【数学】2018届一轮复习北师大版 函数与方程 教案

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【数学】2018届一轮复习北师大版 函数与方程 教案

第七讲 函数与方程 项目 内容 课题 函数与方程(共 3 课时)‎ 修改与创新 教学目标 ‎1.结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系;‎ ‎2.根据具体函数的图像,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法。‎ 命题走向 函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点,特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看,十分注重对三个“二次”(即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的考察力度,同时也研究了它的许多重要的结论,并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。‎ 预计2017年高考对本讲的要求是:以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。‎ ‎(1)题型可为选择、填空和解答;‎ ‎(2)高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题,同时考察函数方程的思想。‎ 教学准备 多媒体 教学过程 要点精讲:‎ ‎1.方程的根与函数的零点 ‎(1)函数零点 概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。‎ 函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。‎ 二次函数的零点:‎ ‎1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点;‎ ‎2)△=0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点;‎ ‎3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点。‎ 零点存在性定理:如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间内有零点。既存在,使得,这个也就是方程的根。‎ ‎2.二分法 二分法及步骤:‎ 对于在区间,上连续不断,且满足·的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.‎ 给定精度,用二分法求函数的零点近似值的步骤如下:‎ ‎(1)确定区间,,验证·,给定精度;‎ ‎(2)求区间,的中点;‎ ‎(3)计算:‎ ‎①若=,则就是函数的零点;‎ ‎②若·<,则令=(此时零点);‎ 结合二次函数的图像,复习掌握函数零点的概念,并具备利用图像判断零点情况的能力。‎ ‎[ 学§科§网Z§X§X§K]‎ ‎[ 学&科&网]‎ ‎③若·<,则令=(此时零点);‎ ‎(4)判断是否达到精度;‎ 即若,则得到零点零点值(或);否则重复步骤2~4。‎ 注:函数零点的性质 从“数”的角度看:即是使的实数;‎ 从“形”的角度看:即是函数的图象与轴交点的横坐标;‎ 若函数的图象在处与轴相切,则零点通常称为不变号零点;‎ 若函数的图象在处与轴相交,则零点通常称为变号零点。‎ 注:用二分法求函数的变号零点:二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。‎ ‎3.二次函数的基本性质 ‎(1)二次函数的三种表示法:y=ax2+bx+c;y=a(x-x1)(x-x2);y=a(x-x0)2+n。‎ ‎(2)当a>0,f(x)在区间[p,q]上的最大值M,最小值m,令x0= (p+q)。‎ 若-0.∴函数f(x)在R上单调递增.f(-1)=e-1+(-1)-4=-5+e-1<0,f(0)=-3<0,f(1)=e+1-4=e-3<0,f(2)=e2+2-4=e2-2>0,f(1)f(2)<0,故零点x0∈(1,2).‎ ‎[答案] C 由题悟法 利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时,首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续不断,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.‎ 以题试法 ‎1.设函数y=x3与y=x-2的图象交点为(x0,y0),则x0所在的区间是(  )‎ A.(0,1) B.(1,2)‎ C.(2,3) D.(3,4)‎ 解析:选B 设函数f(x)=x3-x-2,f(1)·f(2)<0,且f(x)为单调函数,则x0∈(1,2).‎ 考点二:判断函数零点个数 典题导入 ‎[例2] (1)函数f(x)=x-x的零点的个数为(  )‎ A.0          B.1‎ C.2 D.3‎ ‎(2)已知函数f(x)=则函数y=f(f(x))+1的零点个数是(  )‎ A.4 B.3‎ C.2 D.1‎ ‎[自主解答] (1)在同一平面直角坐标系内作出y1=x与y2=x的图象如图所示,易知,两函数图象只有一个交点,因此函数f(x)=x-x只有1个零点.‎ ‎(2)由f(f(x))+1=0可得f(f(x))=-1,‎ 又由f(-2)=f=-1.‎ 可得f(x)=-2或f(x)=.‎ 若f(x)=-2,则x=-3或x=;‎ 若f(x)=,则x=-或x=,‎ 综上可得函数y=f(f(x))+1有4个零点.‎ ‎[答案] (1)B (2)A 由题悟法 判断函数零点个数的常用方法 ‎(1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.‎ ‎(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.‎ ‎(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的个数,就是函数零点的个数.‎ 以题试法 ‎2.函数f(x)=xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为(  )‎ A.4 B.5‎ C.6 D.7‎ 把两个函数图像交点转化为一个函数的零点,再由根的存在性定理判断,由于转了几个弯子,学生难以开启思路。教师应做好引导工作。‎ 解析:选C 令xcos x2=0,则x=0,或x2=kπ+,又x∈[0,4],因此xk= (k=0,1,2,3,4),共有6个零点.‎ 考点三:函数零点的应用 典题导入 ‎[例3] 已知函数f(x)=ex-x+a有零点,则a的取值范围是________.‎ ‎[自主解答] ∵f(x)=ex-x+a,‎ ‎∴f′(x)=ex-1.令f′(x)=0,得x=0.‎ 当x<0时,f′(x)<0,函数f(x)在(-∞,0)上是减函数;‎ 当x>0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.‎ 故f(x)min=f(0)=1+a.‎ 若函数f(x)有零点,则f(x)min≤0,‎ 即1+a≤0,得a≤-1.‎ ‎[答案] (-∞,-1]‎ 若函数变为f(x)=ln x-2x+a,其他条件不变,求a的取值范围.‎ 解:∵f(x)=ln x-2x+a,∴f′(x)=-2.‎ 令f′(x)=0,得x=.‎ 当0时,f′(x)<0,∴f(x)为减函数.‎ ‎∴f(x)max=f=ln-1+a.‎ 若f(x)有零点,则f(x)max≥0,即ln-1+a≥0.‎ 解得a≥1-ln,a的取值范围为.‎ 由题悟法 已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法 ‎(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.‎ ‎(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.‎ ‎(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.‎ 以题试法 ‎3.已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间[-1,3]上函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围是______.‎ 解析:由f(x+1)=f(x-1)得,f(x+2)=f(x),则f(x)是周期为2的函数.∵f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,∴当x∈[-1,0]时,f(x)=-x,易得当x∈[1,2]时,f(x)=-x+2,当x∈[2,3]时,f(x)=x-2.‎ 在区间[-1,3]上函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,即函数y=f(x)与y=kx+k的图象在区间[-1,3]上有4个不同的交点.作出函数y=f(x)与y=kx+k的图象如图所示,结合图形易知,k∈.‎ 答案: 此题不能画图,怎么办?按定义,通过解方程,求出根即可。‎ ‎ ‎ ‎[ ]‎ 板书设计 函数与方程 ‎1.方程的根与函数的零点 ‎(1)函数零点 概念:对于函数,把使 例1‎ 成立的实数叫做函数 的零点。‎ 方程有实数根函数的图象 例2‎ 与轴有交点函数有零点。‎ ‎(2) 零点存在性定理:如果函数在 例3‎ 区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且 有,那么函数在区间 内有零点。既存在,使得,‎ 这个也就是方程的根。‎ ‎2.二分法 二分法及步骤:‎ 给定精度,用二分法求函数的零点近似值的步骤如下:‎ ‎(1)确定区间,,验证·,给定精度;‎ ‎(2)求区间,的中点;‎ ‎(3)计算:‎ ‎①若=,则就是函数的零点;‎ ‎②若·<,则令=(此时零点);‎ ‎③若·<,则令=(此时零点);‎ ‎(4)判断是否达到精度;‎ 即若,则得到零点零点值(或);否则重复步骤2~4。‎ 教学反思 函数与方程,高考要求不高,主要是通过图像判断根的情况。但有时需要合理的转化,学生在转化时往往会遇到困难。再利用适当机会,增加一点练习,学生基本上能过关。‎ ‎ ‎
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