2012全国各地高考数学试题分类汇编解析几何

2012全国各地高考数学试题分类汇编解析几何

‎2012全国各地高考数学试题分类汇编 ‎（解析几何）‎ ‎1.（2012安徽理）（本小题满分13分）‎ ‎ 如图，分别是椭圆 ‎ 的左，右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，‎ 过点作直线的垂线交直线于点；‎ ‎（I）若点的坐标为；求椭圆的方程；‎ ‎（II）证明：直线与椭圆只有一个交点。‎ ‎2.设；则 ‎ 得： ‎ ‎ 过点与椭圆相切的直线斜率 ‎ 得：直线与椭圆只有一个交点。‎ ‎3. (2012安徽文)（本小题满分13分）‎ 如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，=60°.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）已知△的面积为40，求a, b 的值. ‎ ‎4．(2012北京理)（（本小题共14分）‎ 已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)‎ （1） 若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；‎ （2） 设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线。‎ ‎5. (2012福建理)（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为几点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线上两点的极坐标分别为，圆的参数方程为参数）。‎ ‎（Ⅰ）设为线段的中点，求直线的平面直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）判断直线与圆的位置关系。‎ ‎6. (2012福建理)（本小题满分13分）‎ 如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于两点，且的周长为8。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程。‎ ‎（Ⅱ）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点。试探究：‎ ‎ 在坐标平面内是否存在定点，使得以 · 为直径的圆恒过点？若存在，求出 点的坐标；若不存在，说明理由。‎ ‎7. (2012广东理)（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为3. （1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆：相交于不同的两点，且△的面积最大？若存在，求出点 的坐标及相对应的△的面积；若不存在，请说明理由。‎ ‎8. （2012广东理）（本小题满分14分）‎ ‎ 点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线L:x=的距离的比是常数。且直线L为4x-5y+40=0，设点M的运动轨迹为C。求：‎ ‎（1）轨迹为C的方程；‎ ‎（2）轨迹为C上是否存在一点，它到直线L的距离最小？最小距离是多小？‎ ‎9．（2012湖南文）（本小题满分12分）如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，‎ 底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．‎ ‎（Ⅰ）证明：BD⊥PC；‎ ‎（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．‎ ‎10．（2012湖南文）（本小题满分13分）在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为 的椭圆E的一个焦点为 圆C：的圆心．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2．‎ 当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．‎ ‎11．（2012湖北理）（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系. 已知射线与曲线（t为参数）‎ 相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为 .‎ 解析：在直角坐标系下的一般方程为，将参数方程（t为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为表示一条抛物线，联立上面两个方程消去有，设两点及其中点的横坐标分别为，则有韦达定理,又由于点点在直线上，因此的中点.‎ ‎12．（2012湖北理）（本小题满分13分）‎ 设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； ‎ ‎（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. ‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）如图1，设，，则由，‎ 可得，，所以，. ①‎ 因为点在单位圆上运动，所以. ②‎ 将①式代入②式即得所求曲线的方程为. ‎ 因为，所以 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，‎ 两焦点坐标分别为，；‎ 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，‎ 两焦点坐标分别为，. ‎ ‎（Ⅱ）解法1：如图2、3，，设，，则，，‎ 直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得 ‎.‎ 依题意可知此方程的两根为，，于是由韦达定理可得 ‎，即.‎ 因为点H在直线QN上，所以.‎ 于是，. ‎ 而等价于，‎ 即，又，得，‎ 故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. ‎ 图2 ‎ 图3 ‎ 图1‎ O D x y A M 第21题解答图 ‎ ‎ ‎ ‎ 解法2：如图2、3，，设，，则，，‎ 因为，两点在椭圆上，所以 两式相减可得 ‎. ③ ‎ 依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，‎ 故. 于是由③式可得 ‎. ④‎ 又，，三点共线，所以，即. ‎ 于是由④式可得.‎ 而等价于，即，又，得，‎ 故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，‎ 都有. ‎ ‎13．（2012湖南理）在直角坐标系xOy 中，已知曲线C1： (t为参数)与曲线C2：‎ ‎ (为参数， ) 有一个公共点在轴上，则a= ．‎ 解：化为普通方程得C1：、C2：，‎ 将其交点代入曲线C2得，∴．‎ ‎14．（2012湖南理）（本小题满分13分）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在圆C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P(x0，y0)（）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．‎ 解：（Ⅰ）解法1 设M的坐标为，由已知得．‎ 易知圆上的点位于直线的右侧，于是，所以 ‎．‎ 化简得曲线的方程为．‎ 解法2 由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于 它到直线的距离．因此，曲线是以为焦点，‎ 直线为准线的抛物线．故其方程为．‎ ‎（Ⅱ）当点P在直线上运动时，P的坐标为，又，‎ 则过P且与圆相切得直线的斜率存在且不为0，‎ 每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为，‎ 即．于是 整理得 ①‎ 设过P所作的两条切线的斜率分别为，‎ 则是方程①的两个实根．故 ②‎ 由得 ③‎ 设四点A，B，C，D的纵坐标分别为，‎ 则是方程③的两个实根，所以 ④‎ 同理可得 ⑤‎ 于是由②，④，⑤三式得 ‎．‎ 所以，当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400．‎ ‎15.（2012江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，已知点和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ A B P y x F1‎ F2‎ O ‎(2)设A, B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P， (i)若，求直线的斜率；‎ ‎ (ii)求证：是定值 解(1)由题设知.‎ 由点(1,e)在椭圆上，‎ 得 解得，于是，‎ 又点在椭圆上，所以，即，解得 因此，所求椭圆的方程是.‎ ‎(2)由(1)知,又直线与平行,所以可设直线的方程为 ‎,直线的方程为.设 由得,解得 故①‎ 同理, ②‎ ‎(ⅰ)由①②得解得，‎ 因为，故，所以直线的斜率为 ‎（ⅱ）因为直线与平行,所以,于是 故.由点B在椭圆上知 从而.同理 因此 又由①②知 所以.因此是定值.‎ ‎16. （2012江西文）（本小题满分13分）‎ 已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x,y）满足 ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）点Q（x0,y0）(-20,.‎ 当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，, ±3）‎ 当∠MBA≠90°时；x≠2.由∠MBA=2∠MAB,‎ 有tan∠MBA=,即 化简得：3x2-y2-3=0,而又经过（2，,±3）‎ 综上可知，轨迹C的方程为3x2-y2-3=0（x>1）‎ ‎(II)由方程消去y，可得.（*）‎ 由题意，方程（*）有两根且均在（1，+）内，设 所以 解得，m>1,且m2‎ 设Q、R的坐标分别为，由有 所以 由m>1，且m2，有 所以的取值范围是 ‎ ‎28．（2012四川文）(本小题满分12分) ‎ 如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为4，设动点的轨迹为C．‎ ‎（Ⅰ）求轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）设M的坐标为，当时，直线MA的斜率不存在；当时，直线MB的斜率不存在，于是．此时，MA的斜率为，MB的斜率为．‎ 由题意，有，化简可得，．‎ 故动点的轨迹为C的方程为（）．‎ ‎（Ⅱ）联立消去y，可得．（*）‎ 对于方程（*），其判别式，‎ 而当－1或1为方程（*）的根时，m的值为－1或1．‎ 结合题设（）可知，且．‎ 设的坐标分别为、，则、为方程（*）的两根．‎ 因为，所以，，．‎ 所以，‎ 此时，且，所以，且，‎ 所以，且．‎ 综上所述，的取值范围是．‎ ‎29.(2012天津理)（本小题满分14分）设椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若，证明直线的斜率满足.‎ 解析 (1) 解:设点,由题意得 ‎①‎ 由得 由可得代入①并整理得 ‎,由于,‎ 故,于是,所以椭圆的离心率为 (1) 证明:依题意直线OP的方程,设点,有条件得 消去并整理得②‎ 由及得整理得 而,于是,代入②整理得 ‎,由,故 即,所以.‎ ‎30.（2012天津文）（本小题满分14分）‎ 已知椭圆（a>b>0）,点在椭圆上。‎ ‎（I）求椭圆的离心率。‎ ‎（II）设A为椭圆的右顶点，O为坐标原点，若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线的斜率的值。‎ 解(1)因为点在椭圆上,故 于是,所以椭圆的离心率为 ‎(2)设直线OQ的斜率为k,则其方程为,设点Q的坐标为 有条件得，消去并整理得①‎ 由得整理得 ‎，而，故，代人①整理得 由（1）知，故.‎ 所以直线OQ的斜率 ‎31．（2012浙江理）(本小题满分15分)如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程；‎ ‎(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程．‎ 解【解析】（I）点代入 得：‎ ‎ ①‎ ‎ 又 ② ③‎ ‎ 由①②③得： 既椭圆的方程为 ‎【解析】（I）‎ ‎ （Ⅱ）设；则 ‎ 在中，‎ ‎ ‎ ‎ 面积 解:（1）原曲线方程可化简得：‎ 由题意可得：，解得：‎ ‎（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，‎ ‎，解得： 由韦达定理得：①，，②‎ 设，，‎ 方程为：，则，‎ ‎，，‎ 欲证三点共线，只需证，共线 即成立，化简得：‎ 将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意知，因为是线段中点，则 因此直角坐标方程为：‎ ‎（Ⅱ）因为直线上两点 ‎∴垂直平分线方程为：，圆心，半径.‎ ‎,故直线和圆相交.‎ 解：（Ⅰ）设 ‎ 则 ‎ 的周长为 ‎ 椭圆的方程为 ‎（Ⅱ）由对称性可知设与 ‎ ‎ ‎ 直线 ‎ （*）‎ ‎ （*）对恒成立， 得 解：（1）由题意， ‎ ‎ 令椭圆上任意一点，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ ‎， ‎ 椭圆的方程为 （1） 假设存在满足题设的，令到的距离为，则 ‎ ‎ ‎ ，‎ 令则 ‎ ‎ ‎“=”成立时，即 ‎ 又， ‎ ‎ ， ‎ ‎ 存在点，，，满足条件，使△的面积最大为。‎ 解（１）设d是点M到直线L：x=的距离，‎ 点M的轨迹集合为：P={M∣}‎ 即，化简的：‎ 所以轨迹为C的方程为：‎ ‎（２）设直线m平行直线L，则直线m的方程为：4x-5y+k=0‎ 由 消去y，得 ‎ 令△=0 得 ‎ ‎ 解得 ，或 ‎ 由图知，当k=25时，直线m与椭圆的交点到直线L的距离最小，此时直线m 的方程为4x-5y+25=0‎ ‎ 所以 ‎ 最小距离为.‎ 解：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以．‎ ‎ 又AC⊥BD，是平面内的两条相交直线，所以平面．‎ ‎ 而平面ABC，所以．‎ ‎（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连结，由（Ⅰ）知，平面，‎ ‎ 所以是直线PD和平面PAC所成的角．从而30°．‎ ‎　　　由平面，平面ABC知，．‎ ‎　　　在中，由30°得．‎ 因为ABCD为等腰梯形， AC⊥BD，所以均为等腰直角三角形．‎ 从而梯形ABCD的高为，于是梯形ABCD的面积 ‎．在等腰直角三角形中，‎ 所以，．故四棱锥P-ABCD的体积为 ‎．‎ 解：（Ⅰ）由得，故圆C的圆心为点．‎ ‎ 从而可设椭圆E的方程为，其焦距为．‎ ‎　　　　 由题设知，．所以，．‎ ‎　　　　 故椭圆E的方程为．‎ ‎　 （Ⅱ）设点P的坐标为，，的斜率分别为，．则，的方程分别为 ‎　　　　 :，:，且．‎ ‎ 由与圆C：相切得，‎ 即．‎ 同理可得．‎ 从而，是方程的两个实根．‎ 于是 ①‎ 且．‎ 由得．解得，或．‎ 由得；由得，它们均满足①式．‎ 故点P的坐标为，或，或，或．‎ ‎：(Ⅰ)由题：； (1)‎ 左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：． (2)‎ 由(1) (2)可解得：．‎ ‎∴所求椭圆C的方程为：．‎ ‎(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．‎ ‎∵A，B在椭圆上，‎ ‎∴．‎ 设直线AB的方程为l：y＝﹣(m≠0)，‎ 代入椭圆：．‎ 显然．‎ ‎∴﹣＜m＜且m≠0．‎ 由上又有：＝m，＝．‎ ‎∴|AB|＝||＝＝．‎ ‎∵点P(2，1)到直线l的距离为：．‎ ‎∴SABP＝d|AB|＝|m＋2|，‎ 当|m＋2|＝，即m＝﹣3 or m＝0(舍去)时，(SABP)max＝．‎ 此时直线l的方程y＝﹣．‎ ‎32．(2012浙江文)（本题满分14分）如图，在直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为。点是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。‎ ‎⑴求的值。‎ ‎⑵求面积的最大值。‎ 解：由题意知 设线段的中点为 ‎ 由 ‎ 故 ‎ ‎ 所以直线的方程为 ‎ 由 ‎ 所以 ‎ 从而 ‎ 设点到直线的距离为则 ‎ 设的面积为则 ‎ 由 令 ‎ 令 ‎ 所以 ‎ 故面积的最大值为