2020-2021学年高一数学上册课时同步练：单调性的定义与证明

2020-2021学年高一数学上册课时同步练：单调性的定义与证明

第三单元 函数 第 19 课 单调性的定义与证明 一、基础巩固 1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数 y＝f(x)，则下列关于函数 f(x)的说法错误的是( ) A．函数在区间[－5，－3]上单调递增 B．函数在区间[1,4]上单调递增 C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减 D．函数在区间[－5,5]上没有单调性 【答案】C 【解析】由题图可知，f(x)在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故 选 C. 2．若函数 f(x)＝(2a－1)x＋b 在 R 上是单调减函数，则有( ) A．a≥1 2 B．a≤1 2 C．a>1 2 D．a<1 2 【答案】D 【解析】函数 f(x)＝(2a－1)x＋b 在 R 上是单调减函数，则 2a－1<0，即 a<1 2.故选 D. 3．函数 y＝ 1 x－1在[2,3]上的最小值为( ) A．2 B.1 2 C.1 3 D．－1 2 【答案】B 【解析】∵函数 y＝ 1 x－1在[2,3]上单调递减，∴当 x＝3 时，ymin＝ 1 3－1＝1 2. 4．如果函数 f(x)＝x2－2bx＋2 在区间[3，＋∞)上是增函数，则 b 的取值范围为( ) A．b＝3 B．b≥3 C．b≤3 D．b≠3 【答案】C 【解析】函数 f(x)＝x2－2bx＋2 的图像是开口向上，且以直线 x＝b 为对称轴的抛物线， 若函数 f(x)＝x2－2bx＋2 在区间[3，＋∞)上是增函数，则 b≤3，故选 C. 5．设函数 f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，a，b∈R 且 a＋b≤0，则下列选项正确的是( ) A．f(a)＋f(b)≤－[f(a)＋f(b)] B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) C．f(a)＋f(b)≥－[f(a)＋f(b)] D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b) 【答案】D 【解析】因为 a＋b≤0，所以 a≤－b 或 b≤－a， 又函数 f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数， 所以 f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)， 所以 f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)． 6．函数 f(x)＝1 x在[1，b](b>1)上的最小值是1 4，则 b＝________. 【答案】4 【解析】因为 f(x)＝1 x在[1，b]上是减函数，所以 f(x)在[1，b]上的最小值为 f(b)＝1 b＝1 4，所以 b＝ 4. 7．若函数 f(x)＝ 1 x＋1在(a，＋∞)上单调递减，则 a 的取值范围是________． 【答案】[－1，＋∞) 【解析】函数 f(x)＝ 1 x＋1的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)， 又 f(x)在(a，＋∞)上单调递减，所以 a≥－1. 8．已知 f(x)在定义域内是减函数，且 f(x)>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________． ①y＝a＋f(x)(a 为常数)；②y＝a－f(x)(a 为常数)； ③y＝ 1 fx；④y＝[f(x)]2. 【答案】②③ 【解析】f(x)在定义域内是减函数，且 f(x)>0 时，－f(x)， 1 fx均为递增函数，故选②③. 9．f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，解不等式 f(x)＞f(8(x－2))． 【答案】2＜x＜16 7 . 【解析】由 f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数得，    x>0， 8x－2>0， x>8x－2， 解得 2＜x＜16 7 . 10．求函数 f(x)＝x＋4 x在[1,4]上的最值． 【答案】 最小值 4，最大值 5 【解析】设 1≤x10， ∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上是减函数． 同理 f(x)在[2,4]上是增函数． ∴当 x＝2 时，f(x)取得最小值 4；当 x＝1 或 x＝4 时，f(x)取得最大值 5. 二、拓展提升 1．定义在 R 上的函数 f(x)，对任意 x1，x2∈R(x1≠x2)，有fx2－fx1 x2－x1 <0，则( ) A．f(3)2>1，则 f(3)4， 其最大值为交点的纵坐标，所以 f(x)的最大值为 6. 5．已知一次函数 f(x)是 R 上的增函数，g(x)＝f(x)(x＋m)，且 f(f(x))＝16x＋5. (1)求 f(x)的解析式； (2)若 g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数 m 的取值范围． 【答案】（1）f(x)＝4x＋1；（ 2） －9 4，＋∞ 【解析】(1)由题意设 f(x)＝ax＋b(a>0)． 从而 f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5， 所以   a2＝16， ab＋b＝5， 解得   a＝4， b＝1 或   a＝－4， b＝－5 3 (不合题意，舍去)． 所以 f(x)的解析式为 f(x)＝4x＋1. (2)g(x)＝f(x)(x＋m)＝(4x＋1)(x＋m)＝4x2＋(4m＋1)x＋m，g(x)图像的对称轴为直线 x＝－4m＋1 8 . 若 g(x)在(1，＋ ∞)上单调递增，则－4m＋1 8 ≤1，解得 m≥－9 4，所以实数 m 的取值范围为 －9 4，＋∞ .