高考卷 普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（文科）

高考卷 普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（文科）

2008 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学 （文科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第 1 至第 2 页， 第Ⅱ卷第 3 至第 4 页．全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 考生注意事项： 1． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所 粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致． 2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3． 答第Ⅱ卷时，必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效． 4． 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 24πS R ( ) ( ) ( )P A B P A P B   其中 R 表示球的半径 如果事件 A B， 相互独立，那么 球的体积公式 34 π3V R ( ) ( ) ( )P A B P A P B  其中 R 表示球的半径 第 I 卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． （1）．若 A 位全体实数的集合，  2, 1,1,2B    则下列结论正确的是（ ） A．  2, 1A B    B． ( ) ( ,0)RC A B   C． (0, )A B   D． ( ) 2, 1RC A B    （2）．若 (2,4)AB  ， (1,3)AC  , 则 BC  （ ） A． （1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（-3,-7） （3）．已知 ,m n 是两条不同直线， , ,   是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A． , ,      若 则 ‖ B． , ,m n m n  若 则 ‖ C． , ,m n m n 若 则‖ ‖ ‖ D． , ,m m   若 则‖ ‖ ‖ （4）． 0a  是方程 2 2 1 0ax x   至少有一个负数根的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （5）．在三角形 ABC 中， 5, 3, 7AB AC BC   ,则 BAC 的大小为（ ） A． 2 3  B． 5 6  C． 3 4  D． 3  （6）．函数 2( ) ( 1) 1( 0)f x x x    的反函数为 A． 1( ) 1 1( 1)f x x x     B． 1( ) 1 1( 1)f x x x     C． 1( ) 1 1( 2)f x x x     D． 1( ) 1 1( 2)f x x x     （7）．设 8 8 0 1 8(1 ) ,x a a x a x     则 0, 1 8, ,a a a 中奇数的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 （8）．函数 sin(2 )3y x   图像的对称轴方程可能是（ ） A． 6x   B． 12x   C． 6x  D． 12x  （9）．设函数 1( ) 2 1( 0),f x x xx     则 ( )f x （ ） A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数 （10）若过点 (4,0)A 的直线 l 与曲线 2 2( 2) 1x y   有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围为 （ ） A．[ 3, 3] B． ( 3, 3) C． 3 3[ , ]3 3  D． 3 3( , )3 3  （11）若 A 为不等式组 0 0 2 x y y x       表示的平面区域，则当 a 从－2 连续变化到 1 时，动直线 x y a  扫过 A 中的那部分区域的面积为 ( ) A． 3 4 B．1 C． 7 4 D．5 （12）12 名同学合影，站成前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，若其 他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ( ) A． 2 6 8 6C A B． 2 2 8 3C A C． 2 2 8 6C A D． 2 2 8 5C A 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数 学（文科） 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 考生注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在答题卡的相应位置． （13）．函数 2 2 1 ( ) log ( 1) x f x x     的定义域为 ． （14）．已知双曲线 2 2 112 x y n n   的离心率是 3 。则 n ＝ （15） 在数列{ }na 在中， 54 2na n  ， 2 1 2 na a a an bn    ， *n N ,其中 ,a b 为常数， 则 ab  （16）已知点 , , ,A B C D 在同一个球面上, ,AB BCD 平面 ,BC CD 若 6,AB  2 13,AC  8AD  ,则 ,B C 两点间的球面距离是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）．（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) cos(2 ) 2sin( )sin( )3 4 4f x x x x       （Ⅰ）求函数 ( )f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数 ( )f x 在区间[ , ]12 2   上的值域 （18）．（本小题满分 12 分） 在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了 10 张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼 音，其中恰有 3 张卡片上的拼音带有后鼻音“g”. （Ⅰ）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这 10 张卡片总随机抽取 1 张，测 试后放回，余下 2 位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上， 拼音都带有后鼻音“g”的概率。 （Ⅱ）若某位被测试者从 10 张卡片中一次随机抽取 3 张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音 “g”的卡片不少于 2 张的概率。 M A B D C O（19）．（本小题满分 12 分 如图，在四棱锥O ABCD 中，底面 ABCD 四边长为 1 的 菱形， 4ABC   , OA ABCD 底面 , 2OA  , M 为OA 的中点。 （Ⅰ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ； （Ⅱ）求点 B 到平面 OCD 的距离。 （20）．（本小题满分 12 分） 设函数 3 23( ) ( 1) 1,3 2 af x x x a x a     其中 为实数。 （Ⅰ）已知函数 ( )f x 在 1x  处取得极值，求 a 的值； （Ⅱ）已知不等式 ' 2( ) 1f x x x a    对任意 (0, )a  都成立，求实数 x 的取值范围。 （21）．（本小题满分 12 分） 设数列 na 满足 * 0 1, 1 , ,n na a a ca c c N     其中 ,a c 为实数，且 0c  （Ⅰ）求数列 na 的通项公式 （Ⅱ）设 1 1,2 2a c  ， *(1 ),n nb n a n N   ,求数列 nb 的前 n 项和 nS ； （Ⅲ）若 0 1na  对任意 *n N 成立，证明 0 1c  （22）．（本小题满分 14 分） 设椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     其相应于焦点 (2,0)F 的准线方程为 4x  . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）已知过点 1( 2,0)F  倾斜角为 的直线交椭圆 C 于 ,A B 两点，求证： 2 4 2 2AB COS   ; （Ⅲ）过点 1( 2,0)F  作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于 ,A B 和 ,D E ,求 AB DE 的最 小值 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数 学（文科）参考答案 一. 选择题 1D 2B 3B 4B 5A 6C 7A 8D 9A 10D 11C 12C 二. 13: [3, ) 14: 4 15: －1 16: 4 3  三. 解答题 17 解： （1） ( ) cos(2 ) 2sin( )sin( )3 4 4f x x x x       1 3cos2 sin 2 (sin cos )(sin cos )2 2x x x x x x     2 21 3cos2 sin 2 sin cos2 2x x x x    1 3cos2 sin 2 cos22 2x x x   sin(2 )6x   2T 2   周期∴ （2） 5[ , ], 2 [ , ]12 2 6 3 6x x          因为 ( ) sin(2 )6f x x   在区间[ , ]12 3   上单调递增，在区间[ , ]3 2   上单调递减， 所以 当 3x  时， ( )f x 取最大值 1 又 3 1( ) ( )12 2 2 2f f      ，∴当 12x   时， ( )f x 取最小值 3 2  所以 函数 ( )f x 在区间[ , ]12 2   上的值域为 3[ ,1]2  18 解： （1）每次测试中，被测试者从 10 张卡片中随机抽取 1 张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的概 率为 3 10 ，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，因而所求的概 Q M A B D C O P 率为 3 3 3 27 10 10 10 1000    （2）设 ( 1,2,3)iA i  表示所抽取的三张卡片中，恰有 i 张卡片带有后鼻音“g”的事件，且其 相应的概率为 ( ),iP A 则 1 2 7 3 2 3 10 7( ) 40 C CP A C   , 3 3 3 3 10 1( ) 120 CP A C   因而所求概率为 2 3 2 3 7 1 11( ) ( ) ( ) 40 120 60P A A P A P A      1９ 方法一（综合法） （1） CD ‖AB, MDC∴ 为异面直线 AB 与 MD 所成的角（或其补角） 作 ,AP CD P 于 连接 MP  平面A BC D ，∵OA ∴CD MP 2,4 2ADP  ∵ ∴DP = 2 2 2MD MA AD  ∵ ， 1cos ,2 3 DPMDP MDC MDPMD       ∴ 所以 AB 与 MD 所成角的大小为 3  （２） AB 平面∵ ∴‖ OCD, 点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等， 连接 OP,过点 A 作 AQ OP 于点 Q， , , ,AP CD OA CD CD OAP   平面∵ ∴ ,AQ OAP AQ CD 平面∵ ∴ 又 ,AQ OP AQ OCD  平面∵ ∴ ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离 2 2 2 2 2 1 3 24 1 2 2OP OD DP OA AD DP        ∵ ， 2 2AP DP  22 22 33 2 2 OA APAQ OP    ∴ ，所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 3 方法二(向量法) 作 AP CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 , ,x y z 轴建立坐标系 2 2 2(0,0,0), (1,0,0), (0, ,0), ( , ,0), (0,0,2), (0, 0,1)2 2 2A B P D O M , (1)设 AB 与 MD 所成的角为 , 2 2(1,0,0), ( , , 1)2 2AB MD    ∵ 1cos ,2 3 AB MD AB MD          ∴ ∴ , ∴ AB 与 MD 所成角的大小为 3  (2) 2 2 2(0, , 2), ( , , 2)2 2 2OP OD     ∵ ∴设平面 OCD 的法向量为 ( , , )n x y z ,则 0, 0n OP n OD     即 2 2 02 2 2 2 02 2 y z x y z        取 2z  ,解得 (0,4, 2)n  设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ,则 d 为OB  在向量 (0,4, 2)n  上的投影的绝对值, (1,0, 2)OB  ∵ , 2 3 OB n d n     ∴ . 所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 3 20 解: (1) ' 2( ) 3 ( 1)f x ax x a    ，由于函数 ( )f x 在 1x  时取得极值，所以 ' (1) 0f  即 3 1 0, 1a a a    ∴ (2) 方法一 由题设知： 2 23 ( 1) 1ax x a x x a       对任意 (0, )a  都成立 即 2 2( 2) 2 0a x x x    对任意 (0, )a  都成立 设 2 2( ) ( 2) 2 ( )g a a x x x a R     , 则对任意 x R ， ( )g a 为单调递增函数 ( )a R 所以对任意 (0, )a  ， ( ) 0g a  恒成立的充分必要条件是 (0) 0g  即 2 2 0x x   ， 2 0x  ∴ 于是 x 的取值范围是  | 2 0x x   方法二 由题设知： 2 23 ( 1) 1ax x a x x a       对任意 (0, )a  都成立 即 2 2( 2) 2 0a x x x    对任意 (0, )a  都成立 于是 2 2 2 2 x xa x   对任意 (0, )a  都成立，即 2 2 2 02 x x x   2 0x  ∴ 于是 x 的取值范围是  | 2 0x x   21 解 (1) 方法一： 1 1 ( 1)n na c a   ∵ ∴当 1a  时， 1na  是首项为 1a  ，公比为 c 的等比数列。 11 ( 1) n na a c   ∴ ，即 1( 1) 1n na a c    。当 1a  时， 1na  仍满足上式。 ∴数列  na 的通项公式为 1( 1) 1n na a c    *( )n N 。 方法二 由题设得：当 2n  时， 2 1 1 1 2 11 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)n n n n na c a c a c a a c             1( 1) 1n na a c   ∴ 1n  时， 1a a 也满足上式。 ∴数列  na 的通项公式为 1( 1) 1n na a c    *( )n N 。 (2) 由（1）得 1 1(1 ) ( )2 n n nb n a c n   2 1 2 1 1 12( ) ( )2 2 2 n n nS b b b n         2 3 11 1 1 1( ) 2( ) ( )2 2 2 2 n nS n     2 11 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 n n nS n     ∴ 2 11 1 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) 2[1 ( ) ] ( )2 2 2 2 2 2 n n n n nS n n        ∴ 12 (2 )( )2 n nS n  ∴ (3) 由（1）知 1( 1) 1n na a c    若 10 ( 1) 1 1na c     ，则 10 (1 ) 1na c    10 1,a a  ∵ 1 *10 ( )1 nc n Na    ∴ 由 1 0nc   对任意 *n N 成立，知 0c  。下面证 1c  ，用反证法 方法一：假设 1c  ，由函数 ( ) xf x c 的函数图象知，当 n 趋于无穷大时， 1nc  趋于无穷大 1 1 1 n a    ∴c 不能对 *n N 恒成立，导致矛盾。 1c ∴ 。 0 1c ∴ 方法二：假设 1c  ， 1 1 1 nc a    ∵ ， 1 1log log 1 n c cc a    ∴ 即 *11 log ( )1cn n Na    恒成立 （＊） ,a c∵ 为常数，∴ （＊）式对 *n N 不能恒成立，导致矛盾， 1c ∴ 0 1c ∴ 22 解 ：（1）由题意得： 22 2 2 2 2 2 84 4 c aa c b a b c           ∴ ∴椭圆C 的方程为 2 2 18 4 x y  (2)方法一： 由（1）知 1( 2,0)F  是椭圆C 的左焦点，离心率 2 2e  设l 为椭圆的左准线。则 : 4l x   作 1 1 1 1,AA l A BB l B 于 于 ，l 与 x 轴交于点 H(如图) ∵点 A 在椭圆上 1 1 2 2AF AA∴ 1 1 2 ( cos )2 FH AF   1 22 cos2 AF   1 2 2 cos AF    ∴ 同理 1 2 2 cos BF    1 1 2 2 2 4 2 2 cos2 cos 2 cos AB AF BF          ∴ 。 方法二： 当 2   时，记 tank  ，则 : ( 2)AB y k x  将其代入方程 2 22 8x y  得 2 2 2 2(1 2 ) 8 8( 1) 0k x k x k     设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 1 2,x x 是此二次方程的两个根. 2 2 1 2 1 22 2 8 8( 1), .1 2 1 2 k kx x x xk k      ∴ 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) (1 )( ) (1 )[( ) 4 ]AB x x y y k x x k x x x x           2 2 2 2 2 2 2 2 8 32( 1) 4 2(1 )(1 )[( ) ]1 2 1 2 1 2 k k kk k k k         ................(1) 2 2tan ,k ∵ 代入（1）式得 2 4 2 2 cosAB   ........................(2) 当 2   时， 2 2AB  仍满足（2）式。 2 4 2 2 cosAB   ∴ （3）设直线 AB 的倾斜角为 ，由于 ,DE AB 由（2）可得 2 4 2 2 cosAB   ， 2 4 2 2 sinDE   2 2 2 2 2 4 2 4 2 12 2 12 2 12 cos 2 sin 2 sin cos 2 sin 24 AB DE              当 3 4 4    或 时， AB DE 取得最小值16 2 3