高考数学第九章平面解析几何第2课时直线的方程更多资料关注微博高中学习资料库

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第九章 平面解析几何第2课时　直线的方程 考情分析 考点新知 掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系．‎ ‎① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.‎ ‎②掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.‎ ‎1. 把直线方程Ax＋By＋C＝0(ABC≠0)化成斜截式为________________，化成截距式为________________．‎ 答案：y＝－x－＋＝1‎ 解析：因为ABC≠0，即A≠0，B≠0，C≠0，按斜截式、截距式的形式要求变形即可．斜截式为y＝－x－，截距式为＋＝1.‎ ‎2. (必修2P88习题13改编)过点(3，6)作直线l，使l在x轴，y轴上截距相等，则满足条件的直线方程为__．‎ 答案：x＋y－9＝0，y＝2x 解析：设该直线方程为＋＝1(a≠0)，则＋＝1，所以a ＝9，则该直线方程为x＋y－9＝0；又若过原点，则该直线方程为y＝2x.‎ ‎3. 下列四个命题：‎ ‎①过点P(1，－2)的直线可设为y＋2＝k(x－1)；‎ ‎②若直线在两轴上的截距相等，则其方程可设为＋＝1(a≠0)；‎ ‎③经过两点P(a，2)，Q(b，1)的直线的斜率k＝；‎ ‎④如果AC<0，BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第二象限．‎ 其中正确的是_____________．(填序号)‎ 答案：④‎ ‎4. (必修2P82第1题改编)已知直线l过点P(－2，5)，且斜率为－，则直线l的方程为________．‎ 答案：3x＋4y－14＝0‎ 解析：由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.‎ ‎5. 经过两点(－1，8)和(4，－2)的直线的两点式方程是____________________，截距式方程是__________________，一般式方程是____________________．‎ 答案：＝＋＝1　2x＋y－6＝0‎ ‎1. 直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含直线x＝x0‎ 斜截式 y－y0＝k(x－x0)‎ 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)‎ 截距式 ＋＝1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)‎ 平面直角坐标系内的直线都适用 ‎2. 过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 ‎(1) 若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1．‎ ‎(2) 若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1．‎ ‎(3) 若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为x＝0．‎ ‎(4) 若x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即为x轴，方程为y＝0．‎ ‎3. 线段的中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则 此公式为线段P1P2的中点坐标公式.‎ 题型1　直线方程 例1　求经过点A(2，m)和B(n，3)的直线方程．‎ 解：(解法1)利用直线的两点式方程．直线过点A(2，m)和B(n，3)．‎ ‎①当m＝3时，点A的坐标是A(2，3)，与点B(n，3)的纵坐标相等，则直线AB的方程是y＝3.‎ ‎②当n＝2时，点B的坐标是B(2，3)，与点A(2，m)的横坐标相等，则直线AB的方程是x＝2.‎ ‎③当m≠3，n≠2时，由直线的两点式方程＝得＝.‎ ‎(解法2)利用直线的点斜式方程．‎ ‎①当n＝2时，点A、B的横坐标相同，直线AB垂直于x轴，则直线AB的方程为x＝2.‎ ‎②当n≠2时，过点A，B的直线的斜率是k＝.又∵ 过点A(2，m)，∴由直线的点斜式方程y－y1＝k(x－x1)，得过点A，B的直线的方程是y－m＝(x－2)．‎ 过点P(1，4)引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为正值，且它们的和最小，求这条直线的方程．‎ 解：(解法1)设所求的直线方程为y－4＝k(x－1)．显见，上述直线在x轴、y轴上的截距分别为1－、4－k.由于1－>0且4－k>0可得，k<0.直线在两坐标轴上的截距之和为S＝＋(4－k)＝5＋(－k)＋≥5＋4＝9，当且仅当－k＝－，即k＝－2时，S有最小值9.故所求直线方程为y－4＝－2(x－1)，即2x＋y－6＝0.‎ ‎(解法2)设所求的直线方程为＋＝1(a>0，b>0)．‎ 据题设有＋＝1，①　令S＝a＋b.②‎ ‎①×②，有S＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋4＝9.当且仅当＝时，即‎2a＝b，且＋＝1，也即a＝3，b＝6时，取等号．‎ 故所求的直线方程为＋＝1，即2x＋y－6＝0.‎ 例2　求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．‎ 解：①截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1.‎ ‎∵ l过A(5，2)，∴＋＝1.‎ ‎∴ a＝3.∴ l的方程为x－y－3＝0.‎ ‎②截距为0时，l的方程为2x－5y＝0.‎ 综上①②可得直线l的方程是x－y－3＝0或2x－5y＝0.‎ 直线l经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．‎ 解：解法1：(借助点斜式求解)‎ 由于直线l在两轴上有截距，因此直线不与x、y轴垂直，斜率存在，且k≠0.设直线方程为y－2＝k(x－3)，‎ 令x＝0，则y＝－3k＋2；令y＝0，则x＝3－.‎ 由题设可得－3k＋2＝3－，解得k＝－1或k＝.‎ 故l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)．‎ 即直线l的方程为x＋y－5＝0或2x－3y＝0.‎ 解法2：(利用截距式求解)‎ 由题设，设直线l在x、y轴的截距均为a.‎ 若a＝0，则l过点(0，0)．又过点(3，2)，‎ ‎∴l的方程为y＝x，即l：2x－3y＝0.‎ 若a≠0，则设l为＋＝1.‎ 由l过点(3，2)，知＋＝1，故a＝5.‎ ‎∴l的方程为x＋y－5＝0.‎ 综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.‎ 题型2　直线方程的形式 例3　求经过点A(－2，2)且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小时的直线的方程．‎ 解：(解法1)设所求直线方程为＋＝1(a<0，b>0)，‎ ‎∵＋＝1，∴ a＝.又a<0，∴ b>2.S△＝－ab＝－·＝＝(b＋2)＋＝＋4≥2＋4＝8. 当且仅当b－2＝，即b＝4时S最小．此时a＝－4，b＝4，故x－y＋4＝0为所求直线方程．‎ ‎(解法2)设所求直线方程为y－2＝k(x＋2)，显然k>0，由题意，S△＝|2k＋2|·＝4＋2(k＋)≥8.当且仅当k＝1时取等号，‎ 故x－y＋4＝0为所求直线方程．‎ 直线l过点M(2，1)，且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.点O是坐标原点．‎ ‎(1) 当△ABO的面积最小时，求直线l的方程；‎ ‎(2) 当最小时，求直线l的方程．‎ 解：(1) 如图，设＝a，＝b，△ABO的面积为S，则S＝ab，并且直线l的截距式方程是＋＝1，‎ 由直线通过点(2，1)，得＋＝1，‎ 所以＝＝.‎ 因为A点和B点在x轴、y轴的正半轴上，所以上式右端的分母b－1>0.由此得 S＝×b＝×b＝＝b＋1＋ ‎＝b－1＋＋2≥2＋2＝4.‎ 当且仅当b－1＝，即b＝2时，面积S取最小值4，这时a＝4，直线的方程为＋＝1.‎ 即直线l的方程为x＋2y－4＝0.‎ ‎(2) 如上图，设∠BAO＝θ，则＝，＝，‎ 所以＝·＝，‎ 当θ＝45°时，有最小值4，此时直线斜率为－1，∴直线l的方程为x＋y－3＝0.‎ 题型3　待定系数法求直线方程 例4　过点M(0，1)作一条直线，使它被两条直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M点平分．求此直线方程．‎ 解：(解法1)由于过点M(0，1)且与x轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1，与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点，联立方程组xA＝，xB＝.‎ ‎∵点M平分线段AB，∴ xA＋xB＝2xM，‎ 即有＋＝0，解得k＝－.‎ 故所求的直线方程为x＋4y－4＝0.‎ ‎(解法2)设所求的直线与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点，∵点B在直线l2：2x＋y－8＝0上，∴设B(t，8－2t)，由于M(0，1)是线段AB的中点，∴根据中点坐标公式得A(－t，2t－6)，‎ 而A点在直线l1：x－3y＋10＝0上，∴(－t)－3(2t－6)＋10＝0，解之得t＝4，∴ B(4，0)．‎ 故所求直线方程为x＋4y－4＝0.‎ 已知直线l：x＋y＋4－‎3m＝0.‎ ‎(1) 求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；‎ ‎(2) 过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．‎ ‎(1) 证明：∵m＋2x＋y＋4＝0，‎ ‎∴由题意得 ‎∴直线l恒过定点M.‎ ‎(2) 解：设所求直线l1的方程为y＋2＝k(x＋1)，直线l1与x轴、y轴交于A、B两点，则A，B(0，k－2)．‎ ‎∵AB的中点为M，∴解得k＝－2.‎ ‎∴所求直线l1的方程为2x＋y＋4＝0.‎ ‎1. 已知直线的点斜式方程为y－1＝－(x－2)，则该直线另外三种特殊形式的方程为______________，______________，______________．‎ 答案：y＝－x＋＝＋＝1‎ 解析：将y－1＝－(x－2)移项、展开括号后合并，即得斜截式方程y＝－x＋.‎ 因为点(2，1)、均满足方程y－1＝－(x－2)，故它们为直线上的两点．由两点式方程得＝，即＝.‎ 由y＝－x＋知，直线在y轴上的截距b＝，又令y＝0，得x＝.故直线的截距式方程为＋＝1.‎ ‎2. 将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________________________________________________________________________．‎ 答案：y＝－x＋ 解析：将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.‎ ‎3. 直线l经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，‎ 则直线l的方程为________．‎ 答案：8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0‎ 解析：设所求直线l的方程为＋＝1，‎ ‎∵直线l过点P(－5，－4)，∴＋＝1，‎ 即‎4a＋5b＝－ab.又由已知有|a||b|＝5，‎ 即|ab|＝10，解方程组 得或 故所求直线l的方程为＋＝1或＋＝1.即8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0.‎ ‎4. 若点P(1，1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为________．‎ 答案：2x－y－1＝0‎ 解析：由题意得，×kMN＝－1，所以kMN＝2，故弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.‎ ‎5. 已知△ABC中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：‎ ‎(1) △ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；‎ ‎(2) BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．‎ 解：(1) 平行于BC边的中位线就是AB、AC中点的连线．因为线段AB、AC中点坐标分别为，，所以这条直线的方程为＝，整理得一般式方程为6x－8y－13＝0，截距式方程为－＝1.‎ ‎(2) 因为BC边上的中点为(2，3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即一般式方程为7x－y－11＝0，截距式方程为－＝1.‎ ‎6. 设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．‎ ‎(1) 若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；‎ ‎(2) 若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．‎ 解：(1) 当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为零，‎ ‎∴ a＝2，即方程为3x＋y＝0符合题意．当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，‎ ‎∴＝a－2，即a＋1＝1，‎ ‎∴ a＝0，即方程为x＋y＋2＝0.‎ ‎(2) (解法1)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，‎ ‎∴或 ‎∴ a≤－1.综上可知a的取值范围是a≤－1.‎ ‎(解法2)将l的方程化为(x＋y＋2)＋a(x－1)＝0(a∈R)．它表示过l1：x＋y＋2＝0与l2：x－1＝0交点(1，－3)的直线系(不包括x＝1)．由图象可知l的斜率－(a＋1)≥0，即a≤－1时，直线l不经过第二象限．‎ ‎1. 直线x＋a2y－a＝0(a>0，a是常数)，当此直线在x、y轴上的截距和最小时，a＝________．‎ 答案：1‎ 解析：方程可化为＋＝1，因为a>0，所以截距之和t＝a＋≥2，当且仅当a＝，即a＝1时取等号．‎ ‎2. 已知直线l1的方向向量为a＝(1，3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)，若直线l2经过点(0，5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为________．‎ 答案：x＋3y－15＝0‎ 解析：∵ kl1＝3，kl2＝－k，l1⊥l2，‎ ‎∴ k＝，l2的方程为y＝－x＋5，即x＋3y－15＝0.‎ ‎3. 当过点P(1，2)的直线l被圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝5截得的弦最短时，直线l的方程为________．‎ 答案：x－y＋1＝0‎ 解析：易知圆心C的坐标为(2，1)，由圆的几何性质可知，当圆心C与点P的连线与直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短．由C(2，1)，P(1，2)可知直线PC的斜率为＝－1，设直线l的斜率为k，则k×(－1)＝－1，得k＝1，又直线l过点P，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.‎ ‎4. 不论m取何值，直线(m－1)x－y＋‎2m＋1＝0恒过定点________．‎ 答案：(－2，3)‎ 解析：把直线方程(m－1)x－y＋‎2m＋1＝0，整理得 ‎(x＋2)m－(x＋y－1)＝0，‎ 则得 ‎5. 已知两点A(－1，2)、B(m，3)．‎ ‎(1) 求直线AB的方程；‎ ‎(2) 已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．‎ 解：(1) 当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，‎ 当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．‎ ‎(2) ①当m＝－1时，α＝；‎ ‎②当m≠－1时，m＋1∈∪(0，]，‎ ‎∴k＝∈(－∞，－]∪，‎ ‎∴α∈∪.‎ 综合①②，直线AB的倾斜角α∈.‎ ‎6. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0.‎ ‎(1) 求证：直线l过定点；‎ ‎(2) 若直线l交x轴负半轴于点A，交y正半轴于点B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．‎ ‎(1) 证明：由已知得k(x＋2)＋(1－y)＝0，‎ ‎∴无论k取何值，直线过定点(－2，1)．‎ ‎(2) 解：令y＝0得A点坐标为，‎ 令x＝0得B点坐标为(0，2k＋1)(k>0)，‎ ‎∴S△AOB＝|2k＋1|‎ ‎＝(2k＋1)＝ ‎≥(4＋4)＝4.‎ 当且仅当4k＝，即k＝时取等号．‎ 即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x－y＋1＋1＝0，即x－2y＋4＝0.‎ ‎1. 求直线方程的方法主要有以下两种：‎ ‎(1) 直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；‎ ‎(2) 待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．‎ ‎2. 解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．‎ ‎[备课札记]‎