【数学】2020届一轮复习人教A版第二章第3节函数的奇偶性与周期性学案

【数学】2020届一轮复习人教A版第二章第3节函数的奇偶性与周期性学案

第3节　函数的奇偶性与周期性 最新考纲　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.‎ 知 识 梳 理 ‎1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 ‎2.函数的周期性 ‎(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.‎ ‎(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.‎ ‎[微点提醒]‎ ‎1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.‎ ‎(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).‎ ‎2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.‎ ‎3.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x：‎ ‎(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).‎ ‎(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).‎ ‎(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).‎ ‎4.对称性的三个常用结论 ‎(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.‎ ‎(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.‎ ‎(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.‎ 基 础 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.(　　)‎ ‎(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　)‎ ‎(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.(　　)‎ ‎(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.(　　)‎ 解析　(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错.‎ ‎(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错.‎ ‎(3)由周期函数的定义，(3)正确.‎ ‎(4)由于y＝f(x＋b)的图象关于(0，0)对称，根据图象平移变换，知y＝f(x)的图象关于(b，0)对称，正确.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2.(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是(　　)‎ A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x C.y＝|ln x| D.y＝2－x 解析　根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.‎ 答案　B ‎3.(必修4P46A10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________.‎ 解析　由题意得，f＝f＝－4×＋2＝1.‎ 答案　1‎ ‎4.(2019·衡水模拟)下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)‎ A.y＝x3 B.y＝x C.y＝|x| D.y＝|tan x|‎ 解析　对于A，y＝x3为奇函数，不符合题意；‎ 对于B，y＝x是非奇非偶函数，不符合题意；‎ 对于D，y＝|tan x|是偶函数，但在区间(0，＋∞)上不单调递增.‎ 答案　C ‎5.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.‎ 解析　∵x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，且f(x)在R上为奇函数，‎ ‎∴f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.‎ 答案　12‎ ‎6.(2019·上海崇明二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则当x∈[1，2]时，f(x)＝________.‎ 解析　当x∈[1，2]时，x－2∈[－1，0]，2－x∈[0，1]，‎ 又f(x)在R上是以2为周期的偶函数，‎ ‎∴f(x)＝f(x－2)＝f(2－x)＝log2(2－x＋1)＝log2(3－x).‎ 答案　log2(3－x)‎ 考点一　判断函数的奇偶性 ‎【例1】 判断下列函数的奇偶性：‎ ‎(1)f(x)＝＋；‎ ‎(2)f(x)＝；‎ ‎(3)f(x)＝ 解　(1)由得x2＝3，解得x＝±，‎ 即函数f(x)的定义域为{－，}，‎ 从而f(x)＝＋＝0.‎ 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.‎ ‎(2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.‎ ‎∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.‎ 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，‎ ‎∴函数f(x)为奇函数.‎ ‎(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.‎ ‎∵当x<0时，－x>0，‎ 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；‎ 当x>0时，－x<0，‎ 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；‎ 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.‎ 规律方法　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：‎ ‎(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；‎ ‎(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.‎ ‎【训练1】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)‎ A.y＝x＋sin 2x B.y＝x2－cos x C.y＝2x＋ D.y＝x2＋sin x ‎(2)已知f(x)＝，g(x)＝，则下列结论正确的是(　　)‎ A.f(x)＋g(x)是偶函数 B.f(x)＋g(x)是奇函数 C.f(x)g(x)是奇函数 D.f(x)g(x)是偶函数 解析　(1)对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数.‎ ‎(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，‎ 因为f(x)＝，g(x)＝，‎ 所以h(x)＝＋＝，‎ 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).‎ 因为h(－x)＝＝＝h(x)，‎ 所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数，‎ 令F(x)＝f(x)g(x)＝，‎ 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).‎ 所以F(－x)＝＝，‎ 因为F(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)，‎ 所以F(x)＝g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数.‎ 答案　(1)D　(2)A 考点二　函数的周期性及其应用 ‎【例2】 (1)(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)‎ A.－50 B.0 C.2 D.50‎ ‎(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.‎ 解析　(1)法一　∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).‎ ‎∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).‎ 因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，‎ 由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，‎ 故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0‎ 令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，‎ 令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，‎ 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，‎ 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.‎ 法二　取一个符合题意的函数f(x)＝2sin，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列.‎ 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.‎ ‎(2)因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，‎ 则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.‎ 又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，‎ 故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.‎ 答案　(1)C　(2)7‎ 规律方法　1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.‎ ‎2.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.‎ ‎【训练2】 (1)(2018·南充二模)设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x(1＋x)，则f＝(　　)‎ A.－ B.－ C. D. ‎(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.‎ 解析　(1)∵f(x)是周期为4的奇函数，‎ ‎∴f＝－f＝－f，‎ 又0≤x≤1时，f(x)＝x(1＋x)，‎ 故f＝－f＝－＝－.‎ ‎(2)∵f(x＋4)＝f(x－2)，‎ ‎∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)，‎ ‎∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，‎ 又f(x)在R上是偶函数，‎ ‎∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6.‎ 答案　(1)A　(2)6‎ 考点三　函数性质的综合运用　多维探究 角度1　函数单调性与奇偶性 ‎【例3－1】 (2019·石家庄模拟)设f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为(　　)‎ A.[－3，3] B.[－2，4] C.[－1，5] D.[0，6]‎ 解析　因为f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，‎ 所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，‎ 由函数f(x)在[－6，0]上为增函数，得f(x)在(0，6]上为减函数.故f(x－1)≥f(3)⇒f(|x－1|)≥f(3)⇒|x－1|≤3，故－2≤x≤4.‎ 答案　B 规律方法　1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.‎ ‎2.本题充分利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程.‎ 角度2　函数的奇偶性与周期性 ‎【例3－2】 (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋5)＝f(x)，且当x∈时，f(x)＝x3－3x，则f(2 018)＝(　　)‎ A.2 B.－18 C.18 D.－2‎ ‎(2)(2018·洛阳模拟)已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝(　　)‎ A. B. C.π D. 解析　(1)∵f(x)满足f(x＋5)＝f(x)，‎ ‎∴f(x)是周期为5的函数，‎ ‎∴f(2 018)＝f(403×5＋3)＝f(3)＝f(5－2)＝f(－2)，‎ ‎∵f(x)是奇函数，且当x∈时，f(x)＝x3－3x，‎ ‎∴f(－2)＝－f(2)＝－(23－3×2)＝－2，故f(2 018)＝－2.‎ ‎(2)由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知f(－x)＝f(x)，且f(x＋2)＝f(－x＋2)，则f(x＋2)＝f(x－2).‎ ‎∴f(x＋4)＝f(x)，则y＝f(x)的周期为4.‎ 所以F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝.‎ 答案　(1)D　(2)B 规律方法　周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.‎ ‎【训练3】 (1)(2019·重庆九校模拟)已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________.‎ ‎(2)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数t满足f(ln t)＋f≤2f(1)，那么t的取值范围是________.‎ 解析　(1)根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)，‎ 又由函数为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，‎ 则有f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)，‎ 则f(x)的最小正周期是12，‎ 故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2.‎ ‎(2)由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，‎ 所以f(ln t)＝f，‎ 由f(ln t)＋f≤2f(1)，‎ 得f(ln t)≤f(1).‎ 又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，‎ 所以|ln t|≤1，即－1≤ln t≤1，故≤t≤e.‎ 答案　(1)2　(2) ‎[思维升华]‎ ‎1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.‎ ‎2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：‎ ‎(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.‎ ‎3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.‎ ‎2.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.‎ 数学运算——活用函数性质中“三个二级”结论 数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展.通过常见的“二维结论”‎ 解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.‎ 类型1　奇函数的最值性质 已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.‎ ‎【例1】 设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.‎ 解析　显然函数f(x)的定义域为R，‎ f(x)＝＝1＋，‎ 设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，‎ ‎∴g(x)为奇函数，‎ 由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，‎ ‎∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.‎ 答案　2‎ 类型2　抽象函数的周期性 ‎(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.‎ ‎(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.‎ ‎(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.‎ ‎【例2】 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝(　　)‎ A.3 B.2 C.1 D.0‎ 解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，‎ 所以f(－2 017)＝－f(2 017)，‎ 因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，‎ 所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次.‎ 又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，‎ ‎∴f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2，‎ f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3.‎ 故f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋3＝1.‎ 答案　C 类型3　抽象函数的对称性 已知函数f(x)是定义在R上的函数.‎ ‎(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.‎ ‎(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称.‎ ‎【例3】 (2018·日照调研)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为________.‎ 解析　因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，‎ 所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称，‎ 所以f(x)是R上的奇函数，‎ f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.‎ 所以f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，‎ 所以f(2 016)＋f(2 018)＝－f(2 014)＋f(2 014＋4)＝－f(2 014)＋f(2 014)＝0，‎ 所以f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝4.‎ 答案　4‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是(　　)‎ A.y＝|log3x| B.y＝x3‎ C.y＝e|x| D.y＝cos |x|‎ 解析　对于A选项，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，显然B项中，y＝x3是奇函数.‎ 对于C选项，函数的定义域是R，是偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，正确.‎ 对于D选项，y＝cos |x|在(0，1)上单调递减.‎ 答案　C ‎2.(一题多解)(2019·河北“五个一”名校联盟二模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝ 则g(－8)＝(　　)‎ A.－2 B.－3 C.2 D.3‎ 解析　法一　当x<0时，－x>0，且f(x)为奇函数，‎ 则f(－x)＝log3(1－x)，所以f(x)＝－log3(1－x).‎ 因此g(x)＝－log3(1－x)，x<0，‎ 故g(－8)＝－log39＝－2.‎ 法二　由题意知，g(－8)＝f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2.‎ 答案　A ‎3.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2，0)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)等于(　　)‎ A.－2 B.2 C.－98 D.98‎ 解析　由f(x＋4)＝f(x)知，f(x)是周期为4的函数，‎ f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)，‎ 又f(x＋4)＝f(x)，∴f(3)＝f(－1)，‎ 由－1∈(－2，0)得f(－1)＝2，‎ ‎∴f(2 019)＝2.‎ 答案　B ‎4.(一题多解)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A.alog25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，‎ ‎∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b.‎ 法二　(特殊化)取f(x)＝x，则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log25.1>20.8，‎ 从而可得c>a>b.‎ 答案　C ‎5.(2019·山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)是偶函数，不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是(　　)‎ A.[－3，1] B.[－4，2]‎ C.(－∞，－3]∪[1，＋∞) D.(－∞，－4]∪[2，＋∞)‎ 解析　因为f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以f(x)的图象关于x＝1对称，由f(m＋2)≥f(x－1)得|(m＋2)－1|≤|(x－1)－1|，即|m＋1|≤|x－2|在x∈[－1，0]恒成立，所以|m＋1|≤|x－2|min，所以|m＋1|≤2，解得－3≤m≤1.‎ 答案　A 二、填空题 ‎6.若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.‎ 解析　f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋)为奇函数，‎ 所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，‎ 则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.‎ 答案　1‎ ‎7.若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当00，‎ 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.‎ 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).‎ 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，‎ 所以m＝2.‎ ‎(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，‎ 结合f(x)的图象知所以10，则x的取值范围为(　　)‎ A.{x|02}‎ B.{x|x<0或x>2}‎ C.{x|x<0或x>3}‎ D.{x|x<－1或x>1}‎ 解析　由题意知函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－1)＝0，‎ 不等式f(x－1)>0⇔f(x－1)>f(1)或f(x－1)>f(－1).‎ ‎∴x－1>1或0>x－1>－1，‎ 解之得x>2或0

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