全国高考2卷理科数学试题及答案

全国高考2卷理科数学试题及答案

2012 年全国高考 2 卷理科数学试题及答案 一．选择题：（共 12 个小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1. 复数 = (A) 2+i (B) 2−i (C) 1+2i (D)1−2i 2.已知集合 A={1，3， }，B ={1，m}，A∪B =A，则 m = (A) 0 或 (B) 0 或 3 (C) 1 或 (D) 1 或 3 3.椭圆的中心在原点，焦距为 4，一条准线为 x = − 4，则该椭圆的方程为 (A) =1 (B) =1 (C) =1 (D) =1 4.已知正四棱柱 ABCD −A1B1C1D1 中，AB = 2，CC1 = 2 ，E 为 CC1 的中点，则直线 AC1 与平面 BED 的距离为： (A) 2 (B) (C) (D) 1 5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a5 = 5，S5 =15，则数列{ }的前 100 项和为 (A) (B) (C) (D) 6.△ABC 中，AB 边的高为 CD， = a， = b，a•b = 0，| a | = 1，| b | = 2，则 = (A) a − b (B) a − b (C) a − b (D) a − b 7.已知α 为第二象限的角，sinα +cosα = ，则 cos2α = (A) − (B) − (C) (D) 8.已知 F1、F2 为双曲线 C：x 2−y2 =2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|=2|PF2|，则 cos∠F1PF2 = (A) (B) (C) (D) 9.已知 x = lnπ，y =log 5 2，z = ，则 (A) x < y < z (B) z < x < y (C) z < y < x (D) y < z < x 10.已知函数 y =x 3−3x + c 的图像与 x 轴恰有两个公共点，则 c = 1 3 1 i i − + + m 3 3 2 2 16 12 y+x 2 2 16 8 y+x 2 2 8 4 y+x 2 2 12 4 y+x 2 3 2 1 1 n na a + 100 101 99 101 99 100 101 100 CB CA AD 1 3 1 3 2 3 2 3 3 5 3 5 4 5 4 5 3 3 5 3 5 9 5 9 5 3 1 4 3 5 3 4 4 5 1 2e − (A) −2 或 2 (B) −9 或 3 (C) −1 或 1 (D) −3 或 1 11.将字母 a, a, b, b, c, c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同点排列方法共有 (A) 12 种 (B) 18 种 (C) 24 种 (D) 36 种 12.正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AE = BF = ，动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动， 每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 (A) 16 (B) 14 (C) 12 (D) 10 二．填空题：（共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13.若 x、y 满足约束条件 ，则 z =3x − y 的最小值为 14.当函数 y = sinx − cosx (0≤x <2π)取得最大值时，x = 15.若(x + ) n 的展开式中第三项与第七项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为 16. 三棱柱 ABC−A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1= 60o，则异面直线 AB1 与 BC1 所成的角的 余弦值为 二．解答题：（共 6 个小题，满分 70 分） 17.（本小题满分 10 分） △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 cos(A − C) + cosB = 1，a = 2c，求 C . 18. （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA⊥底面 ABCD，AC = 2 ，PA = 2， E 是 PC 上的一点，PE = 2EC . (Ⅰ)证明：PC⊥平面 BED ； (Ⅱ)设二面角 A −PB − C 为 90o，求 PD 与平面 PBC 所成的角的大小. 3 7 x − y +1≥0 x + y −3≤0 x + 3y −3≥0 1 x 2 1 x 2 E A B C D P 19. （本小题满分 12 分） 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连续发球 2 次，依次轮 换. 每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分. 设再甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为 0.6，各次发球 的胜负结果相互独立. 甲、乙的一局比赛中，甲先发球. (Ⅰ)求开始第四次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率 ； (Ⅱ)ξ 表示开始第四次发球时乙的得分，求ξ 的期望. 20. （本小题满分 12 分） 设函数 f (x ) = ax + cosx , x∈[0, π] . (Ⅰ)讨论 f (x )的单调性； (Ⅱ)设 f (x ) ≤1 + sinx ，求 a 的取值范围. 21. （本小题满分 12 分） 已知抛物线 C：y = (x +1) 2 与圆 M：(x −1) 2 +( y − ) 2 = r 2 (r > 0)有一个公共点 A，且在 A 处两曲线的切线为同 一直线 l. (Ⅰ)求 r ； (Ⅱ)设 m、n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线，m、n 的交点为 D，求 D 到 l 的距离. 22. （本小题满分 12 分） 函数 f (x ) = x 2 − 2x − 3 .定义数列{x n}如下：x 1= 2，x n+1 是过两点 P(4, 5)、Qn(x n, f (x n ))的直线 PQn 与 x 轴的 交点的横坐标. (Ⅰ)证明：2≤x n < x n+1<3 ； (Ⅱ)求数列{x n}的通项公式. 答案 1.C 2.B 3.C 4.C 5.A 6.D 7.A 8.C 9.D 10.A 11.A 12.B 13. -1 14. 15. 56 16. ……………… 1 2