【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题18等差数列和等比数列学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题18等差数列和等比数列学案

专题十八 等差数列和等比数列 ‎【等差数列的通项公式】‎ 等差数列的定义：‎ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 ‎ an=a1+（n-1）d，n∈N*。  an=dn+a1-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；  an=kn+b（k≠）｛an｝为等差数列，反之不能。 ‎ ‎【等差数列的前n项和的公式】‎ ‎【数列求和的常用方法】‎ ‎1.裂项相加； 2、错位相减； 3、倒序相加法。4、分组转化法。5、公式法求和 等差数列的前n项和的公式：‎ ‎【等差数列求解与证明的基本方法】‎ ‎(1)学会运用函数与方程思想解题； (2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键； (3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．‎ ‎【等比数列的通项公式】‎ 等比数列的定义：‎ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 ‎ an=a1qn-1，q≠0，n∈N*。‎ ‎【等比数列的前n项和公式】‎ ‎ ‎ 等比数列前n项和公式的变形 ‎【2017年高考全国Ⅱ卷，文17】‎ 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，．‎ ‎（1）若，求的通项公式；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）当 时，．当时，．‎ 试题解析：设的公差为d，的公比为q，则，．由得 d+q=3．①‎ ‎（1）由得②‎ 联立①和②解得（舍去），‎ 因此的通项公式为．‎ ‎（2）由得．‎ 解得．‎ 当时，由①得，则．‎ 当时，由①得，则．‎ ‎【考点】等差、等比数列通项与求和 ‎【点拨】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两种处理思路：一是利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形． 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．‎ 答题思路 ‎【命题意图】考查特殊数列的通项及前n项和或通项与前n项和间的递推关系，通过转化为等差数列或等比数列，考查数列运算及转化能力．‎ ‎【命题规律】由递推关系求数列通项公式或特定项问题，有时以小题形式来考，主要以考查间的关系为主，通过转化为特殊数列求解；以解答题形式考查，会多步设问，通过提示或其他方式构造特殊数列求解．‎ ‎【答题模板】作答数列问题，一般四个步骤：‎ ‎1、判断所求解数列问题是否为等差等比数列问题；‎ ‎2、利用等差、等比数列通项公式及前n项和公式列出等式或方程；‎ ‎3、利用等差、等比定义将非等差、等比数列经过变形、构造等方法转化为等差、等比数列问题；‎ ‎4、运用特殊方法求数列的前n项和，如错位相减法，分组求和或裂项求和法等．‎ ‎【方法总结】‎ 关于通项公式与前n项和间的递推关系问题，可以转化为项与的递推式，进而求；或者转化为与的递推式，先求，再求，其中转化关键为，通过转化为特殊数列或易求通项公式的递推式求解．‎ ‎（一）主要知识：‎ 有关等差、等比数列的结论 ‎1．（1）等差数列证明方法：或；（2）等比数列的证明方法：或．‎ ‎2． 等差数列的通项公式：， ‎ ‎ 或 ．‎ ‎3． 等差数列的前项和公式（由倒序相加法推得）： ‎ ‎ ，．‎ ‎4．数列是等差数列（为常数）‎ ‎3．数列是等差数列 （为常数）‎ ‎6．等差数列的任意连续项的和构成的数列仍为等差数列．‎ ‎7．等差数列中，若，则 ‎8．等比数列的通项公式： ()．‎ ‎9．当时： 或 ‎ 当时：（有关等比数列的求和问题，当不能确定“”时，应分来讨论）．‎ ‎10．等比数列中，若，则 ‎11．等比数列{an}的任意连续项的和构成的数列仍为等比数列．‎ ‎12．两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．‎ ‎13．两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、‎ 仍为等比数列．‎ ‎（二）主要方法：‎ ‎1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．‎ ‎2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前项和公式的内在联系是解题的关键．‎ ‎1.【2017年高考全国Ⅰ卷，文17】记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=−6．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．‎ ‎【答案】（1）；（2），证明见解析．‎ ‎（2）由（1）可得．‎ 由于，‎ 故，，成等差数列．‎ ‎【考点】等比数列 ‎【点拨】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．‎ ‎2.【2017年高考天津卷，文18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）..（Ⅱ）.‎ 试题解析：（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.‎ 由，可得.由，可得，联立①②，解得，由此可得.‎ 所以，的通项公式为，的通项公式为.‎ ‎【考点】1.等差，等比数列；2.错位相减法求和.‎ ‎【点拨】重点说说数列求和的一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，，‎ ‎,等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和. ‎ ‎3．【2017安徽阜阳二模】等比数列中， ，则数列前项和 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎4．【2017江西九江三模】已知数列为等比数列，若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得： ．‎ 本题选择C选项．‎ ‎5．【2017广西5月考前联考】已知等差数列的前项和为， ，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，即，所以 ‎，则，应选答案B．‎ ‎6．【2017江西九江三模】已知数列的前 项和为 ，且满足，设，则数列的前 项和为__________．‎ ‎【答案】‎ 数列的前n项和为： ．‎ 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ ‎7．【2017河北唐山三模】是公差不为0的等差数列， 是公比为正数的等比数列， ， ， ，则数列的前项和等于__________．‎ ‎【答案】‎ 所以，整理得： ．‎ 方法点睛：用错位相减法求和时，要注意以下几个问题：（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．‎ ‎8．【2017广东佛山二模】已知是等差数列， 是各项均为正数的等比数列，且， ， ．‎ ‎（Ⅰ）求数列， 的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）， ;（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据条件列出关于公差与公比的方程组，解方程组可得， ，再代入等差与等比数列通项公式，（2）利用错位相减法求和，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以 试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为， 的公比为，依题意得 解得， ，‎ 所以， ‎ ‎【点拨】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．‎ ‎9．【2017重庆二诊】已知等差数列的前项和为， ， ．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设数列的前项和为，证明： ．‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）见解析．‎ ‎【解析】（1）由已知，根据等差数列的通项公式、前项公式，建立关于的方程，进行求解即可；（2）由（1）求出数列的通项公式，根据其表达式的特点，利用裂项求和的方法求出，由数列极限，从而不等式可得证．‎ 试题解析：（Ⅰ） ， ，‎ ‎， ； ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎． ‎ ‎10．【2017安徽马鞍山二模】已知数列是公差不为0的等差数列， ，且， ， 成等比数列．‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设，求数列的前2017项和．‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)等差数列的公差为，根据提议列出关于首项 和公差的方程组，解方程组即可得到结果；(Ⅱ) 根据数列每相邻四项的和为常数 ，可得数列的前2017项和．‎ ‎11．【2017河北唐山二模】数列的前项和为， ，且．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）对已知等式利用化简整理得 ‎，进而可推断出数列是一个以1为首项， 为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式求得答案；（Ⅱ）利用错位相减法求结果．‎ 试题解析：（Ⅰ）由，可得（），‎ 两式相减，得，‎ ‎，即，‎ 故是一个以1为首项， 为公比的等比数列，‎ 所以．‎ 点睛：本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列， 为等比数列等．‎ ‎12．【2017福建三明5月质检】已知数列的前项和为，且．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列前项和．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ 试题解析：（Ⅰ） ，‎ 当时， ，则，‎ 当时， ， ，‎ 两式相减，得，所以．‎ 所以是以首项为2，公比为2的等比数列，‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 两式相减，即得 ‎，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎，所以．‎ ‎13.【2016年高考全国Ⅱ卷，文17】等差数列{}中，．‎ ‎(Ⅰ)求{}的通项公式；‎ ‎(Ⅱ) 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0．9]=0，[2．6]=2．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ） 根据等差数列的通项公式及已知条件求，，从而求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）求，再求数列的前10项和．‎ ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知．‎ 当n=1，2，3时，；‎ 当n=4，5时，；‎ 当n=6，7，8时，；‎ 当n=9，10时，．‎ 所以数列的前10项和为．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式，数列的求和 ‎【点拨】求解本题时常出现以下错误：对“表示不超过的最大整数”理解出错．‎ ‎14.【2016年高考全国Ⅲ卷，文17】已知各项都为正数的数列满足，.‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）求的通项公式.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）将代入递推公式求得，将的值代入递推公式可求得；（Ⅱ）将已知的递推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列为等比数列，由此可求得数列的通项公式．‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意，得. ‎ ‎（Ⅱ）由得.‎ 因为的各项都为正数，所以.‎ 故是首项为，公比为的等比数列，因此. ‎ ‎【考点】数列的递推公式、等比数列的通项公式 ‎【点拨】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明（常数）；（2）中项法，即证明．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．‎