【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第八章第六节双曲线学案
第六节双曲线
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性 质
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点
顶点坐标：
A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标：
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)方程－＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(3)双曲线方程－＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )
(5)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与－＝1(a＞0，b＞0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2．双曲线－＝1的焦距为( )
A．5 B.
C．2 D．1
解析：选C 由双曲线－＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝，
所以双曲线－＝1的焦距为2.
3．(教材习题改编)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
解析：选A 设要求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
由椭圆＋＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为(±2,0)．
所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．
所以a＝1，c＝2，
所以b2＝c2－a2＝3，
所以双曲线标准方程为x2－＝1.
4．(2017·北京高考)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.
解析：由已知可得a＝1，c＝，
所以e＝＝＝，解得m＝2.
答案：2
5．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
解析：由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.
答案：17
6．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.
解析：∵双曲线的标准方程为－＝1(a＞0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.
答案：5
[考什么·怎么考]
高考对双曲线标准方程的考查主要有两个方面：一是根据题设条件求双曲线的标准方程；二是通过双曲线的标准方程求解双曲线的基本量，在选择题、填空题和解答题中均有体现，难度中等偏上.
1．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( )
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选B 法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线过点P(2,1)，
所以－＝1，又a2＋b2＝3，
解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是－y2＝1.
法二：设所求双曲线方程为＋＝1(1<λ<4)，
将点P(2,1)的坐标代入可得＋＝1，
解得λ＝2(λ＝－2舍去)，
所以所求双曲线方程为－y2＝1.
2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A 由焦距为2，得c＝.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝.又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.
3．过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A 因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1.
4．经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为____________．
解析：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
因为所求双曲线经过点P(3,2)，Q(－6，7)，
所以解得
故所求双曲线方程为－＝1.
答案：－＝1
5．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．
解析：设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ>0)，即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
[怎样快解·准解]
求双曲线标准方程的2种方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
[注意] 求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．(如第4题)
双曲线定义的应用主要有两个考查方向：一是利用定义求双曲线的标准方程；二是利用双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值||PF1|－|PF2||＝2a(其中0＜2a＜|F1F2|)与正弦定理、余弦定理结合，解决焦点三角形问题.高考对本考点的考查常以选择题、填空题的形式出现，难度中等.
(一)直接考——利用双曲线的定义求轨迹方程
1．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为( )
A.－＝1(y>0) B.－＝1(x>0)
C.－＝1(y>0) D.－＝1(x>0)
解析：选B 由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)．
[注意] 本题中“P到F1，F2的距离之差为4”而不是“P到F1，F2的距离之差的绝对值为4”，故P点的轨迹是双曲线的一支，而并非双曲线．
(二)迁移考——焦点三角形问题
2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B 由双曲线的方程得a＝1，c＝，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|
＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|
＝22＋|PF1|·|PF2|，
解得|PF1|·|PF2|＝4.
3．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题设条件得|PF1|＋|PF2|＝3b，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a，两个式子平方相减得|PF1|·|PF2|＝，则＝ab，整理得(3b－4a)·(3b＋a)＝0，即＝，所以e＝ ＝.
答案：
[解题师说]
1．迁移要准
看到与焦点三角形有关的问题?想到双曲线的定义及余弦定理的应用．
2．方法要熟
(1)根据动点与两定点的距离的差的绝对值判断动点的轨迹是否为双曲线，进而根据条件求出双曲线的方程．
(2)在焦点三角形中常利用余弦定理，结合双曲线的定义式||PF1|－|PF2||＝2a，建立|PF1|·|PF2|的联系．
3．结论要记
焦点三角形的特征，如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)△PF1F2的面积S＝|PF1|·|PF2|·sin θ＝b2·＝.
(2)若焦点三角形PF1F2的内切圆与F1F2切于点Q，则点Q为双曲线的顶点．
[冲关演练]
1．已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为( )
A．48 B．24
C．12 D．6
解析：选B 由双曲线的定义可得
|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，
由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，
因此S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24.
2．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为________．
解析：由双曲线的标准方程为－＝1，得a＝2，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|，当AB是双曲线的通径时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝＋8＝10.
答案：10
双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率和渐近线是双曲线的两个重要性质，解决此类问题的关键在于构造含有a，b，c的等式或不等式，一般以选择题或填空题形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏上.,常见的命题角度有：
(1)求双曲线的离心率(或范围)；
(2)求双曲线的渐近线方程；
(3)求双曲线的方程.
[题点全练]
角度(一) 求双曲线的离心率(或范围)
1．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
解析：双曲线的右顶点为A(a,0)，设点M，N在渐近线y＝x，即bx－ay＝0上，则圆心A到此渐近线的距离d＝＝.又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin 60°＝，即＝，所以e＝＝.
答案：
角度(二) 求双曲线的渐近线方程
2．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1，A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选C 如图，不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点
F(c,0)，且垂直于x轴，所以可求得B，C两点的坐标分别为，.又A1，A2的坐标分别为(－a,0)，(a,0)．
所以＝，＝.
因为A1B⊥A2C，所以·＝0，
即(c＋a)(c－a)－·＝0，
即c2－a2－＝0，所以b2－＝0，故＝1，即＝1.
又双曲线的渐近线的斜率为±，
故该双曲线的渐近线的方程为y＝±x.
角度(三) 求双曲线的方程
3．(2017·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B 由离心率为，可知a＝b，c＝a，
所以F(－a,0)，
由题意知kPF＝＝＝1，
所以a＝4，解得a＝2，
所以双曲线的方程为－＝1.
[题“根”探求]
看个性
角度(一)：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)；
角度(二)：求渐近线时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系：k＝±＝±＝±
＝±；
角度(三)：求双曲线的方程时，将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，列出未知参数的方程，解方程后即可求出双曲线方程
找共性
求解双曲线的几何性质问题，其通用的方法是利用方程思想解题，其思维流程是：
[冲关演练]
1．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则双曲线C2的渐近线方程为( )
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
解析：选A 椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，所以a4－b4＝a4，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝± x，即x±y＝0.
2．已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(2,1＋) D．(1,1＋)
解析：选B 若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B.
3．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意知a＝，b＝1，c＝，
设F1(－，0)，F2(，0)，
则＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．
∵·<0，
∴(－－x0)(－x0)＋y<0，即x－3＋y<0.
∵点M(x0，y0)在双曲线C上，
∴－y＝1，即x＝2＋2y，
∴2＋2y－3＋y<0，∴－
0，b>0)．
由题意得B(2,0)，C(2,3)，
∴解得
∴双曲线的标准方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
10．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示．
∵四边形OABC为正方形，|OA|＝2，
∴c＝|OB|＝2，∠AOB＝.
∵直线OA是渐近线，方程为y＝x，
∴＝tan∠AOB＝1，即a＝b.
又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
答案：2
B级——中档题目练通抓牢
1．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B 法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为－＝k(k>0)，即－＝1，∵双曲线C与椭圆＋＝1有公共焦点，∴4k＋5k＝12－3，解得k＝1，故双曲线C的方程为－＝1.
法二：根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，
可知＝.①
又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，
所以a2＋b2＝9.②
根据①②可知a2＝4，b2＝5，
所以C的方程为－＝1.
2．(2018·郑州质量检测)已知P(x，y)(其中x≠0)为双曲线－x2＝1上任一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则△PAB的面积为( )
A. B.
C. D．与点P的位置有关
解析：选C 双曲线－x2＝1的渐近线方程为y＝±2x，因为PA，PB分别垂直于双曲线的两条渐近线，故设方程y＝2x的倾斜角为α，则tan α＝2，所以tan∠APB＝tan 2α＝＝－，sin∠APB＝，|PA|·|PB|＝·＝＝，因此△PAB的面积S＝|PA|·|PB|sin∠APB＝××＝，故选C.
3．过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为( )
A．10 B．13
C．16 D．19
解析：选B 由题可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，因此|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13.
4．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则双曲线E的离心率为________．
解析：不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∴M点的坐标为.
∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，
∴c＝a，e＝＝.
答案：
5．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A，B，若＝，则双曲线的渐近线方程为____________．
解析：由得x＝－，由
解得x＝，不妨设xA＝－，xB＝，
由＝可得－＋c＝＋，
整理得b＝3a.
所以双曲线的渐近线方程为3x±y＝0.
答案：3x±y＝0
6．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
解：(1)∵e＝，
∴双曲线的实轴、虚轴相等．
则可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
∵双曲线过点(4，－)，
∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为－＝1.
(2)证明：不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，
则＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵M点在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底边长|F1F2|＝4.
由(2)知m＝±.
∴△F1MF2的高h＝|m|＝，
∴S△F1MF2＝×4×＝6.
7．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求椭圆和双曲线的方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
解：(1)由题知c＝，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
双曲线方程为－＝1(m>0，n>0)，
则
解得a＝7，m＝3.则b＝6，n＝2.
故椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.
又|F1F2|＝2，
所以cos∠F1PF2＝
＝＝.
C级——重难题目自主选做
1．已知F1，F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以F1F2
为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，PF1与双曲线相交于点Q，且|PQ|＝2|QF1|，则该双曲线的离心率为( )
A. B．2
C. D.
解析：选A 如图，连接PF2，QF2.
由|PQ|＝2|QF1|，可设|QF1|＝m，则|PQ|＝2m，|PF1|＝3m.
由|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝|PF1|－2a＝3m－2a.由|QF2|－|QF1|＝2a，得|QF2|＝|QF1|＋2a＝m＋2a.∵点P在以F1F2为直径的圆上，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，|PQ|2＋|PF2|2＝|QF2|2.由|PQ|2＋|PF2|2＝|QF2|2，得(2m)2＋(3m－2a)2＝(m＋2a)2，解得m＝a，∴|PF1|＝3m＝4a，|PF2|＝3m－2a＝2a.∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，|F1F2|＝2c，∴(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，化简得c2＝5a2，∴双曲线的离心率e＝＝.
2．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．
解析：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3，0)，F1(－3,0)．
当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长为|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.
因为|AF|＝＝15为定值，
所以当|AP|＋|PF1|最小时，△APF的周长最小，
由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．
由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，
由
得y2＋6y－96＝0，
解得y＝2或y＝－8(舍去)，
所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F
＝×6×6－×6×2＝12.
答案：12
(二)重点高中适用作业
A级——保分题目巧做快做
1．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.
2．(2017·天津高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
解析：选D 由△OAF是边长为2的等边三角形可知，c＝2，＝tan 60°＝.又c2＝a2＋b2，联立可得a＝1，b＝，∴双曲线的方程为x2－＝1.
3．设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为∠F1AF2＝90°，故|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，又|AF1|＝3|AF2|，且|AF1|－|AF2|＝2a，所以|AF1|＝3a，|AF2|＝a，则10a2＝4c2，即＝，故e＝＝(负值舍去)．
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2
为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若|MF1|－|MF2|＝2b，该双曲线的离心率为e，则e2＝( )
A．2 B.
C. D.
解析：选D 由题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，联立得即点M(a，b)，则|MF1|－|MF2|＝－＝2b，即－＝2，－＝2，化简得，e4－e2－1＝0，解得e2＝.
5．(2018·广东广雅中学、江西南昌二中联考)设F为双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，若线段OF的垂直平分线与双曲线的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为|OF|，则双曲线的离心率为( )
A．2 B.
C．2 D．3
解析：选B 双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，线段OF的垂直平分线为直线x＝，将x＝代入y＝x，则y＝，则交点坐标为，
到直线y＝－x(即bx＋ay＝0)的距离d＝＝|OF|＝，
得c＝2b＝2，即4a2＝3c2，
则双曲线的离心率e＝＝，故选B.
6．若点P是以A(－3,0)，B(3,0)为焦点，实轴长为2的双曲线与圆x2＋y2＝9的一个交点，则|PA|＋|PB|＝________.
解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PA|＞|PB|.
因为点P是双曲线与圆的交点，
所以由双曲线的定义知，|PA|－|PB|＝2，①
又|PA|2＋|PB|2＝36，②
联立①②化简得2|PA|·|PB|＝16，
所以(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA|·|PB|＝52，所以|PA|＋|PB|＝2.
答案：2
7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为________．
解析：由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，
又已知|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a.
在△PF1F2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝－e2，
要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，
∵cos∠F1PF2≥－1，∴cos∠F1PF2＝－e2≥－1，
解得e≤，即e的最大值为.
答案：
8．已知l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若·＝0，则点P到x轴的距离为________．
解析：由题意知F1(－，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为y＝x，点P(x0，x0)，由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，故点P到x轴的距离为|x0|＝2.
答案：2
9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
解：(1)∵e＝，
∴双曲线的实轴、虚轴相等．
则可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
∵双曲线过点(4，－)，
∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为－＝1.
(2)证明：不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，
则＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵M点在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底边长|F1F2|＝4.
由(2)知m＝±.
∴△F1MF2的高h＝|m|＝，
∴S△F1MF2＝×4×＝6.
10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.
解：(1)∵双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，
∴解得c＝3，b＝，
∴双曲线的方程为－＝1.
(2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3,0)，
∴经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为
y＝(x－3)．
联立得5x2＋6x－27＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
所以|AB|＝× ＝.
B级——拔高题目稳做准做
1．(2018·石家庄二中月考)已知直线l1，l2是双曲线C：－y2＝1的两条渐近线，点P是双曲线C上一点，若点P到渐近线l1距离的取值范围是，则点P到渐近线l2距离的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设点P(x0，y0)，由题可设渐近线l1：x－2y＝0，渐近线l2：x＋2y＝0，由点P到直线l1的距离d1＝，点P到直线l2的距离d2＝，有d1d2＝·＝，又－y＝1，即x－4y＝4，则d1d2＝，则d2＝，由d2与d1成反比，且d1∈，所以d2∈.故选A.
2．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．
解析：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3，0)，F1(－3,0)．
当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长为|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.
因为|AF|＝＝15为定值，
所以当|AP|＋|PF1|最小时，△APF的周长最小，
由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．
由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，
由
得y2＋6y－96＝0，
解得y＝2或y＝－8(舍去)，
所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F
＝×6×6－×6×2＝12.
答案：12
3．(2018·石家庄质量检测)已知F为双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M，N两点，且·＝0，△MNF的面积为ab，则该双曲线的离心率为________．
解析：因为·＝0，所以⊥.
设双曲线的左焦点为F′，
则由双曲线的对称性知四边形F′MFN为矩形，
则有|MF|＝|NF′|，|MN|＝2c.
不妨设点N在双曲线右支上，
由双曲线的定义知，|NF′|－|NF|＝2a，
所以|MF|－|NF|＝2a.
因为S△MNF＝|MF|·|NF|＝ab，
所以|MF||NF|＝2ab.
在Rt△MNF中，|MF|2＋|NF|2＝|MN|2，
即(|MF|－|NF|)2＋2|MF||NF|＝|MN|2，
所以(2a)2＋2·2ab＝(2c)2，
把c2＝a2＋b2代入，并整理，得＝1，
所以e＝＝ ＝.
答案：
4．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以OF1(O为坐标原点)为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为________．
解析：如图，在圆O中，F1F2为直径，P是圆O上一点，所以PF1⊥PF2，设以OF1为直径的圆的圆心为M，且圆M与直线PF2相切于点Q，则M，MQ⊥PF2，所以PF1∥MQ，所以＝，即
＝，可得|PF1|＝，所以|PF2|＝＋2a，又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以＋2＝4c2，即7e2－6e－9＝0，解得e＝，e＝(舍去)．
答案：
5．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求椭圆和双曲线的方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
解：(1)由题知c＝，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
双曲线方程为－＝1(m>0，n>0)，
则
解得a＝7，m＝3.则b＝6，n＝2.
故椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.
又|F1F2|＝2，
所以cos∠F1PF2＝
＝＝.
6．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意知解得
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