【数学】2019届一轮复习人教A版函数与导函数类型学案

【数学】2019届一轮复习人教A版函数与导函数类型学案

‎23个函数与导函数类型专题 ‎1、函数第1题已知函数，若，且，，求的取值范围.‎ ‎[解析]⑴ 将不等式化成模式 由得：，化简得： ①‎ ⑵ 构建含变量的新函数 构建函数： （，且）‎ 其导函数由求得：‎ 即： ②‎ ⑶ 确定的增减性 先求的极值点，由得：‎ 即： ③‎ 满足③式的， 即：的极值点 在时，由于有界，而无界 故： ‎ 即：在时，，单调递减；‎ 那么，在时，单调递增.‎ 满足③式得恰好是 ⑷ 在由增减性化成不等式 在区间，由于为单调递减函数，‎ 故：‎ 应用不等式：得：‎ 即：，即：的最大值是 代入①式得：，即：，即： ④‎ ⑸ 在由增减性化成不等式 在区间，由于为单调递增函数，‎ 故：‎ 由于极限，故：，代入①式得： ⑤‎ ⑹ 总结结论 综合④和⑤式得：. 故：的取值范围是 本题的要点：求出的最小值或最小极限值. ‎ 特刊：洛必达法则解析 ⑴ 由①式，设函数 当时，用洛必达法则得：‎ ‎，则 当时，用洛必达法则得：‎ ‎，则 当时，用洛必达法则得：‎ 其中，的最小值是，所以本题结果是，即：‎ ⑵ 关于极限 将函数以为中心，以泰勒级数展开 因为：；；；‎ ‎；；‎ ‎……，‎ 代入泰勒公式：‎ 得：‎ 于是：‎ 上面用泰勒级数证明了.‎ ‎2、函数第2题已知函数，，，连续，若存在均属于区间的，且，使，证明：‎ ‎[解析]⑴ 求出函数的导函数 函数： ①‎ 其导函数： ②‎ ⑵ 给出函数的单调区间 由于，由②式知：的符号由的符号决定. ‎ 当，即：时，，函数单调递增；‎ 当，即：时，，函数单调递减；‎ 当，即：时，，函数达到极大值.‎ ⑶ 由区间的增减性给出不等式 由均属于区间，且，得到：，‎ 若，则分属于峰值点的两侧 即：，.‎ 所以：所在的区间为单调递增区间，所在的区间为单调递减区间.‎ 故，依据函数单调性，在单调递增区间有： ③‎ 在单调递减区间有： ④‎ ⑷ 将数据代入不等式 由①式得：；；‎ 代入③得：，即：，即： ⑤‎ 代入④式得：，即：，‎ 即： ⑥‎ ⑸ 总结结论 结合⑤和⑥式得：. 证毕.‎ 本题的要点：用导数来确定函数的单调区间，利用单调性来证明本题.‎ 特刊：特值解析 由⑶已得：，，且：，‎ 若：，则：‎ 即：，故：‎ 当：，时，‎ 当：，时，‎ 故：处于这两个特值之间，即：‎ ‎3、函数第3题已知函数.若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，试证明：.‎ ‎[解析]⑴ 求出函数导函数 函数的定义域由可得：.‎ 导函数为： ①‎ ⑵ 确定函数的单调区间 当，即时，，函数单调递增；‎ 当，即时，，函数单调递减；‎ 当，即时，，函数达到极大值.‎ ‎ ②‎ ⑶ 分析图像与轴的交点，求出区间 由于，‎ 若与轴交于两点，则其极值点必须.‎ 即：，即： ③‎ 考虑到基本不等式及③式得：‎ 即：，即：，即：‎ 结合，即：得： ④‎ ⑷ 求出点以及关于极值点的对称点 ‎ 两点分居于极值点两侧，即：，‎ 设：，，则，且（因）‎ 设：，则与处于相同得单调递减区间.‎ 于是：，即：‎ 故：‎ ‎ ⑤‎ 将替换成代入就得到：‎ ‎ ⑥‎ ⑸ 比较点的函数值，以增减性确定其位置 构造函数：‎ 将⑤⑥式代入上式得： ⑦‎ 其对的导函数为：‎ ‎ ⑧‎ 由于④式及，所以.‎ 即：是随的增函数，其最小值是在时，即：‎ 由⑦式得：，故：.‎ 当时，，即：‎ 由于和在同一单调递减区间，所以由得：‎ 即：，即：或 ⑨‎ ⑹ 得出结论 那么，由⑨式得：‎ 即： . 证毕.‎ 本题的关键：首先求得极值点，以为对称轴看的对称点就可以得到结论. 具体措施是：设点，利用函数的单调性得到 特刊：本题点评 本题的解题思路：⑴函数图象与轴有2个交点，则在 之间应该有函数的极值点，于是得到极值点；⑵以极值点为对称轴，以等宽度（）得到“对称点C”（仅横坐标对称），这样，C和B处于同一个单调区间；⑶利用单调性比较C和B点的函数值，出现不等式.‎ ‎4、函数第4题已知函数.若，求的最大值.‎ ‎[解析]⑴ 求出函数的解析式 由于和都是常数，所以设，，利用待定系数法求出函数的解析式.‎ 设：，则：‎ 其导函数为：，则：‎ 所以：，，函数的解析式为： ①‎ ⑵ 化简不等式 即：，故： ②‎ ⑶ 构建新函数，并求其极值点 构建函数 ③‎ 其导函数： ④‎ 要使②式得到满足，必须.即：，或的最小值等于0‎ 故当取得极值时有：，由④式得极值点：‎ 此时的由③得： ⑤‎ ‎ ⑷ 求的最大值 由⑤式得：，则： ⑥‎ 令：，则⑥式右边为： （）‎ 其导函数为： ⑦‎ 当，即：时，，单调递增；‎ 当，即：时，，单调递减；‎ 当，即：时，，达到极大值.‎ 此时，的极大值为： ⑧‎ ⑸ 得出结论 将⑧代入⑥式得：，故：的最大值为 本题的关键：利用已知的不等式得到关于的不等式即⑥式，然后求不等式⑥式的极值.‎ ‎5、函数第5题已知函数的最小值为，其中.若对任意的，有成立，求实数的最小值.‎ ‎[解析]⑴ 利用基本不等式求出 利用基本不等式或，得：‎ 即：，即：‎ 已知的最小值为，故，即：‎ 或者，将的端点值代入，利用最小值为，求得 ⑵ 用导数法求出 函数的导函数为： ①‎ 当，即时，，函数单调递减；‎ 当，即时，，函数单调递增；‎ 当，即时，，函数达到极小值.‎ 依题意，的最小值为，故当时，‎ 即：，故：‎ 函数的解析式为： ②‎ ⑶ 构建新函数 当时，有，即：‎ 构建函数： ③‎ 则函数，即的最大值为. ‎ 实数的最小值对应于的最大值点.‎ ⑷ 确定的单调区间和极值 于是由③式得导函数为：‎ ‎ ④‎ 当时，由③式得函数；‎ 则是极值点，同时也是区间的端点.‎ 当时，即：‎ 当，即时，，函数单调递增；‎ 当，即时，，函数单调递减；‎ 当，即时，，函数达到极大值.‎ 故：从开始单调递增，直到达到的极大值，再单调递减， 所以是个极小值. 是个极大值，也是最大值.‎ ⑸ 求出最大值点 将最值点代入③式得：（）‎ 由的最大值为得：‎ 即：，即：，‎ 此时，即：，即：‎ ⑹ 给出结论 由于，也是端点，结合⑷的结论，所以：‎ 在区间单调递减，是个极大值，也是最大值.‎ 由得出实数的最小值为：‎ 故：实数的最小值.‎ 本题关键：用构建新函数代替不等式，通过求导得到极值点.‎ 特刊：特值解析 由③式，要求函数.‎ 由③式可看出时，‎ 由得：，令 我们只要求出在极值点的值就好.‎ 用洛必达法则：‎ 对应于的，即：实数的最小值.‎ ‎6、函数第6题已知函数，（），当在一定范围时，曲线上存在唯一的点，曲线在点的切线与曲线只有一个公共点，就是点，求点的坐标.‎ ‎[解析]⑴ 确定曲线的切线方程 曲线： ①‎ 其导函数： ②‎ 设点的坐标为：，则切线方程为：‎ ‎ ③‎ ⑵ 构建新函数，并求导 构建函数，则切线与曲线的交点就是的零点.‎ 则： ④‎ 其导函数： ⑤‎ 由②得：，，代入⑤式得：‎ ‎ ⑥‎ ⑶ 分析时函数的单调性和极值 当时：‎ 若，则，，故：，单调递增；‎ 若，则，，故：，单调递减；‎ 若，则，，故：，达到极小值.‎ 由④式得：的极小值.‎ 此时，的零点与点的取值有关，因此点的取值不唯一，‎ 所以的零点就不唯一.故当时，不满足点唯一的条件.‎ ⑷ 分析时函数的切线 当时：‎ 由⑥式，的情况分两种：‎ a> 即：，此时与⑵的情形相同，点的取值不唯一.‎ b> ，即：，‎ 此时，，即： ⑦‎ ⑦式的解是曲线与直线的交点.‎ 曲线恒过点，直线也恒过点，‎ 当曲线过点的切线斜率等于时，其这个切线就是曲线的切线.‎ 故：曲线过点的切线斜率为：‎ 于是：，即：，即：‎ ⑸ 得到切点的坐标 当时，就存在.‎ 由于在其定义域内是凸函数，所以与其切线的交点是唯一的.‎ 将代入①式得：‎ 得到和，这就是点的唯一坐标.‎ ⑹ 结论 切点的坐标：，‎ 本题要点：利用图象法解超越方程⑦.‎ 特刊：本题点评 本题的关键是解：，即：；‎ 明显的一个解，，不满足“唯一点”的要求；‎ 解析得到另一个满足的解是关键；‎ 本题利用图像法得到，即：，这个方法是本题的亮点.‎ ‎7、函数第7题已知函数，其中. 在函数的图象上取定两点，，且，而直线的斜率为.存在，使成立，求的取值范围.‎ ‎[解析]⑴ 的斜率与的导函数 由、两点的坐标得到直线的斜率：‎ ‎ ①‎ 函数的导函数为： ②‎ ⑵ 构建新函数，并求导 判断是否成立，即判断是否不小于.‎ 所以，构建函数：，若，则成立.‎ 则： ③‎ 导函数： ④‎ ⑶ 求在区间端点的函数值 由③式得：‎ ‎ ⑤‎ ‎ ⑥‎ ⑷ 确定的零点存在 利用基本不等式：，当且仅当时取等号.‎ 即： ⑦‎ 将⑦式应用于⑤式得： （）‎ 将⑦式应用于⑥式得： （）‎ 则，证明其存在性.‎ 函数在区间是连续的，其导函数也存在.‎ 由④式得：，即函数为单调递增函数.‎ 是单调函数，则证明其唯一性.‎ 由和以及函数零点存在定理得，函数必过零点，且是唯一零点.‎ ⑸ 求在区间的零点位置 设函数在区间的零点位置在，则有 由③式得： （）‎ 即： ⑦ 且：‎ ⑹ 求在区间的 由④式得：函数为单调递增函数，故：‎ 在区间，；‎ 在区间，；‎ 在时，.‎ 故，的区间为，即：‎ 本题要点：构建函数关系式③，由其导数得出单调性、增减性，得出零点.‎ 特刊：本题点评 本题的实质是拉格朗日中值定理：如果函数在闭区间连续，在开区间可导，则必存在，使得.‎ ‎8、函数第8题已知函数.证明：当时，‎ ‎[证明]⑴ 构建新函数，并求导 构建函数 ①‎ 导函数 ②‎ 即： ③‎ 函数满足，，‎ 现在只要证明，当时，，则.‎ ⑵ 化掉②式中的根号项.‎ 要保持不等号的方向不变，只有即：‎ 或. （代表某个不含根号的式子）‎ 由于有和的两种选项，所以采用化掉的方法.‎ 由均值不等式：得：‎ 代入③式得：‎ 即： ④‎ ⑶ 求函数的极值点 当取极值时，. ‎ 故由④式得：，即： ⑤‎ 令，（）（因为）‎ 则⑤式为：，即： ⑥‎ 分解因式法：‎ 故有：，及，即：‎ 由于，所以舍掉负值，故取 所以有：，，即：，‎ 由于 所以 函数在两个相邻极值点之间是单调的.‎ ⑷ 由单调性证明不等式 由①式得：‎ ‎，‎ 即：，由于在区间，是单调的，故：‎ 于是，函数在时达到极大值，然后递减，直到时达到极小值. ‎ 就是说在区间，，函数单调递减.‎ 即：，故：. 证毕.‎ 本题要点：构建函数，由两个相邻极值点之间的区间是单调的，以及两个相邻极值点之间的函数值的大小关系，得出：函数在这个区间为单调递减，由此来证明本题.‎ 本题的难点在于处理⑤式或者⑥式.‎ 特刊：数值解析 由①式构建函数 ①‎ 其导数为方程②式 ②‎ 直接解方程②比较困难，可以化简一下.‎ 在区间，，故：，即：‎ 代入②式得：‎ 令：，则：‎ 即：，即：‎ 故：，. 即：在区间存在满足.‎ 这时候，分别将和代入②式得：‎ 上面的计算说明的另一个零点在区间，那么对于本题，由于，，所以在区间，为单调递减函数.‎ 即：在区间，. 即：‎ ‎9、函数第9题已知，为正整数，抛物线与轴正半轴相交于点.设抛物线在点处的切线在轴上的截距为，求证：当时，对所有都有：.‎ ‎[证明]⑴ 先求点的坐标 将，代入抛物线得： ‎ ⑵ 求过点的切线方程 抛物线的导数为： ①‎ 故点的切线方程为：‎ 即： ②‎ ⑶ 求切线在轴上的截距为 由②式，当时，. 故： ③‎ ⑷ 分析待证不等式 ‎，即：，即：，‎ 即：，即：，即： ‎ 将③式代入上式得：，即： ④‎ 证明了④式，就证明了不等式 ⑸ 数值分析 由④式 当时，；‎ 当时，，即；‎ 当时，，即；（，）‎ 因为，对④式两边求对数得： ⑤‎ 满足上式得：的最小值，就是的最大值.‎ ⑹ 构建新函数 ‎ 构建函数：，求的最大值.‎ 求导得：‎ 当时，即：，即： ⑥‎ 令，则. 代入⑥式得： ⑦‎ ⑺ 求的最大值 虽然解方程⑦比较困难，但得到其取值范围还是可以的.‎ 由⑦式得：，即：‎ 即：，即：‎ 于是满足⑤式的的最大值是 代入④式得： ⑧‎ ⑻ 证明结论 满足⑧式，就满足④式，由⑷得证.‎ 当时，对所有都有：. 证毕.‎ 特刊：本题点评 本题有3个关键点：⑴求抛物线在点处的切线，得到：；⑵分析法解析待证不等式，得到: 或；⑶设得到，解析得： ，即：. 只要通过这3个关键点，问题得以解决.‎ ‎10、函数第10题已知函数，为的导数.设， 证明：对任意，‎ ‎[解析]⑴ 求函数的解析式 函数的导函数为：‎ ‎ ①‎ 函数得：‎ ‎ ②‎ ⑵ 构造新函数 由基本不等式（仅当时取等号）得:‎ 代入②式得： （）‎ 令： ③‎ 则上式为： ④‎ ⑶ 分析的单调性，并求其极值 由③式得导函数为： ⑤‎ 当，即时，，单调递减；‎ 当，即时，，单调递增；‎ 当，即时，，达到最大值.‎ 的最大值是在，由③式得：‎ ‎ ⑥‎ ⑷ 证明结论 故由④式和⑥式：‎ 即：对任意，. 证毕.‎ 本题要点：运用基本不等式,求函数的极值.‎ 特刊：本题点评 本题组合函数包含了函数的导函数，形似复杂，其实就是“纸老虎”，因为得到的解析式并不难. 在得到不等式时采用了“指数不等式”，这是本题的一个关键点，不是难点. 构造新函数并分析其增减区间，这是难点. 遗憾的是：小于的是的最大值.‎ ‎11、函数第11题已知是实数，函数，，和是、的导函数. 设，且，若在以为端点的开区间上恒成立，求的最大值.‎ ‎[解析]⑴ 构建新函数 函数的导数为： ①‎ 函数的导数为： ②‎ 构建函数： ③‎ 则已知条件化为：在开区间上恒成立，等价于 ④‎ ⑵ 确定的取值范围 已知，若，则区间；故：此时区间包括点.‎ 由①②式得：，，所以 不满足④式，即：不成立. ‎ 故：，与同处于区间.‎ ⑶ 确定的取值范围 由于，，，即：‎ 要满足④式，在时，则必须有：，‎ 即：，即：，‎ 即：，结合得： ⑤‎ ⑷ 确定的最大值.‎ 由于区间是以为端点，，，而 所以若，则，所以：，‎ 即：，故： ，代入⑤式得： ‎ 故： ⑥‎ 故：的最大值就是由⑥式决定的区间长度，即 本题的要点：确定，确定的取值范围⑤式.‎ 特刊：结合图形 A B x y C 由③式，‎ 画曲线和，‎ 且，.当时得A点横坐标 为开区间的左端点，且 ‎，为开区间的右端点. 由得：. 由图形可知的最大值 ‎12、函数第12题已知函数 （），若时，求的最小值.‎ ‎[解析]⑴ 求出函数的导函数 由函数得：‎ 导函数为：‎ ‎ ①‎ 依题意，若时，‎ 即在区间的最大值为0.‎ 所以，只要求出区间的最大值，使之为0，就解决问题.‎ ⑵ 由函数极值点得出相应的结果 由极值点的导数为0得：‎ 所以当在区间时，函数在区间单调递减 故满足的条件.‎ 于是：‎ 由于，，所以，即：‎ 故：，即：‎ 求三角函数定义域得：，故：.‎ 结合，于是，即的最小值是.‎ 特刊：本题解析 我们知道对数不等式有：，‎ 本题可以看出：‎ 和，即：‎ 可见，处于随变化范围之内，所以求的范围.‎ 本题要求时，即：.‎ 通过本题，我们得到一个加强的不等式：‎ ‎13、函数第13题已知函数（），，若曲线和曲线都过点，且在点处的切线相互垂直. 若时，，求的取值范围.‎ ‎[解析]⑴ 求出函数和的导函数 函数的导函数： ①‎ 函数的导函数： ②‎ ⑵ 由求出和 由曲线过点得：‎ 由曲线过点得：‎ ⑶ 由点处的切线相互垂直条件得出与的关系式 由点处的切线相互垂直，即切线斜率的乘积等于，即： ‎ 由①得：，由②得：‎ 代入上式得： ③‎ ⑷ 构建新函数 构建函数：，即： ‎ 于是：，即： ④‎ 当时，等价于. ⑤‎ ⑸ 化简求解条件 只要满足，，就一定满足⑤式.‎ 于是由⑶得： ⑥‎ 将③式代入⑥式得：，即：‎ 而④式已得：，所以只要满足就可以满足⑤式.‎ ⑹ 化解 要，即：‎ 将①②式代入上式得： ⑦‎ 由③得:，将上式和基本不等式，代入⑦式得：‎ ‎ ⑧‎ 只要右边不小于，就满足要求. 即：‎ 即： ‎ 已知，所以.已知⑸中，所以 ，‎ 由基本不等式得：‎ 代入⑧式得： ⑨ ‎ ⑹ 解析⑨式 若：，即： ⑩‎ i.当时，显然上式成立，则由⑨式得成立；‎ ii.当时，由⑩式得：，即：‎ 由③式得：，且已得，故：‎ iii.当时，由⑩式得：‎ 而，故：‎ 由于，，这两者之和为定值，由“一正二定三相等”得：‎ 当，即时，为极大值.‎ 此时为极小值，故此时.‎ 由③式得：，即：‎ 综上，由和得：可以满足⑤式条件.‎ 本题由切线互相垂直得到③式，构建函数得到⑤式，不等关系得到⑨式，重点是分析⑨式得到的取值范围.‎ 特刊：本题点评 由曲线和曲线都过点，得到：，；‎ 由在点处的切线相互垂直，得到③式：；‎ 由时，，得到⑤式：；‎ 关键是：只要满足，，就一定满足⑤式.‎ 后面的技术是：将化成⑨式：；‎ 分别讨论，和，同时满足此3条件的.‎ ‎14、函数第14题已知函数.当时，求的取值范围. ‎ ‎[解析]⑴ 分析题意 设，，则，的意思，就是的图象在的图象之上. 设在处，与的图象相切，此时，设值为，只要，的图象永在的图象之上.‎ ⑵ 由切点的关系来建模 由于点在曲线上，故： ①‎ 同时点在曲线上，故： ②‎ 由①②式得： ③‎ 它们在图象相切，故：，即：‎ 故： ④‎ ⑶ 解超越方程④式 方程④是一个超越方程，令（），即： ‎ 代入④得：或 ⑤‎ 由于定义域为，所以，即：，故： ⑥‎ 由基本不等式（仅当时取等号）或（仅当时取等号）代入⑤式可得：，即：，即： ⑦‎ 由⑥⑦得： ⑧‎ 事实上，方程的解是：.‎ ⑷ 解出极值点的 ‎ 由③式得：，即：， ‎ 即： （） ⑨‎ 故：，所以：当时，‎ 由⑴的分析，本题答案是：，即，本题答案：‎ 特刊：本题点评 严格来说，解超越方程得，，本题答案是；‎ 实际上，函数的零点就是.‎ 本题解析③式是关键，得到；‎ 由基本不等式，得到；结合两式，故：；‎ 第⑷步解出极值点的的范围，标准答案有点勉强. 这启示我们，在不会解超越方程时，采用取范围的策略. ‎ 下面是极值点附近的函数图.（零点在，）‎ ‎15、函数第15题设函数，其中，求时的取值范围.‎ ‎[解析]的图象是开口向下的抛物线，于是 当时，，，即：，即：‎ 故：的取值范围是，本题就是分析二次函数题.‎ ‎16、函数第16题已知，函数.若函数在区间的图像上存在两点，在点和点处的切线相互垂直，求的取值范围.‎ ‎[解析]去绝对值号 ⑴ 对，，其导数：‎ 即：在区间，函数单调递增；‎ ⑵ 对，，其导数：‎ 即：在区间，函数单调递减；‎ ⑶ 对，，函数达到极小值0. ‎ 一个绝对值的极小值不小于0.‎ ⑷ 若点和点处的切线相互垂直，即： ①‎ 则点和点分居于两个不同的单调区域.‎ 设，则，于是①式就是：‎ ‎，即：‎ 即： ②‎ ⑷ 解析②式得⑤式 由②式得： ③‎ 因为，所以，代入③式得：‎ ‎，即：，即： ④‎ 因为，所以，结合④式得：‎ 即：，故： ⑤‎ ⑸ 解析③式得⑦式 因为，所以，即：，‎ 代入③式得：，即： ⑥‎ 因为，所以代入⑥式得：，即： ⑦‎ 综上⑤和⑦式得，的取值范围是.‎ 本题要点：由已知条件演绎出②式，由②式演绎出的取值范围.‎ 特刊：本题点评 自从得到②式后，⑷解析②式得⑤式和⑸解析③式得⑦式，都是逻辑推理，没有什么计算. 所以本题是“函数与逻辑”综合性的题目，这是本题的特点.‎ ‎17、函数第17题已知函数，为常数且. 若条件1：满足；条件2：. 则满足这2个条件，称为函数的二阶周期点，如果有两个二阶周期点，试确定的取值范围.‎ ‎[解析]⑴ 函数去绝对值号得出和 当时，， ‎ 记： ①‎ 当时，，‎ 记： ②‎ 条件1： ③‎ 条件2： ④‎ ⑵ 在及时解析①式 对二阶周期点，当，函数用①式：；‎ 当时，复合函数仍用①式：‎ 故：， ‎ 条件1：，即：，即：；‎ 条件2：，即：，即：.‎ 此时，条件1和条件2对立，函数不能同时满足，故没有二阶周期点.‎ ⑶ 在及时解析①式 对二阶周期点 当，函数用①式：‎ 当时，函数用②式： ‎ 故：，‎ 条件1：，即：；‎ 条件2：，即：，即：.‎ 则： ⑤‎ ⑷ 在及时解析⑤式 将条件1：代入得：‎ 即：，即：，即： ⑥‎ 将代入得：‎ 即：，即：，即：‎ 故： ⑦‎ 结合⑥式和⑦式及得：‎ 所以，⑤式为一个二阶周期点，记为：‎ 此时，的取值范围是，二阶周期点 ⑸ 在及时解析②式 对，函数用②式： ‎ 对时，应用①式得：‎ 故：，‎ 条件1：，即：；‎ 条件2：，即：.‎ 则：，即：，即： 且 i>将代入得：‎ 即：，即：，即：‎ 即：‎ ii> 将代入得：‎ 即：，即：，即：‎ 结合i>和ii>及，得：‎ 所以，为另一个二阶周期点，记为：‎ 此时，的取值范围是，二阶周期点 ⑹ 在及时解析②式 对，函数用②式：‎ 对时，应用②式得：‎ 即： ⑧‎ 条件1：，即： ‎ 当时，上式即：‎ 条件2：，即： ‎ 此时，函数不能同时满足条件1和条件2，故没有二阶周期点.‎ 综上，如果有两个二阶周期点，则的取值范围是.‎ 本题要点：两个条件要同时满足；分类讨论 特刊：本题点评 在得到①②式之后，列出两个条件③④，然后分别讨论，得到：‎ ⑴在及时，条件1为，条件2为，无解；‎ ⑵在及时，条件1为，条件2为；‎ ⑶在及时，条件1为，条件2为，故；‎ ⑷在及时，条件1为，条件2为.‎ 经过分析得：二阶周期点 ⑸在及时，条件1为，条件2为，无解.‎ ‎18、函数第18题已知函数，，当时，若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎[解析]⑴ 解读题意 由于，所以有（）.‎ 故可以考虑将函数化为幂函数来解决.‎ 由于，，‎ ‎，，‎ 构建函数：‎ 则题目化为：当时，，求实数的取值范围.‎ ⑵ 将函数化为幂函数形式 构建函数：，满足条件1： ①‎ 构建函数：，条件1成为： ②‎ 则：‎ 导函数： ③‎ 要满足时，必须是：‎ 故由③式： ④‎ ⑶ 解析④式 因为④式，记，则：‎ 当时，是的单调递增函数.‎ 故：，则由④式：；‎ 且：，则由④式：.‎ 由于，所以满足区间时，‎ 取的最大值，，则：‎ ⑷ 构建函数化解 ‎ 由于是偶函数，且 函数在中的不等号方向是：，即：，即：‎ 应构建函数，且也是偶函数.‎ 构建函数：，满足条件2： ‎ ⑸ 构建函数 构建函数：，条件2成为：‎ 则：，导函数： ⑤‎ 要满足时，必须是：‎ 故由⑤式：，则： ⑥‎ 当时，‎ 当时，由⑥式得：‎ 取满足⑥式得的最大值，‎ ⑹ 构建函数：‎ 构建函数：‎ 即： ‎ 因为，则：‎ ⑺ 构建函数，求的范围 构建函数：‎ 若，因为，所以 ‎ 于是：‎ 要使，则，故：‎ 此时，‎ 若要，即：，则：，即 所以，当时，若恒成立，实数的取值范围.‎ 本题的实质是：将函数化为幂级数形式进行.基本上初等函数是连续函数，当时，都可以用幂级数形式来表达，即：‎ 特刊：本题点评 这类函数题的判断，一般用两点即可：⑴在点的函数值和；⑵在点的导数值和.本题，，即：. 其导数值，即： ①‎ ‎，即： ②‎ 由于，函数的级数一般是收敛的，若使恒成立，则必，即：，即：.‎ ‎19、函数第19题已知函数，其中是实数. 设，‎ 为该函数图像上的两点，且.若函数的图像在点处的切线重合，求的取值范围.‎ ‎[解析]函数的导函数为：‎ 如果图像在点处的切线重合，则点分处于两个不同区间.‎ 因，故点在区间，点在区间.‎ ⑴ 设过点的切线方程为： ①‎ 则： ②‎ ‎ ③‎ 将②③式代入①式得：‎ 即： ④‎ ⑵ 设过点的切线方程为： ⑤‎ 则： ⑥， ⑦‎ 将⑥⑦式代入⑤式得：，即： ⑧‎ ⑶ 由两个切线方程重合得，④式与⑧式相等.‎ 即： ‎ 由,得：，即：，故：‎ 由得：，即：，故：‎ 由得： ⑨‎ ⑷ 求的取值范围 由⑨式可知，随，单调递增 则有最小值，当，时，最小值.‎ 故：，即：‎ 本题答案：的取值范围是 本题重点是：两个方程系数相等；由区间得出和的取值范围，代入求得的极值.‎ 特刊：本题点评 本题第⑶、第⑷是重点，首先用,及得到的区间：，；然后用区间和求得的最小值.‎ ‎20、函数第20题设函数，，其中为实数．若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围.‎ ‎[解析]函数的导函数为： ①‎ 函数的导函数为： ②‎ ⑴ 由在上是单调减函数得： ‎ 代入①式得：，即：‎ 考虑到，故：，即：‎ ⑵ 由在上有最小值，是最值点为 则：，‎ 代入②式得：，即：，即：‎ 考虑到，故：，即：，综上，的取值范围 特刊：本题点评 本题看如何建模.‎ 原题：若在上是单调减函数，建模： ；‎ 原题：在上有最小值，建模：，；‎ 原题：求的取值范围，建模： . 由此得到：.‎ 由于，即：，故：.‎ ‎21、函数第21题设函数 (其中).当时,求函数在上的最大值.‎ ‎[解析]函数的最大值出现在两个地方：一个是区间的端点，另一个是导数的地方.‎ ⑴ 在区间端点处，函数值为： ①‎ ⑵ 在区间端点处，函数值为： ②‎ 因为：，所以：‎ 即：‎ 因为：，所以：，即： ③‎ ⑶ 在极值点处，当取极值时，其导数 即：‎ 则：和，即：‎ 故：时，或，函数的极值点.‎ ⑷ 当时，，函数值与①式相同.‎ ⑸ 当时 令：‎ 则其导函数为：‎ 即：‎ 故：是随单调递减函数，其最大值为 即：的最大值是 ④‎ ⑹ 通过这所有情况的对比，③式表明②式为最大值.‎ 当时，‎ 答案：当时，达到最大值.‎ 本题要点：函数最值出现在区间端点或极值点处 ‎22、函数第22题若函数在区间内为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围.‎ ‎[解析]由导函数的正负来判定函数的增减.‎ 函数的导函数为： ①‎ ⑴ 若导函数在区间内为负值，则在该区间为减函数.‎ 故：当时，‎ 则：为开口向上的二次函数，其两个零点分别是和 于是化为解二次方程：‎ 由韦达定理得：，‎ 即： ②‎ 故当：时，在区间为减函数. ‎ ⑵ 若导函数在区间内为正值，则在该区间为增函数.‎ 故：当时，‎ 则：当时， ，即：‎ 故：，即：，即： ③‎ 综上，由②③式得，实数的取值范围是.‎ 特刊：本题点评 本题的函数是一个幂函数. 在5种初等函数中（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数），幂函数是相对最简单、最实用的一种. 以幂函数出题，基本上是求“参数范围”、“区间范围”、“参数最值”、“函数值域”，以增加一些难度. 掌握幂函数的导数求法、增减性分析（或者是不等式）、最值求法（包括判别式法），是基本要求.‎ ‎23、函数第23题已知在区间上是增函数，实数的值组成的集合. 设关于的方程的两个非零实根为. 若存在实数，使得不等式对任意及恒成立，求的取值范围.‎ ‎[解析]⑴ 函数与其导函数 函数： ①‎ 其导函数：‎ ‎ ②‎ ⑵ 分析增减性得出 在区间上是增函数，即：，‎ A> 当时， ③‎ B> 当时，即，欲使 即：，即：，即： ④‎ 记：，则：‎ 即：是随单调递增的，即：‎ 故由④式得： ⑤‎ C> 当时，即，欲使 即：，即：，即： ⑥‎ 记：，则：‎ 即：是随单调递增的，即：‎ 故由⑥式得： ⑦‎ 综合⑤⑦式得： ⑧‎ ⑶ 解关于的方程 关于的方程，即： （）‎ 即：，即： ⑨‎ 设两个非零实根为，则由韦达定理得：，‎ 于是： ⑩‎ ⑷ 解析不等式 将⑩代入不等式得：，即：‎ 构建函数：‎ 则是开口向上的抛物线，其解为，于是不等式的解为和 则方程的解为：‎ ‎，‎ ⑸ 分析 因为字母的前面是负号，则越大越小，其中已知；‎ 根号项前面是负号, 则越大越小;‎ 故：的最小值出现在，处，即：‎ 同样，‎ 因为字母的前面是负号，则越小越大；‎ 根号项前面是正号, 则越大越大;‎ 故：的最大值出现在，处，即：‎ ⑹ 给出的取值范围 由⑷得是开口向上的抛物线，其解为 于是不等式的解为和，，‎ 本题要点：⑶由韦达定理得出 特刊：本题点评 本题是含有2个参数的函数求解. ‎ 由在区间上是增函数，即：，，得到：；‎ 解关于的方程的两个非零实根为，得到：‎ 及，. 故：；‎ 由对任意及恒成立，得到：，.‎ ‎[结语]‎