【数学】2020届一轮复习人教版（理）第2章第3讲函数的奇偶性与周期性学案
第3讲 函数的奇偶性与周期性
[考纲解读] 1.了解函数奇偶性的含义．
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．(重点)
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(重点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点．预测2020年高考会侧重以下三点：①函数奇偶性的判断及应用；②函数周期性的判断及应用；③综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式.
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
2．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
1．概念辨析
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( )
(2)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．( )
(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( )
(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．小题热身
(1)下列函数中为奇函数的是( )
A．y＝x2sinx B．y＝x2cosx
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
答案 A
解析 A是奇函数，B是偶函数，C，D是非奇非偶函数．
(2)奇函数y＝f(x)的局部图象如图所示，则( )
A．f(2)>0>f(4)
B．f(2)<0
f(4)>0
D．f(2)0>f(－2)，所以－f(4)>0>－f(2)，即f(2)>0>f(4)．
(3)若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，则该函数的最大值为________．
答案 5
解析 由函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，可得b＝0，且－1－a＋2a＝0，解得a＝1，所以函数f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2]，故该函数的最大值为5.
(4)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
答案 6
解析 因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以函数f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)，又因为当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，且f(x)是偶函数，所以f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.
题型 函数的奇偶性
角度1 判断函数的奇偶性
1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝(1－x) ；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解 (1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
∴f(x)＝＋＝0.
∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)由≥0得－1≤x<1，
所以f(x)的定义域为[－1,1)，
所以函数f(x)是非奇非偶函数．
(3)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，
∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(4)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，
总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．
角度2 奇函数、偶函数性质的应用
2．(1)已知函数f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为________；
(2)已知f(x)＝，若f(ln (＋a))＝1，则f(ln (－a))＝________；
(3)(2018·河南南阳模拟)若函数f(x)＝x为偶函数，则a＝________.
答案 (1)－x3－x＋1 (2)－3 (3)1或－1
解析 (1)当x<0时，－x>0.
因为f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，
所以f(x)＝f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1.
(2)f(x)＋f(－x)＝＋＝＝－2，
而ln (＋a)＋ln (－a)＝ln 1＝0，
因此f(ln (＋a))＋f(ln (－a))＝－2，
f(ln (－a))＝－2－1＝－3.
(3)令u(x)＝1－，
根据函数f(x)＝x为偶函数，
可知u(x)＝1－为奇函数，
利用u(0)＝1－＝0，
可得a2＝1，所以a＝1或a＝－1.
1．判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法
(2)图象法
2．函数奇偶性的应用
(1)求函数解析式
①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．如举例说明2(1)．
(2)求参数值
在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．如举例说明2(3)．
注意：利用“奇函数在关于原点对称的区间上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0”的性质解决有关最值问题．
1．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝log3(x＋1)＋
a，则f(－8)＝( )
A．－3－a B．3＋a C．－2 D．2
答案 C
解析 由题意得f(0)＝log31＋a＝0，所以a＝0.
所以当x≥0时，f(x)＝log3(x＋1)，又因为f(x)是奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2.
2．设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
答案 C
解析 对于A，令h(x)＝f(x)g(x)，
则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，
∴h(x)是奇函数，A错误；
对于B，令h(x)＝|f(x)|g(x)，
则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)
＝|f(x)|·g(x)＝h(x)，
∴h(x)是偶函数，B错误；
对于C，令h(x)＝f(x)|g(x)|，
则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，
∴h(x)是奇函数，C正确；
对于D，令h(x)＝|f(x)g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝h(x)，
∴h(x)为偶函数，D错误．
3．(2018·安徽合肥月考)已知函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( )
A．3 B．0 C．－1 D．－2
答案 B
解析 设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.故选B.
题型 函数的周期性
1．(2019·陕西咸阳模拟)已知奇函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，则( )
A．函数f(x)是以2为周期的周期函数
B．函数f(x)是以4为周期的周期函数
C．函数f(x＋1)是奇函数
D．函数f(x＋2)是偶函数
答案 B
解析 根据题意，定义在R上的函数f(x)是奇函数，则满足f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，又由f(1－x)＝f(1＋x)，则f(x＋2)＝f[1＋(x＋1)]＝f[1－(x＋1)]＝f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为4.
2．(2018·安徽淮南二模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝，当x∈[0,2)时，f(x)＝x＋ex，则f(2018)＝________.
答案 1
解析 因为定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝，
所以f(x＋4)＝＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为4.
当x∈[0,2)时，f(x)＝x＋ex，
所以f(2018)＝f(504×4＋2)＝f(2)
＝＝＝1.
条件探究1 举例说明2中的“f(x＋2)＝”改为“f(x＋1)＝”，其他条件不变，求f(2019)．
解 因为f(x＋2)＝＝
＝＝－，
所以f(x＋4)＝－＝f(x)．
故函数f(x)的周期为4.
所以f(2019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝－＝－.
条件探究2 举例说明2中的“e”改为“2”，其他条件不变，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)的值．
解 因为函数f(x)的周期为4，且f(1)＝1＋2＝3，f(2)＝＝＝1，f(3)＝＝，f(4)＝＝1，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)
＝504×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)
＝504×＋3＋1
＝2692.
函数周期性的判定与应用
(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T.
(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
1．(2019·温州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的最小正周期等于T，则下列函数的最小正周期一定等于的是( )
A．f(2x) B．f
C．2f(x) D．f(x2)
答案 A
解析 由已知得f(x＋T)＝f(x)，所以f(2x＋T)＝f(2x)，即f＝f(2x)，所以函数f(2x)的周期是；f＝f，即f＝f，所以函数f的周期是2T；2f(x＋T)＝2f(x)，所以函数2f(x)的周期是T.函数f(x2)不一定是周期函数．
2．若f(x)是定义在R上的周期为4的函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝则f＝________.
答案
解析 因为f(x)的周期为4，则f＝f＝f＝cos＝cos＝，所以f＝f＝×＝.
3．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．
答案 7
解析 因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，
则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，
∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个．
题型 函数性质的综合应用
角度1 单调性与奇偶性结合
1．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)0 B．减函数且f(x)<0
C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0
答案 D
解析 当x∈时，－x∈.因为当x∈时，f(x)＝log(1－x)且f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－log (1＋x)，所以f(x)在上是增函数，当x∈时，1＋x∈，所以log (1＋x)∈(0,1]，－log (1＋x)∈[－1,0)．因为f＝f(x)，所以函数f(x)的周期是，所以f(x)在区间上的图象与在区间上的图象相同，所以f(x)在区间内是增函数且f(x)<0.
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．如举例说明1.
(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．如举例说明2.
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．如举例说明3.
1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
答案 D
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3.故选D.
2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)
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