浙江省温州市高考数学模拟试卷月份解析

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

浙江省温州市高考数学模拟试卷月份解析

‎2017年浙江省温州市高考数学模拟试卷(2月份)‎ ‎ ‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)‎ ‎1.(4分)设集合A={x||x﹣2|≤1},B={x|0<x≤1},则A∪B=(  )‎ A.(0,3] B.(0,1] C.(﹣∞,3] D.{1}‎ ‎2.(4分)设复数z1=﹣1+2i,z2=2+i,其中i为虚数单位,则z1•z2=(  )‎ A.﹣4 B.3i C.﹣3+4i D.﹣4+3i ‎3.(4分)已知空间两不同直线m、n,两不同平面α、β,下列命题正确的是(  )‎ A.若m∥α且n∥α,则m∥n B.若m⊥β且m⊥n,则n∥β C.若m⊥α且m∥β,则α⊥β D.若m不垂直于α,且n⊂α则m不垂直于n ‎4.(4分)若直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点,则实数b的取值范围是(  )‎ A.[﹣1,1] B.[0,1] C.[0,] D.[﹣,]‎ ‎5.(4分)设离散型随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P P1‎ P2‎ P3‎ 则EX=2的充要条件是(  )‎ A.P1=P2 B.P2=P‎3 ‎C.P1=P3 D.P1=P2=P3‎ ‎6.(4分)若二项式(+)n的展开式中各项的系数和为32,则该展开式中含x的系数为(  )‎ A.1 B.‎5 ‎C.10 D.20‎ ‎7.(4分)要得到函数y=sin(3x﹣)的图象,只需将函数y=cos3x的图象(  )‎ A.向右平移个单位 B.向左平移个单位 C.向右平移个单位 D.向左平移个单位 ‎8.(4分)如图,在三棱锥A﹣BCD中,平面ABC⊥平面BCD,△BAC与BCD均为等于直角三角形,且∠BAC=∠BCD=90°,BC=2,点P是线段AB上的动点,若线段CD上存在点Q,使得异面直线PQ与AC成30°的角,则线段PA长的取值范围是(  )‎ A.(0,) B.[0,] C.(,) D.(,)‎ ‎9.(4分)记max{a,b}=,已知向量,,满足||=1,||=2,•=0,=λ+μ(λ,μ≥0,且λ+μ=1,则当max{•,•}取最小值时,||=(  )‎ A. B. C.1 D.‎ ‎10.(4分)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x+1)=+,则f(0)+f(2017)的最大值为(  )‎ A.1﹣ B.1+ C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本小题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题6分,共36分)‎ ‎11.(6分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,b=2,C=60°,则c=  ,△ABC的面积S=  .‎ ‎12.(6分)若实数x,y满足,则y的最大值为  ,‎ 的取值范围是  .‎ ‎13.(6分)如图,一个简单几何体三视图的正视图与侧视图都是边长为1的正三角形,其俯视图的轮廓为正方形,则该几何体的体积是  ,表面积是  .‎ ‎14.(6分)在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门,若同学甲必选物理,则甲的不同选法种数为  ,乙丙两名同学都选物理的概率是  .‎ ‎15.(6分)在等差数列{an}中,若a22+‎2a2a8+a‎6a10=16,则a‎4a6=  .‎ ‎16.(6分)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F直线交该抛物线与A,B两点,若|AF|=8|OF|(O为坐标原点),则  .‎ ‎17.已知a,b,c∈R,若|acos2x+bsinx+c|≤1对x∈R成立,则|asinx+b|的最大值为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题5小题,共74分)‎ ‎18.(14分)已知函数f(x)=sinxcosx+cos2x ‎(I)求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(II)若﹣<α<0,f(α)=,求sin2α的值.‎ ‎19.(15分)在四菱锥P﹣ABCD中,PA⊥AD,PA=1,PC=PD,底面ABCD是梯形,AB∥CD,AB⊥BC,AB=BC=1,CD=2.‎ ‎(I)求证:PA⊥AB;‎ ‎(II)求直线AD与平面PCD所成角的大小.‎ ‎20.(15分)设函数f(x)=,证明:‎ ‎(I)当x<0时,f(x)<1;‎ ‎(II)对任意a>0,当0<|x|<ln(1+a)时,|f(x)﹣1|<a.‎ ‎21.(15分)已知直线l:y=﹣x+3与椭圆C:mx2+ny2=1(n>m>0)有且只有一个公共点P(2,1).‎ ‎(I)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(II)若直线l′:y=﹣x+b交C于A,B两点,且PA⊥PB,求b的值.‎ ‎22.(15分)设数列{an}满足an+1=an2﹣an+1(n∈N*),Sn为{an}的前n项和.证明:对任意n∈N*,‎ ‎(I)当0≤a1≤1时,0≤an≤1;‎ ‎(II)当a1>1时,an>(a1﹣1)a1n﹣1;‎ ‎(III)当a1=时,n﹣<Sn<n.‎ ‎ ‎ ‎2017年浙江省温州市高考数学模拟试卷(2月份)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)‎ ‎1.(4分)(2017•温州模拟)设集合A={x||x﹣2|≤1},B={x|0<x≤1},则A∪B=(  )‎ A.(0,3] B.(0,1] C.(﹣∞,3] D.{1}‎ ‎【分析】先分别求出集合A和B,由此能求出A∪B.‎ ‎【解答】解:∵集合A={x||x﹣2|≤1}={x|1≤x≤3},‎ B={x|0<x≤1},‎ ‎∴A∪B={x|0<x≤3}=(0,3].‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查并集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意并集定义的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎2.(4分)(2017•温州模拟)设复数z1=﹣1+2i,z2=2+i,其中i为虚数单位,则z1•z2=(  )‎ A.﹣4 B.3i C.﹣3+4i D.﹣4+3i ‎【分析】利用复数的运算法则即可得出.‎ ‎【解答】解:z1•z2=(﹣1+2i)(2+i)=﹣4+3i.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎3.(4分)(2017•温州模拟)已知空间两不同直线m、n,两不同平面α、β,下列命题正确的是(  )‎ A.若m∥α且n∥α,则m∥n B.若m⊥β且m⊥n,则n∥β C.若m⊥α且m∥β,则α⊥β D.若m不垂直于α,且n⊂α则m不垂直于n ‎【分析】在A中,m与n相交、平行或异面;在B中,n∥β或n⊂β;在C中,由面面垂直的判定定理得α⊥β;在D中,m可以垂直于n.‎ ‎【解答】解:由空间两不同直线m、n,两不同平面α、β,知:‎ 在A中,若m∥α且n∥α,则m与n相交、平行或异面,故A错误;‎ 在B中,若m⊥β且m⊥n,则n∥β或n⊂β,故B错误;‎ 在C中,若m⊥α且m∥β,则由面面垂直的判定定理得α⊥β,故C正确;‎ 在D中,若m不垂直于α,且n⊂α,则m可以垂直于n,故D错误.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎4.(4分)(2017•温州模拟)若直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点,则实数b的取值范围是(  )‎ A.[﹣1,1] B.[0,1] C.[0,] D.[﹣,]‎ ‎【分析】由题意利用点到直线的距离小于等于半径,求出b的范围即可.‎ ‎【解答】解:由题意可知圆的圆心坐标为(0,0),半径为1,‎ 因为直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点,所以≤1,‎ 解得﹣≤b≤.‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题是中档题,考查直线与圆的位置关系,考查计算能力,转化思想的应用.‎ ‎ ‎ ‎5.(4分)(2017•温州模拟)设离散型随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P P1‎ P2‎ P3‎ 则EX=2的充要条件是(  )‎ A.P1=P2 B.P2=P‎3 ‎C.P1=P3 D.P1=P2=P3‎ ‎【分析】当EX=2时,由离散型随机变量X的分布列的性质列出方程组得P1=P3,当P1=P3时,P1+P2+P3=2P1+P2=1能求出EX=2.从而得到EX=2的充要条件是P1=P3.‎ ‎【解答】解:由离散型随机变量X的分布列知:‎ 当EX=2时,,解得P1=P3,‎ 当P1=P3时,P1+P2+P3=2P1+P2=1.‎ EX=P1+2P2+3P3=4P1+2P2=2.‎ ‎∴EX=2的充要条件是P1=P3.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望为2的充要条件的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意离散型随机变量的性质的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎6.(4分)(2017•温州模拟)若二项式(+)n的展开式中各项的系数和为32,则该展开式中含x的系数为(  )‎ A.1 B.‎5 ‎C.10 D.20‎ ‎【分析】令x=1,则2n=32,解得n=5,再利用通项公式即可得出.‎ ‎【解答】解:令x=1,则2n=32,解得n=5,‎ ‎∴的通项公式:Tr+1==,‎ 令=1,解得r=1.‎ ‎∴该展开式中含x的系数为=5.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎7.(4分)(2017•温州模拟)要得到函数y=sin(3x﹣)的图象,只需将函数y=cos3x的图象(  )‎ A.向右平移个单位 B.向左平移个单位 C.向右平移个单位 D.向左平移个单位 ‎【分析】利用诱导公式,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.‎ ‎【解答】解:函数y=sin(3x﹣)=cos[﹣(3x﹣)]=cos(3x﹣),‎ 故将函数y=cos3x的图象向右平移个单位,可得y=cos(3x﹣)=sin(3x﹣)的图象,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题主要考查诱导公式,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎8.(4分)(2017•温州模拟)如图,在三棱锥A﹣BCD中,平面ABC⊥平面BCD,△BAC与BCD均为等于直角三角形,且∠BAC=∠BCD=90°,BC=2,点P是线段AB上的动点,若线段CD上存在点Q,使得异面直线PQ与AC成30°的角,则线段PA长的取值范围是(  )‎ A.(0,) B.[0,] C.(,) D.(,)‎ ‎【分析】以C为原点,CD为x轴,CB为y轴,过C作平面BCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出线段PA长的取值范围.‎ ‎【解答】解:以C为原点,CD为x轴,CB为y轴,过C作平面BCD的垂线为z轴,‎ 建立空间直角坐标系,‎ 则A(0,1,1),B(0,2,0),C(0,0,0),‎ 设Q(q,0,0),=(0,λ,﹣λ),‎ 则=﹣==(q,0,0)﹣(0,1,1)﹣(0,λ,﹣λ)=(q,﹣1﹣λ,λ﹣1),‎ ‎∵异面直线PQ与AC成30°的角,‎ ‎∴cos30°====,‎ ‎∴q2+2λ2+2=,∴,‎ ‎∴,解得0,‎ ‎∴||=∈[0,],‎ ‎∴线段PA长的取值范围是[0,].‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查线段的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎9.(4分)(2017•温州模拟)记max{a,b}=,已知向量,,‎ 满足||=1,||=2,•=0,=λ+μ(λ,μ≥0,且λ+μ=1,则当max{•,•}取最小值时,||=(  )‎ A. B. C.1 D.‎ ‎【分析】由题意画出图形,设,则,由已知求得λ的范围,把•,•均用含有λ的代数式表示,求出分段函数的值域,得到max{•,•}的最小值,进一步求得||.‎ ‎【解答】解:如图,‎ 设,则,‎ ‎∵λ,μ≥0,λ+μ=1,∴0≤λ≤1.‎ 又=λ+μ,‎ ‎∴=λ;‎ ‎=4﹣4λ.‎ 由λ=4﹣4λ,得.‎ ‎∴max{•,•}=.‎ 令f(λ)=.‎ 则f(λ)∈[].‎ ‎∴,此时,‎ ‎∴=.‎ ‎∴.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查数学转化思想方法,训练了分段函数值域的求法,属中档题.‎ ‎ ‎ ‎10.(4分)(2017•温州模拟)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x+1)=+,则f(0)+f(2017)的最大值为(  )‎ A.1﹣ B.1+ C. D.‎ ‎【分析】由已知可得f(x+1)﹣f2(x+1)+f(x)﹣f2(x)=,令g(x)=f(x)﹣f2(x),则g(0)+g(2017)=,结合基本不等式和二次函数的图象和性质,可得答案.‎ ‎【解答】解:∵函数f(x)满足f(x+1)=+,‎ ‎∴f(x)>0且f2(x+1)=++f(x)﹣f2(x),‎ 则f(x+1)﹣f2(x+1)=+﹣[++f(x)﹣f2(x)]=﹣[f(x)﹣f2(x)],‎ 故f(x+1)﹣f2(x+1)+f(x)﹣f2(x)=,‎ 令g(x)=f(x)﹣f2(x),则g(x+1)+g(x)=,‎ 则g(0)=g(2)=…=g(2016); g(1)=g(3)=…=g(2017); ‎ g(0)+g(2017)=,‎ ‎∴f(0)﹣f2(0)+f(2017)﹣f2(2017)=,‎ f(0)+f(2017)=+f2(0)+f2(2017)≥+,‎ 即2[f(0)+f(2017)]2﹣4[f(0)+f(2017)]+1≤0,‎ 解得:f(0)+f(2017)∈[1﹣,1+],‎ 故选:B ‎【点评】本题考查的知识点是抽象函数的应用,函数求值,基本不等式的应用,难度中档.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本小题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题6分,共36分)‎ ‎11.(6分)(2017•温州模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,b=2,C=60°,则c=  ,△ABC的面积S=  .‎ ‎【分析】由已知利用余弦定理可求c,利用三角形面积公式即可得解.‎ ‎【解答】解:∵a=1,b=2,C=60°,‎ ‎∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC,可得:c2=1+4﹣2×=3,‎ ‎∴c=,‎ ‎∴S△ABC===.‎ 故答案为:,.‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦定理,三角形面积公式在解三角形中的应用,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎12.(6分)(2017•温州模拟)若实数x,y满足,则y的最大值为 2 ,的取值范围是 [,] .‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,利用数形结合即可得到结论.‎ ‎【解答】解:作出不等式组,对应的平面区域如图:‎ 可知A的纵坐标取得最大值:2.‎ ‎∵z=,则z的几何意义为区域内的点到定点D(﹣2,﹣1)的斜率,‎ 由图象知BD的斜率最小,AD的斜率最大,则z的最大为:‎ ‎=,最小为:=,‎ 即≤z≤,‎ 则z=,的取值范围是[,],‎ 故答案为:2;[,].‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义以及斜率的计算,通过数形结合是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎13.(6分)(2017•温州模拟)如图,一个简单几何体三视图的正视图与侧视图都是边长为1的正三角形,其俯视图的轮廓为正方形,则该几何体的体积是  ,表面积是 3 .‎ ‎【分析】易得此几何体为四棱锥,利用相应的三角函数可得四棱锥的高,把相关数值代入即可求解.‎ ‎【解答】‎ 解:由主视图和左视图为等腰三角形可得此几何体为锥体,由俯视图为四边形可得此几何体为四棱锥,‎ ‎∵主视图为边长为1的正三角形,‎ ‎∴正三角形的高,也就是棱锥的高为,俯视图的边长为1,‎ ‎∴四棱锥的体积=×1×1×=,表面积是1+4×=3.‎ 故答案为,3.‎ ‎【点评】解决本题的关键是得到该几何体的形状,易错是确定四棱锥的底面边长与高的大小.‎ ‎ ‎ ‎14.(6分)(2017•温州模拟)在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门,若同学甲必选物理,则甲的不同选法种数为 15 ,乙丙两名同学都选物理的概率是  .‎ ‎【分析】同学甲必选物理,则甲选物理后还要从另外6门学科中再任选两门,由此能求出甲的不同选法种数;乙丙两名同学7门学科中任选3门,基本事件总数n=,乙丙两名同学都选物理,包含的基本事件个数m=,由此能求出乙丙两名同学都选物理的概率.‎ ‎【解答】解:在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门,‎ 同学甲必选物理,则甲的不同选法种数为:=15,‎ 乙丙两名同学7门学科中任选3门,基本事件总数n=,‎ 乙丙两名同学都选物理,包含的基本事件个数m=,‎ ‎∴乙丙两名同学都选物理的概率是p===.‎ 故答案为:15,.‎ ‎【点评】本题考查排列组合的应用,考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎15.(6分)(2017•温州模拟)在等差数列{an}中,若a22+‎2a2a8+a‎6a10=16,则a‎4a6= 4 .‎ ‎【分析】利用等差数列的性质,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵等差数列{an}中,a22+‎2a2a8+a‎6a10=16,‎ ‎∴a22+a2(a6+a10)+a‎6a10=16,‎ ‎∴(a2+a6)(a2+a10)=16,‎ ‎∴‎2a4•‎2a6=16,‎ ‎∴a‎4a6=4,‎ 故答案为4.‎ ‎【点评】本题考查等差数列的性质,考查学生的计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎16.(6分)(2017•温州模拟)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F直线交该抛物线与A,B两点,若|AF|=8|OF|(O为坐标原点),则 7 .‎ ‎【分析】由题意,|AF|=4p,设|BF|=x,由抛物线的定义,可得,求出x,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:由题意,|AF|=4p,设|BF|=x,则 由抛物线的定义,可得,解得x=p,‎ ‎∴=7,‎ 故答案为7.‎ ‎【点评】本题考查抛物线的定义,考查方程思想,正确转化是关键.‎ ‎ ‎ ‎17.(2017•温州模拟)已知a,b,c∈R,若|acos2x+bsinx+c|≤1对x∈R成立,则|asinx+b|的最大值为 2 .‎ ‎【分析】由题意,设t=sinx,t∈[﹣1,1],则|at2﹣bt﹣a﹣c|≤1恒成立,不妨设t=1,则|b+c|≤1;t=0,则|a+c|≤1,t=﹣1,则|b﹣c|≤1,再分类讨论,利用绝对值不等式,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:由题意,设t=sinx,t∈[﹣1,1],则|at2﹣bt﹣a﹣c|≤1恒成立,‎ 不妨设t=1,则|b+c|≤1;t=0,则|a+c|≤1,t=﹣1,则|b﹣c|≤1‎ 若a,b同号,则|asinx+b|的最大值为|a+b|=|a+c+b﹣c|≤|a+c|+|b﹣c|≤2;‎ 若a,b异号,则|asinx+b|的最大值为|a﹣b|=|a+c﹣b﹣c|≤|a+c|+|b+c|≤2;‎ 综上所述,|asinx+b|的最大值为2,‎ 故答案为2.‎ ‎【点评】本题考查绝对值不等式,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题5小题,共74分)‎ ‎18.(14分)(2017•温州模拟)已知函数f(x)=sinxcosx+cos2x ‎(I)求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(II)若﹣<α<0,f(α)=,求sin2α的值.‎ ‎【分析】(I)利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性,得出结论.‎ ‎(II)由条件求得sin(2α+)的值以及2α+的范围,可得cos(2α+)的值,再根据sin2α=sin(2α+﹣),利用两角差的正弦公式,求得sin2α的值.‎ ‎【解答】解:(I)∵函数f(x)=sinxcosx+cos2x=sin2x+=sin(2x+)+,‎ ‎∴函数f(x)的最小正周期为=π.‎ ‎(II)若﹣<α<0,则2α+∈(﹣,),‎ ‎∴f(α)=sin(2α+)+=,∴sin(2α+)=,∴2α+∈(0,),‎ ‎∴cos(2α+)==,‎ ‎∴sin2α=sin(2α+﹣)=sin(2α+)cos﹣cos(2α+)sin=﹣=.‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的周期性,同角三角函数的基本关系,两角差的三角公式的应用,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(15分)(2017•温州模拟)在四菱锥P﹣ABCD中,PA⊥AD,PA=1,PC=PD,底面ABCD是梯形,AB∥CD,AB⊥BC,AB=BC=1,CD=2.‎ ‎(I)求证:PA⊥AB;‎ ‎(II)求直线AD与平面PCD所成角的大小.‎ ‎【分析】(I)取CD的中点E,连接AE,PE,则AE⊥CD,PE⊥CD,证明PA⊥平面ABCD,即可证明:PA⊥AB;‎ ‎(II)求出A到平面PCD的距离,即可求直线AD与平面PCD所成角的大小.‎ ‎【解答】(I)证明:取CD的中点E,连接AE,PE,则AE⊥CD,PE⊥CD,‎ ‎∵AE∩PE=E,∴CD⊥平面PAE.‎ ‎∵PA⊂平面PAE,∴CD⊥PA,‎ ‎∵PA⊥AD,AD∩CD=D,‎ ‎∴PA⊥平面ABCD,‎ ‎∵AB⊂平面ABCD,‎ ‎∴PA⊥AB;‎ ‎(II)解:由题意,AD=PE=.‎ 设A到平面PCD的距离为h,则由等体积可得=,‎ ‎∴h=‎ ‎∴直线AD与平面PCD所成角的正弦值为=,大小为30°.‎ ‎【点评】本题考查线面垂直的判定与性质,考查线面角,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎20.(15分)(2017•温州模拟)设函数f(x)=,证明:‎ ‎(I)当x<0时,f(x)<1;‎ ‎(II)对任意a>0,当0<|x|<ln(1+a)时,|f(x)﹣1|<a.‎ ‎【分析】(Ⅰ)原不等式等价于xf(x)﹣x>0,构造函数,利用导数和函数的最值得关系即可证明,‎ ‎(Ⅱ)当0<x<ln(1+a)时,f(x)﹣1<a,等价于ex﹣1﹣(a+1)x<0,构造函数,利用导数和函数的最值得关系即可证明,同理可证﹣ln(1+a)<x<0,问题得以证明 ‎【解答】解:(Ⅰ)∵当x<0时,f(x)<1,等价于xf(x)>x,即xf(x)﹣x>0,‎ 设g(x)=xf(x)﹣x=ex﹣1﹣x ‎∴g′(x)=ex﹣1<0,在(﹣∞,0)上恒成立,‎ ‎∴g(x)在(﹣∞,0)上单调递减,‎ ‎∴g(x)>g(0)=1﹣1﹣0=0,‎ ‎∴xf(x)﹣x>0恒成立,‎ ‎∴x<0时,f(x)<1,‎ ‎(Ⅱ)要证明当0<|x|<ln(1+a)时,|f(x)﹣1|<a,‎ 即整0<x<ln(1+a)时,f(x)﹣1<a,‎ 即证<a+1,‎ 即证ex﹣1<(a+1)x 即证ex﹣1﹣(a+1)x<0,‎ 令h(x)=ex﹣1﹣(a+1)x,‎ ‎∴h′(x)=ex﹣(a+1)<eln(a+1)﹣(a+1)=0,‎ ‎∴h(x)单调递减,‎ ‎∴h(x)<h(0)=0,‎ 同理可证当x<0时,结论成立 ‎∴对任意a>0,当0<|x|<ln(1+a)时,|f(x)﹣1|<a ‎【点评】本题主要考查导数的应用,利用导数研究函数的最值是解决本题的关键,考查学生的计算能力.‎ ‎ ‎ ‎21.(15分)(2017•温州模拟)已知直线l:y=﹣x+3与椭圆C:mx2+ny2=1(n>m>0)有且只有一个公共点P(2,1).‎ ‎(I)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(II)若直线l′:y=﹣x+b交C于A,B两点,且PA⊥PB,求b的值.‎ ‎【分析】(I)联立直线与椭圆方程,消去y,可得x的方程,运用判别式为0,再将P的坐标代入椭圆方程,解方程可得m,n,进而得到椭圆方程;‎ ‎(II)设A(x1,y1),B(x2,y2‎ ‎),联立直线y=b﹣x和椭圆方程,消去y,可得x的方程,运用判别式大于0,韦达定理,再由A,B在直线上,代入直线方程,由垂直的条件,运用向量的数量积为0,化简整理,解方程可得b的值.‎ ‎【解答】解:(I)联立直线l:y=﹣x+3与椭圆C:mx2+ny2=1(n>m>0),‎ 可得(m+n)x2﹣6nx+9n﹣1=0,‎ 由题意可得△=36n2﹣4(m+n)(9n﹣1)=0,即为9mn=m+n,‎ 又P在椭圆上,可得‎4m+n=1,‎ 解方程可得m=,n=,‎ 即有椭圆方程为+=1;‎ ‎(II)设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 联立直线y=b﹣x和椭圆方程,可得3x2﹣4bx+2b2﹣6=0,‎ 判别式△=16b2﹣12(2b2﹣6)>0,‎ x1+x2=,x1x2=,‎ y1+y2=2b﹣(x1+x2)=,y1y2=(b﹣x1)(b﹣x2)=b2﹣b(x1+x2)+x1x2=,‎ 由PA⊥PB,即为•=(x1﹣2)(x2﹣2)+(y1﹣1)(y2﹣1)‎ ‎=x1x2﹣2(x1+x2)+4+y1y2﹣(y1+y2)+1‎ ‎=﹣2•+﹣+5=0,‎ 解得b=3或,代入判别式,成立.‎ 则b=3或.‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法,注意运用待定系数法和方程思想,考查直线和椭圆的位置关系,注意联立方程组,运用判别式和韦达定理,同时考查两直线垂直的条件,考查化简整理的运算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎22.(15分)(2017•温州模拟)设数列{an}满足an+1=an2﹣an+1(n∈N*),Sn为{an}的前n项和.证明:对任意n∈N*,‎ ‎(I)当0≤a1≤1时,0≤an≤1;‎ ‎(II)当a1>1时,an>(a1﹣1)a1n﹣1;‎ ‎(III)当a1=时,n﹣<Sn<n.‎ ‎【分析】(Ⅰ)用数学归纳法能证明当0≤a1≤1时,0≤an≤1.‎ ‎(Ⅱ)由an+1﹣an=()﹣an=(an﹣1)2≥0,知an+1≥an.从而=an≥a1,由此能证明当a1>1时,an>(a1﹣1)a1n﹣1.‎ ‎(Ⅲ)当时,Sn<n,令bn=1﹣an(n∈N*),则bn>bn+1>0,(n∈N*),由,得.从而,(n∈N*),由此能证明当时,.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)用数学归纳法证明.‎ ‎①当n=1时,0≤an≤1成立.‎ ‎②假设当n=k(k∈N*)时,0≤ak≤1,‎ 则当n=k+1时,=()2+∈[]⊂[0,1],‎ 由①②知,.‎ ‎∴当0≤a1≤1时,0≤an≤1.‎ ‎(Ⅱ)由an+1﹣an=()﹣an=(an﹣1)2≥0,知an+1≥an.‎ 若a1>1,则an>1,(n∈N*),‎ 从而=﹣an=an(an﹣1),‎ 即=an≥a1,‎ ‎∴,‎ ‎∴当a1>1时,an>(a1﹣1)a1n﹣1.‎ ‎(Ⅲ)当时,由(Ⅰ),0<an<1(n∈N*),故Sn<n,‎ 令bn=1﹣an(n∈N*),由(Ⅰ)(Ⅱ),bn>bn+1>0,(n∈N*),‎ 由,得.‎ ‎∴=(b1﹣b2)+(b2﹣b3)+…+(bn﹣bn+1)=b1﹣bn+1<b1=,‎ ‎∵≥,‎ ‎∴nbn2,即,(n∈N*),‎ ‎∵==,‎ ‎∴b1+b2+…+bn[()+()+…+()]=,‎ 即n﹣Sn,亦即,‎ ‎∴当时,.‎ ‎【点评】本题考查数列不等式的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意数学归纳法、数列性质、放缩法的合理运用.‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档