胡不归模型——中考最值专题一

胡不归模型——中考最值专题一

‎“胡不归模型”——中考最值专题（一）‎ ‎【教学重难点】‎ ‎1．“胡不归”之情景再现，模型识别 ‎2．本质：“两定一动”型 —— 系数不为 1 的最值问题处理 ‎3．三步处理：①作角；②作垂线；③计算 ‎【模块一 模型识别】‎ 从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路．由于思乡 心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A→ B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失 声痛哭．邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？···”．这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”．‎ 法国著名数学家费马 （ Fermat ，1601－ 1665），他在与数学家笛卡尔讨论光的折射现象时，偶然发现，如果把胡不归故事中的小伙子看作“光粒子”，然后，根据光的折射定律建立数学模型，就可以非常巧妙 地解决“胡不归”问题．费马解决“胡不归”问题的过程，告诉我们许多科学领域都是互相渗透、互为辅成的．我们应该多多涉猎各方面知识，才能最大限度提升自我，走向成功．‎ B 模型识别：‎ 沙 砾 地 带 问题本质：‎ 操作步骤：‎ A 高速公路 C D ‎【模块二 几何类型·选择题 & B 填】‎ ‎【例 1】‎ ‎1．（ 2012 ·崇安模拟）如图， △ ABC 在平面直角坐标系中，‎ AB =AC，A（ 0，‎ ‎2 2 ）， C（1，0）， D 为射线 AO 上一点，一动点 P 从 A 出发，运动路径 为 A→ D→ C，点 P 在 AD 上的运动速度是在 CD 上的 3 倍，要使整个过程运 动时间最少，则点 D 的坐标应为（‎ ‎）‎ A.‎ B.‎ ‎（0，‎ ‎2‎ ‎）‎ C.‎ ‎（0，‎ ‎2‎ ‎）‎ D .‎ ‎（0，‎ ‎2‎ ‎）‎ ‎（0， 2）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2．（ 2015 ·无锡二模） 如图， 菱形 ABCD 的对角线 AC 上有一动点 P，BC=6 ， ∠ ABC=150°，则 PA+PB +PD 的最小值为 __________ ．‎ 第1页共4页 ‎【模块三 A20 圆综合】‎ ‎【例 2】（ 2015·内江）如图，在 △ACE 中， CA=CE， CAE=30°，⊙ O 经过点 C，且圆的直径 AB 在线段 AE 上．‎ （ ‎1）试说明 CE 是⊙ O 的切线；‎ （ ‎2）若 △ ACE 中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示⊙ O 的直径 AB；‎ ‎（ 3）设点 D 是线段 AC 上任意一点（不含端点），连接 OD，当 1 CD+OD 的最小值为 6 时，求⊙ O 的 AB ‎2‎ 的长．‎ ‎【模块三 二次函数综合·压轴】‎ ‎【例 3】（ 2014·成都改编）如图，已知抛物线y k ‎2)( x 4) （k 为常数， k>0）与 x 轴从左至右依次交 ‎( x ‎8‎ 于点 A、B，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 y ‎3 x b 与抛物线的另一个交点为 D．‎ ‎3‎ ‎（ 1）若点 D 的横坐标为－‎ ‎5，求抛物线的函数关系式；‎ ‎（ 2）在（ 1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF ，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 ‎2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐 标为多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？‎ 第2页共4页 ‎【例 4】（ 2015·日照改编）如图，抛物线 ‎1‎ ‎2‎ 与直线 ‎1‎ y x mx n y x ‎3‎ 交于 ‎、‎ B 两点，交 x 轴 ‎2‎ A ‎2‎ 于 D 、C 两点，连接 AC 、BC，已知 A（ 0， 3）， C（3， 0）．‎ （ ‎1）抛物线的函数关系式为 ____________________ ， tan∠ BAC=__________ ；‎ （ ‎2）设 E 为线段 AC 上一点（不含端点），连接 DE，一动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE 以每秒一个单位 的速度运动到 E 点，再沿线段 EA 以每秒 2 个单位的速度运动到点 A 后停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？‎ ‎2‎ ‎【例 5】（ 2016·徐州改编）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax +bx+c 的图像经过点 A（－ 1，0），B（ 0，－ 3 ）， C（2， 0），其中对称轴与 x 轴交于点 D．（ 1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；‎ ‎（ 2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则 1 PB PD 的最小值为 __________ ．‎ ‎2‎ 第3页共4页 ‎【例 6】（ 2016·随州改编）已知抛物线 y a (x 3)( x ‎，与 x 轴从左至右依次相交于 A、B 两点，‎ ‎1)(a 0）‎ 与 y 轴交于点 C，经过点 A 的直线 y ‎3x b 与抛物线的另一个交点为 D．‎ ‎（ 1）若点 D 的横坐标为 2，则抛物线的函数关系式为 ‎____________________；‎ ‎（ 2）在（ 1）的条件下，设点 E 是线段 AD 上一点（不含端点），连接 BE，一动点 Q 从点 B 出发，沿线 段 BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点 E，再沿线段 ED 以每秒 2 3 个单位运动到点 D 停止，问当点 E 的 ‎3‎ 坐标为多少时，点 Q 运动的时间最少？‎ 第4页共4页