为中除去剩下的部分(要注意边界值能否取到)‎ ‎2、问题处理时的方法与技巧:‎ ‎(1)涉及到单变量的范围问题,均可考虑利用数轴来进行数形结合,尤其是对于含有参数的问题时,由于数轴左边小于右边,所以能够以此建立含参数的不等关系 ‎(2)在同一数轴上作多个集合表示的区间时,可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域。‎ ‎(3)涉及到多个集合交并运算时,数轴也是得力的工具,从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域。交集即为公共部分,而并集为覆盖的所有区域 ‎(4)在解决含参数问题时,作图可先从常系数的集合(或表达式)入手,然后根据条件放置参数即可 ‎3、作图时要注意的问题:‎ ‎(1)在数轴上作图时,若边界点不能取到,则用空心点表示;若边界点能够取到,则用实心点进行表示,这些细节要在数轴上体现出来以便于观察 ‎(2)处理含参数的问题时,要检验参数与边界点重合时是否符合题意。‎ 二、例题精析:‎ 例1:(2009 安徽)集合,则=_______‎ 思路:先解出的解集,,作出数轴,则即为它们的公共部分。‎ 答案: ‎ 例2:设集合,则的取值范围是____‎ 思路:可解出 ,而集合含有参数,作出数轴,先从容易作图的集合做起,即画出的范围,‎ 由于,而数轴上有一部分区域没有被包含,那说明集合负责补空缺的部分,由于参数决定其端点位置,所以画出图像,有图像观察可得只需要: 即可,解得: ‎ 答案: ‎ 小炼有话说:(1)含有参数的问题时,可考虑参数所起到的作用,在本题中参数决定区间的端点 ‎(2)含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图像,再按要求放置含参的集合 ‎(3)注意考虑端点处是否可以重合,通常采取验证的方法,本题若或,则端点处既不在里,也不在里,不符题意。‎ 例3:对于任意的,满足恒成立的所有实数构成集合,使不等式的解集是空集的所有实数构成集合,则______‎ 思路:先利用已知条件求出,再利用数轴画出的范围即可 解:由 ① 恒成立,可得:‎ 当即时,①变为:恒成立 当时,若要①恒成立,则 ‎ ‎ 解集为空等价于:‎ 设 ‎ 即 小炼有话说:本题更多考察的地方在于集合的求解。集合要注意的情况,而不能默认为二次不等式,集合涉及解集与不等式恒成立问题之间的转化。在集合进行交并运算时,数轴将成为一个非常直观的工具,作图时要注意端点值的开闭。‎ 例4:已知集合,若,则实数的取值范围为 ‎ 思路:先解出的解集,意味着有公共部分,利用数轴可标注集合两端点的位置,进而求出的范围 解:‎ 当时, ‎ 当时,恒成立 当时, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 且 例5:已知,当“”是“”的充分不必要条件,则的取值范围是__________‎ 思路:为两个不等式的解集,因为“”是“”的充分不必要条件,所以是的真子集。考虑解出两个不等式的解集,然后利用数轴求出的范围即可 解:‎ ‎ ‎ 由是的真子集可得: ‎ 答案:‎ 小炼有话说:1、熟悉充分必要条件与集合的联系:是的充分不必要条件对应集合是对应集合的真子集 ‎2、处理含参问题时,秉承“先常数再参数”的顺序分析,往往可利用所得条件对参数范围加以限制,减少分类讨论的情况。例如在本题中,若先处理,则解不等式面临着分类讨论的问题。但先处理之后,结合数轴会发现只有图中一种情况符合,减掉了无谓的讨论。‎ 例6:已知函数,对,使得成立,则实数的取值范围是__________‎ 思路:任取,则取到值域中的每一个元素,依题意,存在使得,意味着值域中的每一个元素都在的值域中,即的值域为的值域的子集,分别求出两个函数值域,再利用子集关系求出的范围 解:时, 时,‎ ‎ ‎ 对于,分三种情况讨论 当时, ‎ 当时,,符合题意 当时, ‎ 综上所述:‎ 答案:‎ 例7:已知集合,若,则________‎ 思路:本题主要考察如何根据所给条件,在数轴上标好集合的范围。从而确定出的值,如图所示:可得,所以 答案: ‎ 例8:设,‎ ‎,求 思路:集合的不等式解集为 ,集合为一元二次不等式的解集,由题意可知,设的两根为 ,则 ,在数轴上作图并分析后两个条件:说明将集合覆盖数轴的漏洞堵上了,说明与的公共部分仅有,左侧没有公共部分,从而的位置只能如此(如图),可得:,由韦达定理可得: ‎ 例9:在上定义运算,若关于的不等式的解集是的子集,则实数a的取值范围是( )‎ A. B. C.或 D.‎ 思路:首先将变为传统不等式:,不等式含有参数,考虑根据条件对进行分类讨论。设解集为,因为,所以首先解集要分空集与非空两种情况:当时,则;当时,根据的取值分类讨论计算出解集后再根据数轴求出的范围即可 解:‎ 设解集为 ‎ 当时,则 当时:‎ 若时,‎ ‎ ‎ 若时,‎ ‎ ‎ 综上所述:‎ 答案:D ‎ 例10:已知,若关于的不等式的解集中的整数恰有3个,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. 解:所解不等式为,可以考虑两边平方后去掉绝对值,因式分解可得:,由题意中含3个整数解可得:解集应该为封闭区间,所以的系数均大于零,即,另一方面,解集区间内有3个整数,从端点作为突破口分析,两个端点为,因为,所以,进而结合数轴分析可得三个整数解为,所以另一个端点的取值范围为①,而②,所以只要①②有交集,则可找到符合条件的,结合数轴可得:,求出 答案:‎ 三、近年模拟题题目精选:‎ ‎1、(2018四川高三第一次联考)已知集合,若,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、(2014吉林九校二模,1)已知 ,则 ‎ ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3、(重庆八中半月考,1)设全集为,集合,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4、已知函数的定义域为,的定义域为,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5、(浙江) 已知集合,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6、(山东)设集合,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7、设集合,若,则实数的取值范围是_________‎ ‎8、已知全集,集合,那么集合( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9、若关于的不等式的解集中整数恰好有3个,则实数的取值范围是_______.‎ 习题答案:‎ ‎1、答案:B 解析:若,则符合题意,若,则符合题意,当时,解得:,由可知:,综上可得:‎ ‎2、答案:D 解析:,在数轴上标出的区域即可得出 ‎3、答案:C 解析:分别解出中的不等式,,所以 ‎4、答案:A 解析:的定义域:,的定义域:,所以,‎ ‎5、答案:C 解析:解出中不等式:或,所以,则 ‎6、答案:D 解析:集合为解不等式:,集合为函数的值域,由可知,所以 ‎7、答案:‎ 解析:集合为,由可知;当时,可得,当时,结合数轴可得:即,综上可得:的取值范围是 ‎8、答案:C 解析:或 ‎ ‎ ‎ ‎9、答案:‎ 解析:因为不等式等价于,其中中的,且有,故,不等式的解集为,则一定有1,2,3为所求的整数解集。所以,解得的范围为
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