【数学】2019届一轮复习人教A版 函数的单调性与最值 学案
第5讲 函数的单调性与最值
考纲要求
考情分析
命题趋势
理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．
2017·全国卷Ⅰ，5
2017·浙江卷，17
2016·全国卷Ⅱ，21(1)
2016·四川卷，20(1)
1．函数的单调性和最值等是高考热点题型，经常是利用单调性求最值或者是求参数的范围．
2．难度小，偏重技巧，主要以选、填形式出现，属基础试题．
3．解题时考生要认真分析，选准突破口，采用适当的方法，如数形结合、分类讨论等方法．函数的单调区间不能用并集，注意端点值的取舍．
分值：4～6分
1．增函数与减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的__任意两个__自变量的值x1，x2，当x1
f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是__减函数__.
2．单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__单调性__，区间D叫做y＝f(x)的__单调区间__.
3．函数的最大值与最小值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有__f(x)≤M__；存在x0∈I，使得__f(x0)＝M__，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．
(2)对于任意的x∈I，都有__f(x)≥M__；存在x0∈I，使得__f(x0)＝M__，那么我们称M是函数y＝f(x)的最小值．
4．函数单调性的常用结论
区间D上单调递增
区间D上单调递减
定义法
x1f(x2)
图象法
函数图象是上升的
函数图象是下降的
导数法
导数大于零
导数小于零
运算法
递增＋递增＝递增
递减＋递减＝递减
复合法
内外层单调性相同
内外层单调性相反
5．对勾函数的单调性
对勾函数y＝x＋(a>0)的递增区间为(－∞，－]和[，＋∞)；递减区间为[－，0)和(0，]，且对勾函数为奇函数．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)函数y＝的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )
(2)函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为[a，b]．( × )
(3)若f(x)是增函数，g(x)是增函数，则f(x)·g(x)也是增函数．( × )
(4)已知函数y＝f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是减函数．( √ )
解析 (1)错误．一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．
(2)错误．f(x)在区间[a，b]上是递增的并不能排除f(x)在其他区间上单调递增，而f(x)的单调递增区间为[a，b]意味着f(x)在其他区间上不可能是递增的．
(3)错误．举反例：设f(x)＝x，g(x)＝x－2都是定义域R上的增函数，但是 f(x)·g(x)＝x2－2x在R上不是增函数．
(4)正确．易知函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，由对称性可知结论正确．
2．(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( D )
A．y＝ B．y＝cos x
C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x
解析 A项中，y＝＝的图象是将y＝－的图象向右平移1个单位得到的，故y＝在(－1,1)上为增函数，不符合题意；B项中，y＝cos x在(－1,0)上为增函数，在(0,1)上为减函数，不符合题意；C项中，y＝ln (x＋1)的图象是将y＝ln x的图象向左平移1个单位得到的，故y＝ln (x＋1)在(－1,1)上为增函数，不符合题意；D项符合题意．
3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( C )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
解析 当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，则a＝2；当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2，所以a＝±2，故选C．
4．函数f(x)＝ (x2－4)的单调递增区间为__(－∞，－2)__.
解析 函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)由y＝t与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝t在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
5．设a为常数，函数f(x)＝x2－4x＋3.若f(x＋a)在[0，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__[2，＋∞)__.
解析 ∵f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴f(x＋a)＝(x＋a－2)2－1，且当x∈[2－a，＋∞)
时，函数f(x＋a)单调递增，因此2－a≤0，即a≥2.
一 判断(或证明)函数的单调性
对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：
(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．
(2)可导函数则可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断．
【例1】 (1)判断函数y＝在(－1，＋∞)上的单调性．
(2)判断并证明函数f(x)＝(其中a>0)在x∈(－1,1)上的单调性．
解析 (1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1－1，x2>－1，∴x1＋1>0，x2＋1>0，
又x10，∴>0，即y1－y2>0.
∴y1>y2，∴函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数．
(2)f′(x)＝＝.
又a>0，所以f′(x)<0，∴函数f(x)在(－1,1)上为减函数．
二 求函数的单调区间
求函数单调区间的常用方法
(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．
(2)定义法：先求定义域，再利用单调性的定义求单调区间．
(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．
(4)导数法：利用导数值的正负确定函数的单调区间．
注意：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开．
【例2】 求下列函数的单调区间．
(1)y＝－x2＋2|x|＋1；(2)y＝ (x2－3x＋2)．
解析 (1)由于y＝
即y＝
画出函数图象如图所示，则单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝u与u＝x2－3x＋2的复合函数．令u＝x2－3x＋2>0，则x<1或x>2.
∴函数y＝ (x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．
又u＝x2－3x＋2的对称轴为x＝，且开口向上，
∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y＝u在(0，＋∞)上是单调减函数，
∴y＝ (x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．
三 求函数的值域(最值)
求函数值域(最值)的常用方法
(1)分离常数法．形如y＝(ac≠0)的函数的值域经常使用“分离常数法”求解．
(2)配方法．配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝a(f(x))2＋bf(x)＋c(a≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法．
(3)换元法．①代数换元，形如y＝ax＋b±(a，b，c，d为常数，ac≠0)的函数，可设＝t(t≥0)，转化为二次函数求值域．②三角换元．对于换元法求值域，一定要注意新元的范围对值域的影响．
另外，还可用判别式法、有界性法、基本不等式法、数形结合法和函数的单调性法等来求值域(最值)．
【例3】 求下列函数的值域．
(1)y＝，x∈[－3，－1]；(2)y＝2x＋；
(3)y＝x＋4＋；
(4)y＝＋.
解析 (1)(有界性法)由y＝，
得x＝.
∵－3≤x≤－1，∴－3≤≤－1，
解得≤y≤3，∴函数的值域为.
(2)(代数换元法)令t＝(t≥0)，则x＝，
∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋.∴当t＝，即x＝时，
y取最大值，ymax＝，且y无最小值，∴函数的值域为.
(3)(三角换元法)令x＝3cos θ，θ∈[0，π]，则
y＝3cos θ＋4＋3sin θ＝3sin＋4.
∵0≤θ≤π，∴≤θ＋≤，∴－≤sin≤1．
∴1≤y≤3＋4，∴函数的值域为[1,3＋4]．
(4)(数形结合法)如图，函数y＝＋的几何意义为平面内一点P(x,0)到点A(－3,4)和点B(5,2)的距离之和．由平面解析几何知识，找出B关于x轴的对称点B′(5，－2)，连接AB′交x轴于点P，此时距离之和最小，∴ymin＝|AB′|＝＝10，又y无最大值，∴函数的值域为[10，＋∞)．
四 函数单调性的应用
(1)含“f”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．
(2)比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
(3)求参数的值或取值范围的思路：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．
【例4】 (1)(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数，若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( D )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
(2)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( D )
A． B．
C． D．
(3)若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，则实数a的取值范围是( B )
A．(0,1) B．(1,3)
C．(1,3] D．[3，＋∞)
解析 (1)∵函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且f(1)＝－1，
∴f(－1)＝－f(1)，由－1≤f(x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3，故选D．
(2)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，
故在(－∞，4)上单调递增；
当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，得－≤a<0.
综上所述，得－≤a≤0.故选D．
(3)因为函数f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，则有a>1且6－2a>0，解得11时，f(x)在[0,1]上单调递减，∴M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a与a有关，与b无关．综上所述，M－m与a有关，但与b无关，故选B．
3．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝__－6__.
解析 由图象的对称性，知函数f(x)＝|2x＋a|关于直线x＝－对称，因为函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，所以－＝3，即a＝－6.
4．函数y＝－x(x≥0)的最大值为！！！ ###.
解析 令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－2＋，结合图象知，当t＝，即x＝时，ymax＝.
易错点1 忽视函数的定义域
错因分析：不能忽略函数问题定义域优先原则；复合函数的“同增异减”原则；含绝对值函数和分段函数要分段讨论原则．
【例1】 函数y＝的单调增区间为__________，减区间为__________.
解析 由－x2＋2x≥0得函数的定义域为[0,2]．
∵t＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在[0,1)上是增函数，在[1,2]上是减函数，又y＝在[0，＋∞)上是增函数，
∴函数y＝的单调增区间为[0,1)，减区间为[1,2]．
答案 [0,1) [1,2]
【跟踪训练1】 若函数f(x)＝a|b－x|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a，b的取值范围分别为__(0，＋∞)，(－∞，0]__.
解析 ∵|b－x|＝|x－b|，y＝|x－b|的图象如下．
∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴b≤0，a>0.
易错点2 忽视分段函数的分界点
错因分析：单调递增(减)区间上的函数图象自左往右整体呈上升(下降)趋势，中间可能断开．
【例2】 已知f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1) B．
C． D．
解析 由已知得解得≤a<.
答案 C
【跟踪训练2】 已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是 .
解析 由已知条件得f(x)为增函数，
∴
解得≤a<2，∴a的取值范围是.
课时达标 第5讲
[解密考纲]本考点考查函数的单调性．单独命题多以选择题的形式呈现，排在中间靠前的位置，题目难度系数属于中等或中等偏上；另外，函数的性质也常常与三角函数、向量、不等式、导数等相结合出解答题，有一定难度．
一、选择题
1．下列函数中，在区间(0,1]上是增函数且最大值为－1的为( C )
A．y＝－x2 B．y＝x
C．y＝－ D．y＝2x
解析 y＝－x2在区间(0,1]上是减函数，不满足条件；y＝x在区间(0,1]上是减函数，不满足条件；y＝－在区间(0,1]上是增函数，最大值为y＝－1，满足条件；y＝2x在区间(0,1]上是增函数，最大值为y＝2，不满足条件，故选C．
2．(2018·黑龙江牡丹江一中期中)函数y＝3x2－3x＋2，x∈[－1,2]的值域是( B )
A．R B．
C．[9,243] D．[3，＋∞)
解析 令t＝x2－3x＋2，∵x∈[－1,2]，
∴t＝x2－3x＋2＝2－∈.
又y＝3t在上单调递增，
则y＝3t∈.
∴函数y＝3x2－3x＋2，x∈[－1,2]的值域是.
3．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则( B )
A．ff>f，
即f>f>f，故选B．
4．已知f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为( B )
A．(1，＋∞) B．[4,8)
C．(4,8) D．(1,8)
解析 ∵f(x)是R上的增函数，∴a>1且4－>0且a≥4－＋2，解得，4≤a<8，故选B．
5．(2018·天津河西区一模)函数f(x)＝ln(x2－2x－3)的单调递减区间为( C )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(3，＋∞)
解析 要使函数有意义，则x2－2x－3>0，
即x>3或x<－1．设t＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
当x>3时，函数t＝x2－2x－3单调递增；
当x<－1时，函数t＝x2－2x－3单调递减．
∵函数y＝ln t在定义域上为单调递增函数，
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，故选C．
6．已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是( C )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析 f(x)＝
由f(x)的图象可知f(x)在R上是增函数，由f(2－a2)>f(a)，
得2－a2>a，即a2＋a－2<0，解得－20)上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝__4__.
解析 ∵f(x)＝ln(x＋)＋＝ln(x＋)＋3－，∴函数f(x)在R上为单调递增，
∴M＝f(k)＝ln(k＋)＋3－，
m＝f(－k)＝ln(－k＋)＋3－，
∴M＋m＝f(k)＋f(－k)＝ln 1＋6－2＝6－2＝4.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝－，x∈[0,2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值．
解析 设x1，x2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x10，(x1＋1)(x2＋1)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)12，由f(x)－f≥－12，
有f(x(x－12))≥f(64)，所以x(x－12)≤64.
所以x2－12x－64＝(x－16)(x＋4)≤0，
得－4≤x≤16，又x>12，所以x∈(12,16]．
12．已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若∀x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
解析 (1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，
任取1≤x11，∴2x1x2－1>0.
又x1－x2<0，∴f(x1)0恒成立，
则⇔等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．
∵φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，∴当x＝1时，φ(x)取最大值为φ(1)＝－3，∴a>－3，故a的取值范围是(－3，＋∞)．
