【数学】江西省上高二中2020-2021学年高二上学期第一次月考(文)

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【数学】江西省上高二中2020-2021学年高二上学期第一次月考(文)

江西省上高二中2020-2021学年高二上学期第一次月考(文)‎ 一、单选题(每小题5分,共60分)‎ ‎1.抛物线的准线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.圆与圆的公切线有( )‎ ‎ A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 ‎ ‎3.已知椭圆的焦点在轴上,且焦距为4,则等于()‎ A.4 B.5 C.7 D.8‎ ‎4.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,且与的一个交点坐标是,则椭圆的长轴长为( )‎ A.4 B.2 C. D.‎ ‎5.若圆上恰有两个点到直线的距离为1,则实数b的取值范围( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知椭圆的右顶点为,左焦点为,若以为直径的圆过短轴的一个顶点,则椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为,若将军从点处出发,河岸线所在直线方程为,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎8.若椭圆的弦被点(4,2)平分,则此弦所在的直线方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9.若直线x+y﹣m=0与曲线y=2﹣没有公共点,则实数m所的取值范围是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎10.已知椭圆的左,右焦点分别为,,过作垂直轴的直线交椭圆于两点,点在轴上方.若,的内切圆的面积为,则直线的方程是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎11、已知点F1、F2分别是椭圆E:的左、右焦点,P为E上一点,直线为的外角平分线,过点F2作的垂线,交F1P的延长线于M,则|F1M|=(  )‎ A.10 B.8 C.6 D.4‎ ‎12.已知椭圆 的左、右顶点分别为,点为椭圆上不同于两点的动点,若直线斜率的取值范围是,则直线斜率的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13.圆关于直线对称,则的取值范围是_______‎ ‎14.抛物线的焦点为F,点,M为抛物线上一点,且M不在直线AF上,则周长的最小值为____.‎ ‎15.已知△ABC的周长为20,且顶点B (0,﹣4),C (0,4),则顶点A的轨迹方程是_____________‎ ‎16.已知为椭圆上一定点,点为椭圆上异于的一动点,则的最大值为______.‎ 三、解答题 ‎17.(本小题满分10分)‎ ‎(Ⅰ)已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,抛物线上一点到其焦点的距离为6. 求抛物线的标准方程及的值;‎ ‎(2)若点关于平面的对称点为,点关于轴对称点为,点为线段的中点,求的值.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆C1: ,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.‎ ‎(1)求椭圆C2的方程;‎ ‎(2)已知为椭圆C2的两焦点,若点P在椭圆C2上,且,求的面积。‎ ‎19.(本小题满分12分)已知圆,直线,点在直线上,过点作圆的切线、,切点为、.‎ ‎(1)若,求点坐标;‎ ‎(2)若点的坐标为,过作直线与圆交于、两点,当时,求直线的方程;‎ ‎(3)求证:经过、、三点的圆与圆的公共弦必过定点,并求出定点的坐标.‎ ‎20.(本小题满分12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,点P(-,1)在该椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若点A,B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点,求实数k的取值范围.‎ ‎21.(本小题满分12分)设椭圆的方程为,斜率为的动直线交椭圆于、两点,以线段的中点为圆心,为直径作圆.‎ ‎(1)求圆心的轨迹方程,并描述轨迹的图形;‎ ‎(2)若圆经过原点,求直线的方程;‎ ‎(3)证明:圆内含或内切于圆.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的中点在原点,焦点在轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)已知点,在椭圆上,点、是椭圆上不同的两个动点,且满足,试问直线的斜率是否为定值,请说明理由.‎ 参考答案 ‎1-5CBDAD 6-10BBCDD 11-12AD ‎13. 14. 15.(x≠0) 16.‎ ‎17(1)‎ ‎(2)解:点关于平面的对称点为,,‎ 点关于轴对称点为,,‎ 点为线段的中点,‎ ‎, .‎ ‎(2) ‎ ‎19解:(Ⅰ)由条件可知,设,则解得或,所以或 ‎(Ⅱ)由条件可知圆心到直线的距离,设直线的方程为,‎ 则,解得或 所以直线的方程为或 ‎(III)设,过、、三点的圆即以为直径的圆,‎ 其方程为 整理得与相减得 即 由得 所以两圆的公共弦过定点 ‎ ‎20(1)由已知e=, 即c2=a2,b2=a2-c2=a2,‎ 将P(-,1)代入椭圆方程,得=1,‎ ‎∴ a=2,b=.∴a2=4,∴b2=2,‎ ‎∴ 椭圆C的方程为=1.‎ ‎(2)椭圆C上存在点B,A关于直线y=kx+1对称,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),y1≠y2,AB的中点(x0,y0),‎ 易知直线y=kx+1且k≠0,恒过点(0,1),则+(y1-1)2=+(y2-1)2,‎ 点A,B在椭圆上,∴=4-2=4-2,‎ ‎∴ 4-2+(y1-1)2=4-2+(y2-1)2. 化简得=-2(y1-y2),即y1+y2=-2,∴ y0==-1.‎ 又AB的中点在y=kx+1上,∴ y0=kx0+1,x0=-.‎ 由可得x=±,∴0<-,或-<-<0,‎ 即k<-或k>. 则k的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).‎ ‎21(1)设斜率为的动直线的方程为,‎ 联立椭圆方程,可得,‎ 设、,则,即,‎ 由韦达定理得,,‎ 则中点,可得圆心的轨迹方程为,即轨迹为线段;‎ ‎(2)由(1)可得,‎ 可得圆的方程为,‎ 若圆经过原点,可得,解得,‎ 因此,直线的方程为;‎ ‎(3)圆的圆心设为,半径为,‎ 圆的圆心,半径为,‎ 由,‎ 可令,则,‎ 可得,‎ 可得圆内含或内切于圆.‎ ‎22(1)∵椭圆的中点在原点,焦点在轴上,‎ ‎∴设椭圆的方程为,,‎ 椭圆的离心率等于,一个顶点恰好是抛物线的焦点,‎ ‎∴,,又∵,∴,解得,‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎(2)当时,,的斜率之和为0,‎ 设直线的斜为,则的斜率为,设,,‎ 设直线的方程为,‎ 由,消去并整理,得:,∴,‎ 设的直线方程为,‎ 同理,得,‎ ‎∴,,‎ ‎,‎ ‎∴的斜率为定值.‎
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