【数学】2018届一轮复习人教A版选修4-4第2讲参数方程学案

【数学】2018届一轮复习人教A版选修4-4第2讲参数方程学案

第2讲　参数方程 ‎,　　　　　　 　　[学生用书P217])‎ ‎1．参数方程和普通方程的互化 ‎(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．‎ ‎(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．‎ ‎2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程 名称 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝k(x－x0)‎ ‎(t为参数)‎ 圆 ‎(x－x0)2＋(y－y0)2‎ ‎＝R2‎ ‎(θ为参数且0≤θ<2π)‎ 椭圆 ＋＝1(a>b>0)‎ ‎(t为参数且0≤t<2π)‎ 抛物线 y2＝2px(p>0)‎ (t为参数)‎ ‎　参数方程与普通方程的互化[学生用书P217]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　将下列参数方程化为普通方程．‎ ‎(1)(t为参数)；‎ ‎(2)(θ为参数)．‎ ‎【解】　(1)因为＋＝1，‎ 所以x2＋y2＝1.‎ 因为t2－1≥0，所以t≥1或t≤－1.‎ 又x＝，所以x≠0.‎ 当t≥1时，00，‎ 故tan α＝.所以直线l的斜率为.‎ 应用参数方程解决问题的方法 ‎(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．‎ ‎(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：‎ 过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.‎ ‎①弦长l＝|t1－t2|；‎ ‎②弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；‎ ‎③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．(2017·唐山模拟)已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′.‎ ‎(1)求曲线C′的普通方程；‎ ‎(2)若点A在曲线C′上，点D(1，3)，当点A在曲线C′上运动时，求AD中点P的轨迹方程．‎ ‎[解] (1)将代入，得曲线C′的参数方程为，所以曲线C′的普通方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设点P(x，y)，A(x0，y0)，又D(1，3)，且AD的中点为P，所以，‎ 又点A在曲线C′上，所以代入C′的普通方程＋y2＝1，得(2x－1)2＋4(2y－3)2＝4，‎ 所以动点P的轨迹方程为(2x－1)2＋4(2y－3)2＝4.‎ ‎2．将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得到曲线C2，A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.‎ ‎(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；‎ ‎(2)求|AC|－|BD|.‎ ‎[解] (1)由题意可得C2：＋y2＝1，l：(t为参数)．‎ ‎(2)将代入＋y2＝1，‎ 整理得5t2＋4t－4＝0.‎ 设点C，D对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝－，‎ 且|AC|＝t1，|AD|＝－t2.又|AB|＝2|OA|cos 30°＝，‎ 故|AC|－|BD|＝|AC|－(|AD|－|AB|)＝|AC|－|AD|＋|AB|＝t1＋t2＋＝.‎ ‎　极坐标与参数方程的综合问题[学生用书P219]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(2016·高考全国卷丙)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ ‎【解】　(1)C1的普通方程为＋y2＝1.C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝＝.‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.‎ 处理极坐标、参数方程综合问题的方法 ‎(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合问题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．‎ ‎(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．(2015·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．‎ ‎[解] (1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.‎ 联立 解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．‎ 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4|sin|.‎ 当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(φ为参数)．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2cos θ，射线l：θ＝α(ρ≥0)，设射线l与曲线C1‎ 交于点P.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程；‎ ‎(2)设直线l′：(t为参数且t≠0)与曲线C2交于点R，若α＝，求△OPR的面积．‎ ‎[解] (1)曲线C1的普通方程为＋＝1.‎ ‎(2)因为直线l′的参数方程为(t为参数且t≠0)，‎ 所以直线l′的普通方程为y＝－x(x≠0)，‎ 极坐标方程为θ＝－(ρ∈R且ρ≠0)．‎ 将直线l′：θ＝－(ρ∈R且ρ≠0)代入曲线C2：ρ＝2cos θ 中，‎ 得ρ＝1，即|OR|＝1.‎ 将射线l：θ＝代入曲线C1：＋＝1中，‎ 得ρ＝，即|OP|＝.‎ 设△OPR的面积为S，则S＝|OP||OR|sin∠POR＝××1×sin＝.‎ ‎,　　　　　　　 　　[学生用书P295(独立成册)])‎ ‎1．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2acos θ(a≠0)，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)求圆C的标准方程和直线l的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．‎ ‎[解] (1)由，得，因此＝，‎ 所以直线l的普通方程为 4x－3y＋5＝0.‎ 由ρ＝2acos θ，ρ2＝2aρcos θ，又ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，‎ 所以，圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝a2.‎ ‎(2)因为直线l与圆C恒有公共点，‎ 所以≤|a|，‎ 两边平方得9a2－40a－25≥0，所以(9a＋5)(a－5)≥0，‎ 所以a的取值范围是a≤－或a≥5.‎ ‎2．已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以直角坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；‎ ‎(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝，求直线被曲线C截得的弦长．‎ ‎[解] (1)因为曲线C的参数方程为(α为参数)，‎ 所以曲线C的普通方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10，①‎ 曲线C表示以(3，1)为圆心，为半径的圆．‎ 将代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ，‎ 即曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ.‎ ‎(2)因为直线的直角坐标方程为y－x＝1，所以圆心C到直线的距离为d＝，所以弦长为2＝.‎ ‎3．(2017·洛阳统考)在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知点M是曲线C1上任意一点，点N是曲线C2上任意一点，求|MN|的取值范围．‎ ‎[解] (1)由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，‎ 将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入上面方程，得x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.‎ ‎(2)|MC2|min－1≤|MN|≤|MC2|max＋1.‎ ‎|MC2|2＝(4cos φ－1)2＋9sin2φ＝7cos2φ－8cos φ＋10，‎ 当cos φ＝－1时，|MC2|＝25，|MC2|max＝5；‎ 当cos φ＝时，|MC2|＝，|MC2|min＝.‎ 所以－1≤|MN|≤5＋1，‎ 即|MN|的取值范围是.‎ ‎4．(2017·太原模拟)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，曲线C的参数方程为.‎ ‎(1)写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；‎ ‎(2)过点M且平行于直线l的直线与曲线C交于A，B两点，若|MA|·|MB|＝，求点M 的轨迹．‎ ‎[解] (1)直线l：y＝x，曲线C：＋y2＝1.‎ ‎(2)设点M(x0，y0)，过点M的直线为l1：(t为参数)，‎ 由直线l1与曲线C相交可得＋tx0＋2ty0＋x＋2y－2＝0.‎ 由|MA|·|MB|＝，得＝，‎ 即x＋2y＝6，‎ x2＋2y2＝6表示一椭圆，‎ 设直线l1为y＝x＋m，将y＝x＋m代入＋y2＝1得，‎ ‎3x2＋4mx＋2m2－2＝0，‎ 由Δ>0得－b>0，φ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与曲线C1、C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．‎ ‎(1)分别说明C1、C2是什么曲线，并求出a与b的值；‎ ‎(2)设当α＝时，l与C1、C2的交点分别为A1、B1，当α＝－时，l与C1、C2的交点分别为A2、B2，求四边形A1A2B2B1的面积．‎ ‎[解] (1)由题意可知，曲线C1为圆，曲线C2为椭圆，‎ 当α＝0时，射线l与曲线C1、C2交点的直角坐标分别是(1，0)、(a，0)，因为这两个交点间的距离为2，所以a＝3，‎ 当α＝时，射线l与曲线C1、C2交点的直角坐标分别是(0，1)、(0，b)，‎ 因为这两个交点重合，所以b＝1.‎ ‎(2)由(1)可得，曲线C1、C2的普通方程分别为x2＋y2＝1，＋y2＝1，当α＝时，射线l与曲线C1的交点A1，与曲线C2的交点B1；‎ 当α＝－时，射线l与曲线C1、C2的两个交点A2、B2分别与A1、B1关于x轴对称，‎ 则四边形A1A2B2B1为梯形，‎ 所以四边形A1A2B2B1的面积为 ＝.‎