【数学】2020届一轮复习(文)人教通用版12-2-2不等式的证明学案

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【数学】2020届一轮复习(文)人教通用版12-2-2不等式的证明学案

第2课时 不等式的证明 最新考纲 考情考向分析 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法.‎ 主要考查用比较法、综合法、分析法证明不等式,题型为解答题,中档难度.‎ ‎1.比较法 ‎(1)作差比较法 知道a>b⇔a-b>0,ab,只要证明a-b>0即可,这种方法称为作差比较法.‎ ‎(2)作商比较法 由a>b>0⇔>1且a>0,b>0,因此当a>0,b>0时,要证明a>b,只要证明>1即可,这种方法称为作商比较法.‎ ‎2.综合法 从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,最终推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫做综合法,即“由因导果”的方法.‎ ‎3.分析法 从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等),从而得出要证的不等式成立,这种证明方法叫做分析法,即“执果索因”的方法.‎ ‎4.反证法 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立.‎ ‎5.放缩法 证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的.‎ 概念方法微思考 ‎1.综合法与分析法有何内在联系?‎ 提示 综合法往往是分析法的相反过程,其表述简单、条理清楚,当问题比较复杂时,通常把分析法和综合法结合起来使用,以分析法寻找证明的思路,而用综合法叙述、表达整个证明过程.‎ ‎2.分析法的过程中为什么要使用“要证”,“只需证”这样的连接“关键词”?‎ 提示 因为“要证”“只需证”这些词说明了分析法需要寻求的是充分条件,符合分析法的思维是逆向思维的特点,因此在证题时,这些词是必不可少的.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)当a≥0,b≥0时,≥.( √ )‎ ‎(2)用反证法证明命题“a,b,c全为0”的假设为“a,b,c全不为0”.( × )‎ ‎(3)若实数x,y适合不等式xy>1,x+y>-2,则x>0,y>0.( √ )‎ ‎(4)若m=a+2b,n=a+b2+1,则n≥m.( √ )‎ 题组二 教材改编 ‎2.已知a,b∈R+,a+b=2,则+的最小值为(  )‎ A.1 B.2‎ C.4 D.8‎ 答案 B 解析 因为a,b∈R+,且a+b=2,‎ 所以(a+b)=2++≥2+2=4,‎ 所以+≥=2,即+的最小值为2(当且仅当a=b=1时,“=”成立).故选B.‎ ‎3.若a,b,m∈R+,且a>b,则下列不等式一定成立的是(  )‎ A.≥ B.> C.≤ D.< 答案 B 解析 因为a,b,m∈R+,且a>b.‎ 所以-=>0,即>,故选B.‎ 题组三 易错自纠 ‎4.已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,用反证法求证a>0,b>0,c>0时的反设为(  )‎ A.a<0,b<0,c<0 B.a≤0,b>0,c>0‎ C.a,b,c不全是正数 D.abc<0‎ 答案 C ‎5.若a>b>1,x=a+,y=b+,则x与y的大小关系是(  )‎ A.x>y B.xb>1,得ab>1,a-b>0,‎ 所以>0,即x-y>0,所以x>y.故选A.‎ ‎6.若a=-,b=-,c=-,则a,b,c的大小关系为(  )‎ A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>a>b 答案 A 解析 “分子”有理化得a=,b=,‎ c=,∴a>b>c.‎ 题型一 用综合法与分析法证明不等式 例1 (1)已知x,y均为正数,且x>y,求证:2x+≥2y+3;‎ ‎(2)设a,b,c>0且ab+bc+ca=1,求证:a+b+c≥.‎ 证明 (1)因为x>0,y>0,x-y>0,‎ ‎2x+-2y=2(x-y)+ ‎=(x-y)+(x-y)+ ‎≥3=3(当且仅当x-y=1时,等号成立),‎ 所以2x+≥2y+3.‎ ‎(2)因为a,b,c>0,‎ 所以要证a+b+c≥,‎ 只需证明(a+b+c)2≥3.‎ 即证a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3,‎ 而ab+bc+ca=1,‎ 故需证明a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca),‎ 即证a2+b2+c2≥ab+bc+ca.‎ 而ab+bc+ca≤++ ‎=a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时等号成立)成立,‎ 所以原不等式成立.‎ 思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”,用分析法证明不等式是“执果索因”,它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程,表述简单、条理清楚,所以在实际应用时,往往用分析法找思路,用综合法写步骤,由此可见,分析法与综合法相互转化,互相渗透,互为前提,充分利用这一辩证关系,可以增加解题思路,开阔视野.‎ 跟踪训练1 (2017·全国Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;‎ ‎(2)a+b≤2.‎ 证明 (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6‎ ‎=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)‎ ‎=4+ab(a4+b4-2a2b2)‎ ‎=4+ab(a2-b2)2≥4.‎ ‎(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3‎ ‎=2+3ab(a+b)‎ ‎≤2+(a+b)‎ ‎=2+(当且仅当a=b时,取等号),‎ 所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.‎ 题型二 放缩法证明不等式 例2 (1)设a>0,<,|y-2|<,求证:|2x+y-4|0,|x-1|<,可得|2x-2|<,‎ 又|y-2|<,‎ ‎∴|2x+y-4|=|(2x-2)+(y-2)|≤|2x-2|+|y-2|<+=a.‎ 即|2x+y-4|n(k=1,2,…,n),得 ≤<.‎ 当k=1时,≤<;‎ 当k=2时,≤<;‎ ‎…‎ 当k=n时,≤<,‎ ‎∴=≤++…+<=1.‎ ‎∴原不等式成立.‎ 思维升华 (1)在不等式的证明中,“放”和“缩”是常用的证明技巧,常见的放缩方法有:‎ ‎①变换分式的分子和分母,如<,>,<,>,上面不等式中k∈N+,k>1;②利用函数的单调性;③利用结论,如“若00,则<.”‎ ‎(2)使用绝对值不等式的性质证明不等式时,常与放缩法结合在一起应用,利用放缩法时要目标明确,通过添、拆项后,适当放缩.‎ 跟踪训练2 设f(x)=x2-x+1,实数a满足|x-a|<1,求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).‎ 证明 |f(x)-f(a)|=|x2-x-a2+a|=|x-a|·|x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),即|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).‎ ‎1.已知函数f(x)=|x-a|.‎ ‎(1)当a=2时,解不等式f(x)≥7-|x-1|;‎ ‎(2)若f(x)≤1的解集为[0,2],+=a(m>0,n>0),求证:m+4n≥2+3.‎ ‎(1)解 当a=2时,不等式为|x-2|+|x-1|≥7,‎ ‎∴或或 解得x≤-2或x≥5.‎ ‎∴不等式的解集为(-∞,-2]∪[5,+∞).‎ ‎(2)证明 由f(x)≤1,即|x-a|≤1,‎ 解得a-1≤x≤a+1,而f(x)≤1的解集是[0,2],‎ ‎∴解得a=1,‎ ‎∴+=1(m>0,n>0),‎ ‎∴m+4n=(m+4n)=3++≥2+3.‎ 当且仅当m=+1,n=时等号成立.‎ ‎2.已知函数f(x)=|x-3|.‎ ‎(1)求不等式f(x)2a2+2b2.‎ ‎(1)解 当x≥3时,|x-3|1,‎ 所以11}.‎ ‎(2)证明 因为(a2+1)(b2+1)-(2a2+2b2)‎ ‎=(ab)2+a2+b2+1-2a2-2b2‎ ‎=(ab)2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1),‎ 又因为a,b∈M,所以a>1,b>1,‎ 因此a2>1,b2>1,a2-1>0,b2-1>0,‎ 所以(a2-1)(b2-1)>0,‎ 所以原不等式(a2+1)(b2+1)>2a2+2b2成立.‎ ‎3.已知函数f(x)=|x-5|,g(x)=5-|2x-3|.‎ ‎(1)解不等式f(x)0,b>0,且a2+b2=2.‎ ‎(1)若+≥|2x-1|-|x-1|恒成立,求x的取值范围;‎ ‎(2)证明:(a5+b5)≥4.‎ ‎(1)解 设y=|2x-1|-|x-1|= 由a2+b2=2,得(a2+b2)=1,‎ 故+=(a2+b2)‎ ‎=≥=,‎ 当且仅当a2=,b2=时取等号,‎ 所以≥|2x-1|-|x-1|.‎ 当x≥1时,x≤,得1≤x≤;‎ 当5,‎ ‎∴参数m的取值范围为(5,+∞).‎ ‎(2)证明 ∵a2+b2≥2ab(a>0,b>0),‎ ‎∴≤,即a×≤.‎ 由于01,且f(ab)>|a|·f,证明:|b|>3.‎ ‎(1)解 |x-3|+|x-2|≥5,‎ 当x>3时,(x-3)+(x-2)≥5,x≥5;‎ 当2≤x≤3时,(3-x)+(x-2)≥5,1≥5,无解;‎ 当x<2时,(3-x)+(2-x)≥5,x≤0,‎ 综上,不等式的解集为{x|x≥5或x≤0}.‎ ‎(2)证明 f(ab)>|a|·f等价于|ab-3|>|a|·,即|ab-3|>|b-3a|,则(ab-3)2>(b-3a)2,化简得a2b2+9-b2-9a2>0,即(a2-1)(b2-9)>0.‎ 因为|a|>1,所以a2-1>0,所以b2-9>0,|b|>3.‎
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