数学北师大版（2019）必修第二册：4-2-2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用 学案与作业

数学北师大版（2019）必修第二册：4-2-2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用 学案与作业

2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用 (15 分钟 30 分) 1.若 tan =3,则 tan α的值为( ) A.-2 B.- C. D.2 【解析】选 B.tan α=tan = = =- . 2.若 sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=m,且β为第三象限角,则 cos β的值为( ) A. B.- C. D.- 【解析】选 B.由条件得,sin[(α-β)-α]=sin(-β)=-sin β=m,所以 sin β=-m.又因为β为第三象限角,所以 cos β =- =- . 3.在△ABC 中,cos Acos B>sin Asin B,则△ABC 为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判定 【解析】选 C.因为 cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)>0,-cos C>0,所 以 cos C<0,故 C 为钝角,△ABC 为钝角三角形. 4.在△ABC 中,C=120°,tan A+tan B= ,则 tan A·tan B=( ) A. B. C. D. 【解析】选 B.因为 C=120°,则 A+B=60°,又 tan(A+B)= ,故 = ,所以 tan Atan B= . 5.已知 tan = ,tan =2 . 求:(1)tan ;(2)tan(α+β). 【解析】(1)tan =tan = = =- . (2)tan(α+β)=tan = = =2 -3. (20 分钟 40 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 20 分) 1.若 tan 28°·tan 32°=m,则 tan 28°+tan 32°=( ) A. m B. (1-m) C. (m-1) D. (m+1) 【解析】选 B.tan(28°+32°)=tan 60° = = = , 所以 tan 28°+tan 32°= (1-m). 【补偿训练】 的值为( ) A.-1 B.1 C.- D. 【解析】选 B.原式= =tan(105°-60°)=tan 45°=1. 2.已知 cos +sin α= ,则 sin 的值为( ) A.- B. C.- D. 【解析】选 C.因为 cos +sin α= , 所以 cos αcos +sin αsin +sin α= , 所以 cos α+ sin α= ,即 cos α+ sin α= ,所以 sin = , 所以 sin =-sin =- . 3.如果 = ,那么 等于( ) A. B. C. D. 【解析】选 A. = = ,所以 nsin αcos β +ncos αsin β=msin αcos β-mcos αsin β,所以(m-n)sin α cos β=(m+n)cos αsin β, 所以 = ,即 = . 4.在△ABC 中,若 00,tan C>0,所以 tan(B+C)= >0. 所以 B+C 为锐角,从而 A 为钝角,从而△ABC 是钝角三角形. 方法二:因为 00, 所以 cos A<0,所以 A 为钝角. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知 cos α=- ,且α∈ ,则 tan 等于________. 【解析】因为 cos α=- ,且α∈ , 所以 sin α= .所以 tan α= =- , 所以 tan = =7. 答案:7 【补偿训练】 已知 tan = ,tan =- ,则 tan =________. 【解析】tan =tan = = . 答案: 6.若(tan α-1)(tan β-1)=2,则 tan(α+β)=________,α+β=________. 【解析】(tan α-1)(tan β-1)=2⇒tan αtan β-tan α-tan β +1=2⇒tan α+tan β=tan αtan β-1⇒ =-1, 即 tan(α+β)=-1,所以α+β=kπ- (k∈Z) 答案:-1 kπ- (k∈Z) 三、解答题 7.(10 分)求下列各式的值; (1)sin 119°sin 181°-sin 91°sin 29°. (2) ; (3)tan 78°-tan 33°-tan 78°tan 33°. 【解析】(1)原式=sin(29°+90°)sin(1°+180°)-sin(1° +90°)·sin 29° =cos 29°(-sin 1°)-cos 1°sin 29° =-(sin 29°cos 1°+cos 29°sin 1°) =-sin(29°+1°)=-sin 30°=- . (2)原式=tan(75°-15°)=tan 60°= . (3)tan 45°=1= , 所以 tan 78°-tan 33°=1+tan 78°tan 33°, 所以 tan 78°-tan 33°-tan 78°tan 33°=1. 【补偿训练】 1.tan(18°-x)tan(12°+x)+ [tan(18°-x)+tan(12°+x)]. 【解题指南】对本题进行观察,发现它有两个特征:一个特征是该三角 函数式的前半段是两个角正切函数的积,而后半段是这两个角正切函 数的和的倍数;另一个特征是这两个角的和(18°-x)+(12°+x)=30°, 而 30°是特殊角,根据这两个特征,很容易联想到正切的和角公式. 【解析】因为 tan [(18°-x)+(12° +x)]= =tan 30°= ,所以 tan(18° -x)+tan(12°+x)= [1-tan(18°-x)·tan(12°+x)].所以原式 =tan(18°-x)tan(12°+x)+ × [1-tan(18°-x)·tan(12° +x)]=1. 2.是否存在锐角α,β,使得 (1)α+2β= , (2)tan tan β=2- 同时成立?若存在,求出锐角α,β的值;若不存 在,说明理由. 【解析】假设存在锐角α,β,使得(1)α+2β= , (2)tan tan β=2- 同时成立.由(1)得 +β= , 所以 tan = = . 又 tan tan β=2- ,所以 tan +tan β=3- , 因此 tan ,tan β可以看成是方程 x2-(3- )x+2- =0 的两个根. 解得 x1=1,x2=2- . 若 tan =1,则α= ,这与α为锐角矛盾. 所以 tan =2- ,tan β=1,所以α= ,β= . 所以满足条件的α,β存在,且α= ,β= . 关闭 Word 文档返回原板块