高考理科数学总复习试卷及其答案+概率与统计+概率统计专题练习题
高考理科数学总复习
试卷及其答案+概率与统计+概率统计专题练习题
高考理科数学总复习试卷 题目(附参考答案)
第一部分 选择题（40 分）
一、选择题（每小题 5 分，共 40 分）
1．已知命题 p :对任意的 Rx ，有 1ln x ，则 p 是 （ ）
A．存在 Rx 0 ，有 1ln 0 x B．对任意的 Rx ，有 1ln x
C．存在 Rx 0 ，有 1ln 0 x D．对任意的 Rx ，有 1ln x
2．已知 p：|2 x －3| < 1，q： x ( x -3)< 0，则 p 是 q 的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．集合 2 ,xA y y x R ， 2, 1,0,1,2B ，则下列结论正确的是 （ ）
A． (0, )A B B． ( ,0]R A B Uð
C． 2, 1,0R A B Ið D． 1,2R A B Ið
4．已知角 的终边过点 P(-4k,3k) ( 0k ), 则 cossin2 的值是 （ ）
A．
5
2 B．
5
2
C．
5
2 或
5
2 D．随着 k 的取值不同其值不同
5．函数 11 xxy 是 （ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
6．已知 ( )f x 是 R 上的减函数，则满足 1( ) (1)f fx
的实数 x 的取值范围是 （ ）
A． ( ,1) B． (1, )
C． ( ,0) (0,1) D． ( ,0) (1, )
7．将函数 cos( )3y x 的图象上所有点向右平移
6
单位，所得图象对应函数是（ ）
A． xy cos B． siny x
C． xy cos D． xy sin
8．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线 y＝f(x)，一种是平均价
格曲线 y＝g(x)(如 f(2)＝3 表示开始交易后第 2 小时的即时价格为 3 元；g(2)＝4 表示
开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为 4 元).下面所给出的四个图象中，实
线表示 y＝f(x)，虚线表示 y＝g(x)，其中可能正确的是
（ ）
A． B． C． D．
第二部分 非选择题（110 分）
二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）
9．
3
4
| 2|x dx
=_____*_____.
10．已知 0 ba ，全集 I=R，M = }2|{ baxbx ，N= }|{ axabx ,
则 M∩N = ___*____
11．已知
5
3)4sin( x ，则 x2sin 的值为____*__ ．
12．若 x 0，y 0，且 x +2y=1，则 2 x +3y2 的最小值是_____*_____.
13．在 ABC 中， A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、b 、 c ，若 60A ，b 、 c 分别
是方程 01172 xx 的两个根，则 a 等于___*____．
14．已知定义在区间[0 ,1] 上的函数 ( )y f x 的图像如图所示，对于满足 1 20 1x x 的任
意 1x 、 2x ，给出下列结论：
A． 2 1 2 1( ) ( )f x f x x x ；
B． 2 1 1 2( ) ( )x f x x f x ；
C． 1 2 1 2( ) ( )
2 2
f x f x x xf
．
其中正确结论的序号是 * ．（把所有正确结论的序号都填上）
三、解答题（共 6 大题，共 80 分）
15．（本题满分 12 分）
设函数 )(xf =
14
)1( 2
x
x 1
1
x
x
（1）求 )]0([ ff ；
（2）若 f（x）=1，求 x 值．
x x x x
yyyy
16．（本题满分 12 分）
函数 Rxxxxf ,)2sin()2cos()( 。
（1）求 )(xf 的周期；
（2）若 )(f 5
102 ， )2,0( ，求 )4tan( 的值。
17．（本题满分 14 分）
已知函数 )(xf =A )(sin 2 x (A>0, >0,0< <
2
)，且 )(xfy 的最大值为
2，其图象相邻两对称轴间的距离为 2，并过点（1,2）．
（1）求 ；
（2）计算 )2011(...)2()1( fff ．
18．（本题满分 14 分）
图 1 是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图 2 是凹槽的横截面（阴影部分）
示意图，其中四边形 ABCD 是矩形，弧 CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为 4.
已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为 3 ,设 yBCxAB ,2 。
（1）写出 y 关于 x 函数表达式，并指出 x 的取值范围；
（2）求当 x 取何值时，凹槽的强度最大.
A B
CD
m
19．（本题满分 14 分）
已知命题 p ：方程 2 2 2 0a x ax 在 上有解；
命题 q ：只有一个实数 x 满足不等式 0222 aaxx ；
若命题" "p q或 是真命题，而命题“ qp且 ”是假命题，且 q 是真命题，
求 a 的取值范围.
20．（本题满分 14 分）
已知函数
13
12log)( 2
ax
axxf ．
（1）求函数 )(xf 的定义域；
（2）若函数 )(xf 的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性；
（ 3 ） 在 （ 2 ） 的 条 件 下 ， 记 )(1 xf 为 )(xf 的 反 函 数 ， 若 关 于 x 的 方 程
kkxf x 525)(1 有解，求 k 的取值范围．
参考答案
一、选择题（每小题 5 分，共 40 分）
1． C 解析：答案：C
2． A 解析：∵p：1
0 x>1 或 x<0. 选D
7．B 解析： )6sin()3cos( xxy 的图象向右平移
6
单位后得到的函数是 siny x
的图象， 选 B
8．C 解析：本题考查函数及其图像的基本思想和方法，考查学生看图识图及理论联系实际
的能力.刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A 错误；开始交易后，平均价
格应该跟随即使价格变动，在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，B、D
均错误.
答案：C
9． 29
2
解析： 3
4
| 2 |x dx
= 2 3
4 2
2 2x dx x dx
（ ） （ ）
= 2 2
4
1( 2 ) |2 x x
+ 2 3
2
1( 2 ) |2 x x = 29
2
10．{x| ab ≤ x < a + b
2
}解析：∵ a > b > 0，∴ a > a + b
2
> ab >b，
∴M∩N = {x| ab ≤ x < a + b
2
}
11． 7
25
解析：sin2x=cos )2( x =1-2 )4(sin 2 x = 7
25
12．0.75 解析：
2
10,24332,21 22 yyyyxyx 答案：0.75
13．4．解析：
2 2 2
cos 2
b c aA bc
，且 7, 11b c bc ，可得 4,a a>0,则 a=4.
14．②③解析：利用斜率的集合意义及凸函数概念.
三、解答题（共 6 大题，共 80 分）
15． 解析：（1） 10 ， 1)0( f ---------3`
∴ )]0([ ff =4----------------5`
（2）当 x＜1 时，f（x）=1 （x+1）2=1 x=－2 或 x=0，
∴x=0.------------8`
当 x≥1 时，f（x）=1 4－ 1x =1 1x =3 x=10.--------11`
综上，知自变量 x=1 或 x=10------12`
16．解析：（1） )42(sin22cos2sin)2sin()2cos()( xxxxxxf ----2
)(xf 的周期 2 41
2
T ………… 4 分
（2）由 )(f 5
102 ，得
5
102
2cos2sin ，
∴
5
8sin1 ，∴
5
3sin ----------------6`
又 )2,0( ，∴
5
4
25
91sin1cos 2 ，-----------8`
∴
4
3
cos
sintan
，--------------10`
∴ )4tan( 7
4
31
14
3
4tantan1
4tantan
………… 12 分
17．解：（1） 2sin ( ) cos(2 2 ).2 2
A Ay A x x
( )y f x 的最大值为 2， 0A . 2, 2.2 2
A A A ……………………2 分
又其图象相邻两对称轴间的距离为 2， 0 ， 1 2( ) 2, .2 2 4
………4 分
2 2( ) cos( 2 ) 1 cos( 2 )2 2 2 2f x x x .
( )y f x 过 (1,2) 点， cos( 2 ) 1.2
2 2 , ,2 k k Z 2 2 , ,2k k Z , ,4k k Z
又 0 ,2
4
. …………………………………………………………8 分
（2） xxf 2sin1)(
(1) (2) (3) (4) 2 1 0 1 4f f f f .-------10`
又 ( )y f x 的周期为 4， 345022011 ，--------12`
)2011(...)2()1( fff 20110125024 ---------……14 分
18．解析：（1）易知半圆 CmD 的半径为 x，故半圆 CmD 的弧长为 x .
所 以 4 2 2x y x ，
----------------------2 分
得 4 (2 )
2
xy
----------------------3 分
依题意知： 0 x y
得 40 4x
所 以 ， 4 (2 )
2
xy （ 40 4x
） .
----------------------6 分
（2）依题意，设凹槽的强度为 T，横截面的面积为 S，则有
2
3 3(2 )2
xT S xy ----------------------8 分
24 (2 )3(2 )2 2
x xx
233[4 (2 ) ]2x x
23(4 3 ) 4 8 3( )2 4 3 4 3x
. ----------------------11 分
因为 4 40 4 3 4
,
所以，当 4
4 3x
时，凹槽的强度最大. ----------------------13
分
答: 当 4
4 3x 时，凹槽的强度最大. --------------14 分
19．解析：对于命题 p ：由 0222 axxa 在 上有解，
当 0a 时，不符合题意；-------2`
当 0a 时，方程可化为： 0)1)(2( axax ，
解得：
axax 12 或 ----------5`
∵ ]1,1[x ， 111 121
aa
或 ，----5`
解得： 11 aa 或 ------------8`
对于命题 q ：由只有一个实数 x 满足不等式 2 2 2 0,x ax a
得抛物线 aaxxy 222 与 x 轴只有一个交点，
∴ 24 8 0. 0 2,a a a 或 ------------10`
又因命题" "p q或 是真命题，而命题“ qp且 ”是假命题，且 p 是真命题，
则命题 p 是真命题，命题 q 是假命题，-----------12`
所以 a 的取值范围为 ),2[)2,1[]1,( ---------14`
20．解析：（1） 013
12
ax
ax ，
所以当 ),13()12,(,0 aaa 定义域为时 ；
当 0a 时，定义域为 ),12()13,( aa ；
当 0a 时，定义域为 ),1()1,( ……4 分
（2）函数 )(xf 的定义域关于坐标原点对称，
当且仅当 2)13(12 aaa ，
此时，
5
5log)( 2
x
xxf ． ……6 分
对于定义域 D= ),5()5,( 内任意 x ， Dx ，
)(5
5lg5
5lg5
5lg)( xfx
x
x
x
x
xxf
，所以 )(xf 为奇函数；……8 分
当 ),5( x ， )(xf 在 ),5( 内单调递减；
由于 )(xf 为奇函数，所以在 )5,( 内单调递减； ……10 分
（3）
12
)12(5)(1
x
x
xf ， 0x ……12 分
方程 kkxf x 525)(1 即 )12(12
12
x
x
x
k ，令 tx 2 ，得 2)1(
1
t
tk ，
又 ),0()1(
1
2
t
t ，所以当 0k 时方程 kkxf x 525)(1 有解.……14 分
概率与统计(附参考答案)
一、 考点剖析
考点 1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率
(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝
)(
)(
Icard
Acard ＝
n
m ;
(2)互斥事件有一个发生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);
特例：对立事件的概率：P(A)＋P( A )＝P(A＋ A )＝1.
(3)相互独立事件同时发生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);
特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝ knkk
n ppC )1( .其中 P 为事件 A 在一次试验中发生
的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第 k+1 项.
考点 2、离散型随机变量的分布列
1.随机变量及相关概念
①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η
等表示.
②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
①离散型随机变量的分布列的概念和性质
一般地，设离散型随机变量 可能取的值为 1x ， 2x ，……， ix ，……， 取每一个值 ix（ i 1，
2，……）的概率 P（ ix ）= iP ，则称下表.
为随机变量 的概率分布，简称 的分布列.
由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：
（1） 0iP ， i 1，2，…;（2） 21 PP …=1.
②常见的离散型随机变量的分布列：
（1）二项分布
n 次独立重复试验中，事件 A 发生的次数 是一个随机变量，其所有可能的取值为 0，1，
2，…n，并且 knkk
nk qpCkPP )( ，其中 nk 0 ， pq 1 ，随机变量 的分布列如下：
0 1 … k … n
P n
n qpC 00 111 n
n qpC … knkk
n qpC 0qpC nn
n
称这样随机变量 服从二项分布，记作 ),(~ pnB ，其中 n 、 p 为参数，并记：
),;( pnkbqpC knkk
n .
（2） 几何分布
在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数 是一个取值为正整数的离
散型随机变量，“ k ”表示在第 k 次独立重复试验时事件第一次发生.
1x 2x … ix …
P P1 P2 … iP …
随机变量 的概率分布为：
1 2 3 … k …
P p qp 2q p … 1kq p …
考点 3 离散型随机变量的期望与方差
随机变量的数学期望和方差
(1)离散型随机变量的数学期望： 2211 pxpxE …；期望反映随机变量取值的平均水平.
⑵离散型随机变量的方差： 2
2
21
2
1 )()( pExpExD … nn pEx 2)( …；
方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.
⑶基本性质： baEbaE )( ； DabaD 2)( .
(4)若 ～B(n，p)，则 npE ; D =npq（这里 q=1-p） ;
如果随机变量 服从几何分布， ),()( pkgkP ，则
pE 1 ，D =
2p
q 其中 q=1-p.
考点 4 抽样方法与总体分布的估计
抽样方法
1．简单随机抽样：设一个总体的个数为 N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每
次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表
法.
2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规
则，从每一部分抽取 1 个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.
3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分
所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.
总体分布的估计
由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样
本容量越大，这种估计就越精确.
总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.
当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表
示，几何表示就是相应的条形图.
当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.
总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无
限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.
考点 5 正态分布与线性回归
1.正态分布的概念及主要性质
（1）正态分布的概念
如果连续型随机变量 的概率密度函数为 2
2
2
)(
2
1)(
x
exf ，x R 其中、 为常数，
并且 ＞0，则称 服从正态分布，记为 ~ N （ ， 2 ）.
（2）期望 E =μ，方差 2 D .
（3）正态分布的性质
正态曲线具有下列性质:
①曲线在 x 轴上方，并且关于直线 x＝μ对称.
②曲线在 x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低.
③曲线的对称轴位置由μ确定；曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“矮胖”；反之越“高
瘦”.
（4）标准正态分布
当 =0，=1 时 服从标准的正态分布，记作 ~ N （0，1）
（5）两个重要的公式
① ( ) 1 ( )x x ,② ( ) ( ) ( )P a b b a .
（6） 2( , )N 与 (0,1)N 二者联系.
1 若 2~ ( , )N ，则 ~ (0,1)N
;
②若 2~ ( , )N ，则 ( ) ( ) ( )b aP a b
.
2.线性回归
简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.
变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确
定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统
计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.
具体说来，对 n 个样本数据（ 1 1,x y ），（ 2 2,x y ），…，（ ,n nx y ），其回归直线方程，或经验公
式为： abxy ˆ .其中
,,
)(
1
22
1 xbya
xnx
yxnyx
b n
i
i
n
i
ii
，其中 yx, 分别为| ix |、| iy |的平均数.
二、例题讲解
例 1（1）．在五个数字1 2 3 4 5，，，， 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概
率是 （结果用数值表示）．
[解答过程]0.3 提示: 1
3
3
5
C 3 3 .5 4C 10
2
P
（2）．一个总体含有 100 个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为 5
的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．
[解答过程] 1 .20
提示: 5 1 .100 20P
例 2（2008 年高考广东卷理 3）某校共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如表．已知在
全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是 0.19 ．现用分层抽样的方法在全校抽取
64 名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ） 学科网
A． 24 B．18 C．16 D．12 学科网
学科网
学科网
学科网
学科网
分析：根据给出的概率先求出 x 的值，这样就可以知道三年级的学生人数，问题就解决
了． 学科网
解析：C 二年级女生占全校学生总数的19% ，即 2000 0.19 380x ，这样一年级
和二年级学生的总数是 373 377 380 370 1500 ，三年级学生有500 人，用分层抽样
抽取的三年级学生应是 64 500 162000
．答案 C． 学科网
学科网
例 3．（2009 江苏泰州期末第 2 题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000 人，
并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、
职业等方面的关系，要从这10000 人中再用分层抽样方法抽出100 人作进一步调查，则在
2500,3500 （元）月收入段应抽出 人． 学科网
一年级 二年级 三年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
学科网
分析：实际上是每100人抽取一人，只要把区间内的人数找出来即可． 学科网
解析：根据图可以看出月收入在 2500,3500 的人数的频率是 学科网
0.0005 0.0003 500 0.4 ，故月收入在 2500,3500 人数是10000 0.4 4000 ，
学科网
故抽取 25 人． 学科网
例 4.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为 0.80.现有 5 人接种该疫苗，至少有 3 人出现发
热反应的概率为__________.（精确到 0.01）
[解答提示]至少有 3 人出现发热反应的概率为
3 3 2 4 4 5 5
5 5 50.80 0.20 0.80 0.20 0.80 0.94C C C . 故填 0.94.
例 5（11 天津，文）（本小题满分 13 分）
编号为 1 2 16, , ,A A A 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
运 动
员
编
号
1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A
得分 15 35 21 28 25 36 18 34
运 动
员
编
号
9A 10A 11A 12A 13A 14A 15A 16A
得分 17 26 25 33 22 12 31 38
（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；
区间 10,20 20,30 30,40
人数
（Ⅱ）从得分在区间 20,30 内的运动员中随机抽取 2 人，
（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；
（ii）求这 2 人得分之和大于 50 的概
解析（Ⅰ）解：4，6，6
（Ⅱ）（i）解：得分在区间[20,30) 内的运动员编号为 3 4 5 10 11 13, , , , , .A A A A A A 从中随机
抽取 2 人，所有可能的抽取结果有：
3 4 3 5 3 10 3 11 3 13 4 5{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },A A A A A A A A A A A A 4 10{ , }A A ，
4 11 4 13 5 10 5 11 5 13 10 11 10 13 11 13{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , }A A A A A A A A A A A A A A A A ， 共
15 种。
（ii）解：“从得分在区间[20,30) 内的运动员中随机抽取 2 人，这 2 人得分之和大于 50”
（记为事件 B）的所有可能结果有： 4 5 4 10 4 11 5 10 10 11{ , },{ , },{ , },{ , },{ , }A A A A A A A A A A ，
共 5 种。
所以 5 1( ) .15 3P B
例 6．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件 A ：“取出的 2
件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 ( ) 0.96P A ．
（1）求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ；
（2）若该批产品共 100 件，从中任意抽取 2 件，求事件 B ：“取出的 2 件产品中至少有一
件二等品”的概率 ( )P B ．
[解答过程]（1）记 0A 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品”，
1A 表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品”．
则 0 1A A， 互斥，且 0 1A A A ，故
0 1( ) ( )P A P A A 2 1 2
0 1 2( ) ( ) (1 ) C (1 ) 1 .P A P A p p p p
于是 20.96 1 p ．
解得 1 20.2 0.2p p ， （舍去）．
（2）记 0B 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品”，则 0B B ．
若该批产品共 100 件，由（1）知其中二等品有100 0.2 20 件，故 2
80
0 2
100
C 316( ) C 495P B ．
0 0
316 179( ) ( ) 1 ( ) 1 .495 495P B P B P B
例 7．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有 2 个红球，2 个白球；乙袋装有 2
个红球，n 个白球.由甲，乙两袋中各任取 2 个球.
(Ⅰ)若 n=3，求取到的 4 个球全是红球的概率；(Ⅱ)若取到的 4 个球中至少有 2 个红球的概
率为
4
3 ，求 n.
[考查目的]本题主要考查排列组合、概率等基本知识，同时考察逻辑思维能力和数学应用能
力.
[标准解答]（I）记“取到的 4 个球全是红球”为事件 A .
2 2
2 2
2 2
4 5
1 1 1( ) .6 10 60
C CP A C C
（II）记“取到的 4 个球至多有 1 个红球”为事件 B ，“取到的 4 个球只有 1 个红球”为事
件 1B ，“取到的 4 个球全是白球”为事件 2B .
由题意，得 3 1( ) 1 .4 4P B
2 1 11 1 2
22 2 2
1 2 2 2 2
4 2 4 2
( ) n n
n n
C C CC C CP B C C C C
22 ;3( 2)( 1)
n
n n
22
2
2 2 2
4 2
( ) n
n
CCP B C C
( 1) ;6( 2)( 1)
n n
n n
所以, 1 2( ) ( ) ( )P B P B P B
22 ( 1)
3( 2)( 1) 6( 2)( 1)
n n n
n n n n
1
4
，
化简，得 27 11 6 0,n n 解得 2n ，或 3
7n （舍去），
故 2n .
例 8.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾
客采用一次性付款的概率是 0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润
200 元；若顾客采用分期付款，商场获得利润 250 元．
（Ⅰ）求 3 位购买该商品的顾客中至少有 1 位采用一次性付款的概率；
（Ⅱ）求 3 位顾客每人购买 1 件该商品，商场获得利润不超过 650 元的概率．
[解答过程]（Ⅰ）记 A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则 A 表示事件：
“3位顾客中无人采用一次性付款”．
2( ) (1 0.6) 0.064P A ， ( ) 1 ( ) 1 0.064 0.936P A P A ．
（Ⅱ）记 B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过 650 元”．
0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．
1B 表示事件：“购买该商品的 3位顾客中恰有1位采用分期付款”．
则 0 1B B B ．
3
0( ) 0.6 0.216P B ， 1 2
1 3( ) 0.6 0.4 0.432P B C ．
0 1( ) ( )P B P B B 0 1( ) ( )P B P B 0.216 0.432 0.648 ．
例 9（10 山东，理）（本小题满分 12 分）
某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有 , , ,A B C D 四个问题，规则如下：
1 每位参加者计分器的初始分均为 10 分，答对问题 , , ,A B C D 分别加 1 分、2 分、3 分、
6 分，答错任一题减 2 分；
2 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于 8 分时，答题结束，淘汰出局；当
累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足
14 分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，进入下一
轮；当答完四题，累计分数仍不足 14 分时，答题结束，淘汰出局；
3 每位参加者按问题 , , ,A B C D 顺序作答，直至答题结束.
假设甲同学对问题 , , ,A B C D 回答正确的概率依次为 3 1 1 1, , ,4 2 3 4
，且各题回答正确与否相互
之间没有影响.
(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；
（Ⅱ）用 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求 的分布列和数学的 E .
、解：设 , , ,A B C D 分别为第一、二、三、四个问题.用 1( 1,2,3,4)M i 表示甲同学
第i 个问题回答正确，用 1( 1,2,3,4)N i 表示甲同学第i 个问题回答错误，则 1M 与
1N 是对立事件( 1,2,3,4)i .由题意得
1 2 3 4
3 1 1 1( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,4 2 3 4P M P M P M P M
所以
1 2 3 4
1 1 2 3( ) , ( ) , ( ) , ( )4 2 3 4P N P N P N P N
（Ⅰ）记“甲同学能进入下一轮”为事件Q ，
则
（Ⅱ）由题意，随机变量 的可能取值为： 2,3,4 .
由于每题答题结果相互独立，
所以
因此 随机变量 的分布列为
2 3 4
P 1
8
3
8
1
2
所以
1 3 1 272 3 48 8 2 8E .
例 10．（2008 高考山东文 18）现有8 名奥运会志愿者，其中志愿者 1 2 3A A A， ， 通晓日语，
1 2 3B B B， ， 通晓俄语， 1 2C C， 通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，
组 成一个小组．
（1）求 1A 被选中的概率；
（2）求 1B 和 1C 不全被选中的概率．
分析：枚举的方法找出基本事件的总数，结合着随机事件、对立事件的概率，用古典概型的
计算公式解决．
解析：（1）从8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事
件空间
{ 1 1 1 1 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )A B C A B C A B C， ， ， ， ， ， ， ， ， 1 2 2 1 3 1( ) ( )A B C A B C， ， ， ， ， ，
1 3 2( )A B C， ， ， 2 1 1 2 1 2 2 2 1( ) ( ) ( )A B C A B C A B C， ， ， ， ， ， ， ， ， 2 2 2( )A B C， ， ，
2 3 1( )A B C， ， ， 2 3 2( )A B C， ， ， 3 1 1 3 1 2 3 2 1( ) ( ) ( )A B C A B C A B C， ， ， ， ， ， ， ， ，
3 2 2 3 3 1 3 3 2( ) ( ) ( )A B C A B C A B C， ， ， ， ， ， ， ， }
由18 个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生
是等可能的．
用 M 表示“ 1A 恰被选中”这一事件，则
M { 1 1 1 1 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )A B C A B C A B C， ， ， ， ， ， ， ， ，
1 2 2 1 3 1 1 3 2( ) ( ) ( )A B C A B C A B C， ， ， ， ， ， ， ， }
事件 M 由 6 个基本事件组成，因而 6 1( ) 18 3P M ．
（2）用 N 表示“ 1 1B C， 不全被选中”这一事件，则其对立事件 N 表示“ 1 1B C， 全被选中”这
一事件，
由于 N { 1 1 1 2 1 1 3 1 1( ) ( ) ( )A B C A B C A B C， ， ， ， ， ， ， ， }，事件 N 有 3 个基本事件组成，
所以 3 1( ) 18 6P N ，由对立事件的概率公式得 1 5( ) 1 ( ) 1 6 6P N P N ．
点评：本题考查古典概率、对立事件等概率的基础知识，考查分类讨论、“正难则反”
等数学思想方法，考查分析问题解决问题的能力．
例 11．（浙江宁波市 2008 学年度第一学期期末理科第 9 题）由 0,1,2,3,4 这五个数字组成的
无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{ }na ,则 19a =
A． 2014 B． 2034 C．1432 D．1430
分析：按照千位的数字寻找规律．
解析：千位是1的四位偶数有 1 2
3 3 18C A ，故第19和是千位数字为 2 的四位偶数中最小的一
个，即 2014 ，答案 A．
例 12．
厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需
随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.
（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8,从中任意取出 4 件进行检验,求至少
有 1 件是合格的概率；
（Ⅱ）若厂家发给商家 20 件产品中,其中有 3 件不合格,按合同规定该商家从中任取 2
件.都进行检验,只有 2 件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品
数 的分布列及期望 E ,并求出该商家拒收这批产品的概率.
[解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取 4 件产品检验，其中至少有 1 件是合格品”为事件 A
用对立事件 A 来算，有 41 1 0.2 0.9984P A P A
（Ⅱ） 可能的取值为 0,1,2 ．
2
17
2
20
1360 190
CP C
，
1 1
3 17
2
20
511 190
C CP C
，
2
3
2
20
32 190
CP C
136 51 3 30 1 2190 190 190 10E ．
记“商家任取 2 件产品检验，都合格”为事件 B，则商家拒收这批产品的概率
0 1 2
P 136
190
51
190
3
190
136 271 1 190 95P P B ．
所以商家拒收这批产品的概率为 27
95
．
例 13． 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，
否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为
5
4 、
5
3 、
5
2 ,且各
轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为 ，求随机变量 的分布列与数学期望.
（注：本小题结果可用分数表示）
[解答过程]解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 ( 1 2 3)iA i ，， ，则
1
4( ) 5P A ，
2
3( ) 5P A ，
3
2( ) 5P A ，
该选手被淘汰的概率
1 1 2 2 2 3 1 1 2 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A
1 4 2 4 3 3 101
5 5 5 5 5 5 125
．
（Ⅱ） 的可能值为12 3，，， 1
1( 1) ( ) 5P P A ，
1 2 1 2
4 2 8( 2) ( ) ( ) ( ) 5 5 25P P A A P A P A ，
1 2 1 2
4 3 12( 3) ( ) ( ) ( ) 5 5 25P P A A P A P A ．
的分布列为
1 2 3
P 1
5
8
25
12
25
1 8 12 571 2 35 25 25 25E ．
解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 ( 1 2 3)iA i ，， ，则
1
4( ) 5P A ，
2
3( ) 5P A ，
3
2( ) 5P A ．
该选手被淘汰的概率 1 2 3 1 2 31 ( ) 1 ( ) ( ) ( )P P A A A P A P A P A 4 3 2 1011 5 5 5 125
．
（Ⅱ）同解法一．
例 14．（09 全国二，文）（本小题满分 12 分）
某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 10 名工人，其中有 6 名女工人。
现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取 4 名工
人进行技术考核。
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率；
（Ⅲ）求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率
8、（20）解：
（Ⅰ）由于甲、乙两组各有 10 名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取
4 名工人进行技术考核，则从每组各抽取 2 名工人。
（Ⅱ）记 A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人，则
15
8)( 2
10
1
6
1
4
C
CCAP
（Ⅲ） iA 表示事件：从甲组抽取的 2 名工人中恰有i 名男工人， 210 ，，i
jB 表示事件：从乙组抽取的 2 名工人中恰有 j 名男工人， 210j ，，
B 表示事件：抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人。
iA 与 jB 独立， 210 ，，， ji ，且 021120 BABABAB
故
)()( 021120 BABABAPBP
)()()()()()( 021120 BPAPBPAPBPAP
1 1 1 1 2 22 2
4 6 6 4 6 64 4
2 2 2 2 2 2
10 10 10 10 10 10
C C C C C CC C
C C C C C C
例 15. 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为
1 2 3 4 5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250
元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元． 表示经销一件该商品的利润．
（Ⅰ）求事件 A ：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 ( )P A ；
（Ⅱ）求 的分布列及期望 E ．
[考查目的] 本小题主要考查概率和离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查运用概率
知识解决实际问题的能力.
[解答过程]（Ⅰ）由 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款”．
知 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款”
2( ) (1 0.4) 0.216P A ， ( ) 1 ( ) 1 0.216 0.784P A P A ．
（Ⅱ） 的可能取值为 200 元， 250 元，300元．
( 200) ( 1) 0.4P P ，
( 250) ( 2) ( 3) 0.2 0.2 0.4P P P ，
( 300) 1 ( 200) ( 250) 1 0.4 0.4 0.2P P P ．
的分布列为
200 250 300
P 0.4 0.4 0.2
200 0.4 250 0.4 300 0.2E 240 （元）．
小结：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.本题考
查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.
例 16.某班有 48 名学生，在一次考试中统计出平均分为 70 分，方差为 75，后来发现有 2
名同学的成绩有误，甲实得 80 分却记为 50 分，乙实得 70 分却记为 100 分，更正后平均分
和方差分别是
A.70，25 B.70，50 C.70，1.04 D.65，25
解答过程：易得 x 没有改变， x =70，
而 s2= 48
1 ［（x12+x22+…+502+1002+…+x482）－48 x 2］=75，
s′2= 48
1 ［（x12+x22+…+802+702+…+x482）－48 x 2］
= 48
1 ［（75×48+48 x 2－12500+11300）－48 x 2］
=75－
48
1200 =75－25=50.
答案：B
例 17.考查某校高三年级男生的身高，随机抽取 40 名高三男生，实测身高数据（单位：cm）如
下：
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165
171 169 167 169 151 168 170 160 168 174
165 168 174 159 167 156 157 164 169 180
176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
⑴作出频率分布表；⑵画出频率分布直方图.
思路启迪：确定组距与组数是解决“总体中的个体取不同值较多”这类问题的出发点.
解答过程：⑴最低身高为 151，最高身高 180，其差为 180-151=29。确定组距为 3，组数为
10，列表如下：
⑵频率分布直方图如下：
小结： 合理、科学地确定组距和组数，才能准确地制表及绘图，这是用样本的频率分布估计总
体分布的基本功．
估计总体分布的基本功。
例 18.如果随机变量ξ～N（μ，σ2），且 Eξ=3，Dξ=1，则 P（－1＜ξ≤1＝等于( )
A.2Φ（1）－1 B.Φ（4）－Φ（2）
C.Φ（2）－Φ（4） D.Φ（－4）－Φ（－2）
解答过程：对正态分布，μ=Eξ=3，σ2=Dξ=1，故 P（－1＜ξ≤1）=Φ（1－3）－Φ（－
1－3）=Φ（－2）－Φ（－4）=Φ（4）－Φ（2）.
答案：B
三、复习建议
在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计
成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较
熟悉的实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的
识别及概率计算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的
运用． 由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查
注重考查基础知识和基本方法．该部分在高考试卷中，一般是 2—3 个小题和一个解答题．
四、真题训练
1.（安徽省皖南八校 2009 届高三第二次联考理科数学第 2 题）从某校高三年级随机抽
取一个班，对该班50 名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分
布直方图如右图：若某高校 A 专业对视力的要求在 0.9 以上，则该班学生中能报 A 专
业的人数为 学科网
学科网
A．10 B． 20 C．8 D．16 学科网
分析：根据图找出视力在 0.9 以上的人数的频率即可． 学科网
解析：B．视力住 0.9 以上的频率为 (1 0.75 .025) 0.2 0.4 ，人数为 0.4 50 20 ．
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点评：在解决频率分别直方图问题时容易出现的错误是认为直方图中小矩形的高就是各
段的频率，实际上小矩形的高是频率除以组距． 学科网
2. （2009 年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第 13 题）某篮球运动员在一个
赛季的 40 场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是 ；众
数是 ． 学科网
学科网
分析：根据茎叶图和中位数、众数的概念解决． 学科网
解析：由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来，处在中间位置的一个（或
是最中间两个数的平均数），故从茎叶图可以看出中位数是 23；而众数是样本数据中出
现次数最多的数，故众数也是 23． 学科网
点评：一表（频率分布表）、三图（频率分布直方图、频率折线图、茎叶图）、三数（众
数、中位数、众数）和标准差，是高考考查统计的一个主要考点． 学科网
3.（2008 高考广东文 11）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了 20 位工
人 某 天 生 产 该 产 品 的 数 量 ． 产 品 数 量 的 分 组 区 间 为 45,55 ，
55,65 , 65,75 , 75,85 ， 学科网
85,95 由此得到频率分布直方图如图，则这 20 名工人中一天生产该产品数量在
55,75 的人数是 ． 学科网
学科网
分析：找出频率即可． 学科网
解析： 20 0.040 0.0025 10 13 ． 学科网
点评：本题考查频率分布直方图，解题的关键是明确这个直方图上的纵坐标是频率/组
距，得出生产数量在 55,75 的人数的频率． 学科网
4.（2008 高考山东文 9）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100
人成绩的标准差为（ ） 学科网
学科网
A． 3 B． 2 10
5 C． 3 D． 8
5 学科网
分析：根据标准差的计算公式直接计算即可． 学科网
解析： 平均数是 5 20 4 10 3 30 2 30 1 10 3100
， 学科网
标准差是 学科网
2 2 2 2 220 5 3 10 4 3 30 3 3 30 2 3 10 1 3
100
80 10 30 40 8 2 10
100 5 5
s
． 学科网
答案 B． 学科网
点评：本题考查数据组的平均数和标准差的知识，考查数据处理能力和运算能力．解题
的关键是正确理解统计表的意义，会用平均数和标准差的公式，只要考生对此认识清楚，
解答并不困难． 学科网
5.（中山市高三级 2008—2009 学年度第一学期期末统一考试理科第 9 题）若数据
1 2 3, , , , nx x x x 的平均数 5x ，方差 2 2 ，则数据 1 2 33 1, 3 1, 3 1, , 3 1nx x x x
的平均 数为 ，方差为 ． 学科网
分析：根据平均数与方差的性质解决． 学科网
解析：16,18
学科网
6.（浙江宁波市 2008 学年度第一学期期末理科第 3 题）如图是 2009 年元旦晚会举办的
挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一
个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 学科网
A． 84 ， 4.84 B．84 ，1.6 C． 85 ，1.6 D．85 ， 4 学科网
学科网
解析：C 学科网
7.（2008 高考湖南文 12）从某地区15000 位老人中随机抽取500 人，其生活能否自理
的情况如下表所示： 学科网
学科网
学科网
学科网
学科网
学科网
学科网
学科网
学科网
学科网
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人． 学科网
解析： 60 由上表得 23 2115000 2 30 60.500
学科网
点评：考查样本估计总体的思想． 学科网
8.（2007 高考广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产
量 x （吨）与相应的生产能耗 y （吨标准煤）的几组对照数据 学科网
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
（1）请画出上表数据的散点图； 学科网
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程 y bx a ；
学科网
（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90 吨标准煤；试根据（２）求出的线性
回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？ 学科网
分析：本题中散点图好作，本题的关键是求 y 关于 x 的线性回归方程 y bx a ，它既
可以由给出的回归系数公式直接计算，也可以遵循着最小二乘法的基本思想――即所求
的直线应使残差平方和最小，用求二元函数最值的方法解决． 学科网
解析： 学科网
（1）散点图如右 ； 学科网
（2）方法一：设线性回归方程为 y bx a ，则 学科网
2 2 2 2
2 2 2 2 2
( , ) (3 2.5) (4 3) (5 4) (6 4.5)
4 2 (18 14) (3 2.5) (4 3) (5 4) (6 4.5)
f a b b a b a b a b a
a a b b b a b
学科网
∴ 7 9 3.5 4.52
ba b 时， ( , )f a b 取得最小值
2 2 2 2(1.5 1) (0.5 0.5) (0.5 0.5) (1.5 1)b b b b ， 学科网
即 2 2 2 50.5[(3 2) ( 1) ] 5 7 2b b b b ，∴ 0.7, 0.35b a 时 ,f a b 取得最小值． 学科网
所以线性回归方程为 0.7 0.35y x ． 学科网
方法二：由系数公式可知， 2
66.5 4 4.5 3.5 66.5 634.5, 3.5, 0.7586 4 4.5
x y b
学科网
93.5 0.7 0.352a ，所以线性回归方程为 0.7 0.35y x ． 学科网
（3） 100x 时， 0.7 0.35 70.35y x ，所以预测生产100 吨甲产品的生产能耗比技
术改造前降低19.65吨标准煤． 学科网
点评：本题考查回归分析的基本思想．求线性回归方程的方法一这实际上是重复了回
归系数公式的推导过程，这里的另一个解决方法是对 ,f a b 我们再按 b 集项，即
2 2 2 22, 86 (36 133) 2.5 3 4 4.5f a b b a b a a a a ，而这个
时候，当 133 36
172
ab 时 ,f a b 有最小值，结合上面解法中 3.5 4.5a b 时 ,f a b
有最小值，组成方程组就可以解出 a ，b 的值；方法二前提是正确地使用回归系数的计
算公式，一般考试中都会给出这个公式，但要注意各个量的计算；最后求出的19.65是
指的平均值或者是估计值，不是完全确定的值．对于本题我们可以计算题目所给的数据
组的相关系数 0.9899r ，相关指数 2 0.98R ．这说明 x ，y 具有很强的线性相关性，
说明解释变量对预报变量的贡献率是 98% ，即耗煤量的 98% 是来自生产量，只有约
2% 来自其它因素，这与我们的直观感觉是十分符合的．本题容易用错计算回归系数的
公式，或是把回归系数和回归常数弄颠倒了． 学科网
9 .（2008 高考江苏 2）一个骰子连续投 2 次，点数和为 4 的概率 ．
分析：枚举基本事件总数和随机事件所包含的基本事件的个数后，根据古典概型的计算
公式计算．
解析：点数和为 4 ，即 1,3 , 2,2 , 3,1 ，基本事件的总数是 36 ，故这个概率是
3 1
36 9
．或是数形结合处理．
点评：古典概型的计算是一个基础性的考点，高考中除了以解答题的方式重点考查概率
的综合性问题外，也以选择题、填空题的方式考查古典概型的计算．
10．（2009 年福建省理科数学高考样卷第 4 题）如图，边长为 2 的正方形内有一内切圆．在
图形上随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是
A．
4
B． 4
C． 4
4
D．
分析：就是圆的面积和正方形面积的比值．
解析：根据几何概型的计算公式，这个概率值是
4
，答案 A．
点评：高考对几何概型的考查一般有两个方面，一是以选择题、填空题的方式有针对性
地考查，二是作为综合解答题的一部分和其他概率计算一起进行综合考查．
11．（浙江宁波市 2008 学年度第一学期期末理科第 19 题）在一个盒子中，放有标号分
别为1， 2 ，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别
为 x 、 y ，记 xyx 2 ．
（1）求随机变量 的最大值，并求事件“ 取得最大值”的概率；
（2）求随机变量 的分布列和数学期望．
分析：根据对随机变量 的规定，结合 ,x y 的取值确定随机变量可以取那些值，然后根
据其取这些值的意义，分别计算其概率．
解析：（1） x 、 y 可能的取值为1、 2 、3， 12 x ， 2 xy ，
3 ，且当 3,1 yx 或 1,3 yx 时， 3 ．因此，随机变量 的最大值为
3 ．
有放回抽两张卡片的所有情况有 933 种，
9
2)3( P ．
（2） 的所有取值为 3,2,1,0 ．
0 时，只有 2,2 yx 这一种情况，
1 时，有 1,1 yx 或 1,2 yx 或 3,2 yx 或 3,3 yx 四种情况，
2 时，有 2,1 yx 或 2,3 yx 两种情况．
9
1)0( P ，
9
4)1( P ，
9
2)2( P ．
则随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
P 9
1
9
4
9
2
9
2
因此，数学期望
9
14
9
239
229
419
10 E ．
点评：有放回的“取卡片、取球”之类的问题，其基本事件的总数要由分步乘法计数原理
解决，这是一类重要的概率模型．
12.【2010.北京】 从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制
成频率分布直方图（如图 3）.由图中数据可知 a=___________.若要从身高在[120,130），
[130，140），[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动，则从
身高在[140，150]内的学生中抽取的人数应为________________.
【答案】 0.030 3
【解析】①由图可算出各段的频数分别为 5、35、1000a、20、10 因为 1000a=30，所以 a=0.030
②[120，130)、[130，140），[140,150]三组学生数分别为 30,20,10 总数为 60，所以抽样比为
310
31010
3
60
18 ，由 得，[140,150]内的学生中应选取 3 个.
13..【2010.天津】 甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图 3，中间的
一列数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这 10 天甲、乙两
人日加工零件的平均数分别为_____________和____________.
【答案】 24，23
【解析】 由茎叶图易得甲日加工零件平均数为 24，乙日加工零件平均数为 23.
14.【2010.安徽】 甲罐中有 5 个红球，2 个白球和三个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球
和 3 个黑球.先从甲罐中随机抽取一球放入乙罐，分别以 A1，A2 和 A3 表示由甲罐取出的球
是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机抽取一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的
事件，则下列结论中正确的是________________（写出所有正确结论的编号）.
①
5
2)( BP ；②
11
5)1|( ABP ；③事件 B 与事件 A1 相互独立；④A1，A2，A3 是两两互
斥的事件；⑤ )(BP 的值不能确定，因为它与 A1，A2，A3 中究竟哪一个发生有关.
【答案】 ②④
【解析】 易排除①，③事件 B 与事件 A1 是否发生有关，不相互独立，⑤ )(BP 的值虽与
A1，A2，A3 哪一个发生有关，但 )(BP 的值是确定的.
15.【2010.湖南】 在区间[﹣1,2]上随机取一个数 x ，则 1x 的概率为______________.
【答案】
3
2
【解析】 在[﹣1,2]上满足 1x 为 2 个单位长度，故 P=
3
2
16.【2010.福建】 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确
回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，
且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于
______________.
【答案】 0.128
【解析】 4 次回答问题相互独立，恰好在回答 4 个问题就晋级即第 1 次对错都可，第 2 次
错，第 3、4 次答对，所以 P=1×0.2×0.8×0.8=0.128
17.（09 全国一，文）（本小题满分 12 分）
甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假
设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立。已知前 2
局中，甲、乙各胜 1 局。
（Ⅰ）求再赛 2 局结束这次比赛的概率；
（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。
解（Ⅰ）Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时，40 分钟内赶到火车站”，Bi 表示事件“乙选择路径
Li 时，50 分钟内赶到火车站”，i=1,2．用频率估计相应的概率可得
P（A1）=0．1+0．2+0．3=0．6，P（A2）=0．1+0．4=0．5，
P（A1） ＞P（A2）, 甲应选择 Li
P（B1）=0．1+0．2+0．3+0．2=0．8，P（B2）=0．1+0．4+0．4=0．9，
P（B2） ＞P（B1）, 乙应选择 L2．
（Ⅱ）A,B 分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，http://www.51jjcn.cn/gaokao/ 甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，
由（Ⅰ）知 ( ) 0.6, ( ) 0.9P A P B ,又由题意知，A,B 独立，
( 0) ( ) ( ) ( ) 0.4 0.1 0.04P X P AB P A P B
( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P X P AB AB P A P B P A P B
0.4 0.9 0.6 0.1 0.42
( 2) ( ) ( ) ( ) 0.6 0.9 0.54P X P AB P A P B
X 的分布列为
X 0 1 2
P 0．04 0．42 0．54
18、（11 天津，理）（本小题满分 13 分）
学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱子里
装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机
摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在 1 次游戏中，
（i）摸出 3 个白球的概率；
（ii）获奖的概率；
（Ⅱ）求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 ( )E X .
（i）解：设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 ( 0,1,2,3),iA i 则
2 1
3 2
3 2 2
5 3
1( ) .5
C CP A C C
（ii）解：设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B，则 2 3B A A ，又
2 2 1 1 1
3 2 2 2 2
2 2 2 2 2
5 3 5 3
1( ) ,2
C C C C CP A C C C C
且 A2，A3 互斥，所以 2 3
1 1 7( ) ( ) ( ) .2 5 10P B P A P A
（II）解：由题意可知 X 的所有可能取值为 0，1，2.
2
1
2
2
7 9( 0) (1 ) ,10 100
7 7 21( 1) (1 ) ,10 10 50
7 49( 2) ( ) .10 100
P X
P X C
P X
所以 X 的分布列是
X 0 1 2
P 9
100
21
50
49
100
X 的数学期望 9 21 49 7( ) 0 1 2 .100 50 100 5E X
19．（11 天津，文）（本小题满分 13 分）
编号为 1 2 16, , ,A A A 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
运 动
员
编
1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A
号
得分 15 35 21 28 25 36 18 34
运 动
员
编
号
9A 10A 11A 12A 13A 14A 15A 16A
得分 17 26 25 33 22 12 31 38
（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；
区间 10,20 20,30 30,40
人数
（Ⅱ）从得分在区间 20,30 内的运动员中随机抽取 2 人，
（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；
（ii）求这 2 人得分之和大于 50 的概率．
、解（1）当 X=8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，
所以平均数为
;4
35
4
10988 x
方差为
.16
11])4
3510()4
359()4
358[(4
1 2222 s
（Ⅱ）记甲组四名同学为 A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为 9，9，11，11；
乙组四名同学为 B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为 9，8，9，10，分别从甲、
乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有 16 个，它们是：
（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），
（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），
（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），
用 C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为 19”这一事件，则 C 中的结果有 4 个，它
们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为 .4
1
16
4)( CP
高中数学组卷专题-概率统计练习(附参考答案)
一．选择题（共 5 小题）
1．（2015•秦安县一模）已知集合 表示的平面区域为Ω，若在
区域Ω内任取一点 P（x，y），则点 P 的坐标满足不等式 x2+y2≤2 的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2014•南岗区校级三模）王明早晨在 6：30～7：00 之间离开家去上学，送奶员在早上 6：
45～7：15 之把牛奶送到王明家，则王明离开家之前能取到牛奶的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2015•铜仁市模拟）在区域 内任取一点 P，则点 P 落在单位圆 x2+y2=1
内的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2014•宜昌二模）设点（a，b）是区域 内的随机点，函数 f（x）=ax2﹣4bx+1
在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2014•南平二模）某小学数学组组织了“自主招生选拔赛”从参加考试的学生中抽出 60 名
学生，将其成绩分为六组[40，50）[50，60），…[90，100
]
，其部分频率分布直方图如图所示，
观察图形，从成绩在[40，50）和[90，100
]
的学生中随即选两个人，则他们在同一分数段的
概率是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共 1 小题）
6．（2015•市中区校级四模）若在区域 内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1
内的概率为 ．
三．解答题（共 24 小题）
7．（2015 春•三明校级期中）某商场欲研究每天平均气温与商场空调日销量的关系，抽取了
去年 10 月 1 日至 5 日每日平均气温与空调销量的数据，得到如下资料：
日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日
平均气温 x（°C） 29 26 24 22 20
销量 y（件） 11 8 7 5 3
该商场确定的研究方案是：先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，
再对被选取的 2 组数据进行检验．
（1）求选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率；
（2）若选取的是 10 月 1 日至 2 日的两组数据，请根据 10 月 3 日至 10 月 5 日的数据，求出
y 关于 x 的线性回归方程 ；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过 2 件，则认为得
到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？
8．（2014 秋•赫山区校级月考）某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利 y（元）与该
周每天销售这种服装件数 x 之间的一组数据关系如表所示：
x 3 4 5 6 7 8 9
y 66 69 73 81 89 90 91
参考数据： xi2=280， yi2=45309， xiyi=3487．
（1）求纯利 y 与每天销售件数 x 之间的回归直线方程（结果精确到 0.01）；
（2）若该周内某天销售服装 20 件，估计可获纯利多少元．
9．（2015 春•重庆校级期末）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传
费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年
的宣传费 xi 和年销售量 yi（i=1，2，3，..8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些
统计量的值．
（xi﹣ ）2 （wi﹣ ）2 （xi﹣ ）（yi﹣ ） （wi﹣ ）（yi﹣ ）
46.6 5636.8289.8 1.6 1469 108.8
表中： = wi
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与 ，哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x
的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（I）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z=0.2y﹣x，根据（II）的结果回答下列问
题：
（i）当年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？并求出最大值
10．（2014•顺义区一模）已知关于 x 的一次函数 y=ax+b．
（Ⅰ）设集合 A={﹣2，﹣1，1，2}和 B={﹣2，2}，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数作
为 a，b，求函数 y=ax+b 是增函数的概率；
（Ⅱ）若实数 a，b 满足条件 ，求函数 y=ax+b 的图象不经过第四象限的概率．
11．（2015•河南模拟）如果实数 x，y 满足 ，表示的平面区域 D，且圆 C 的
方程为 x2+y2=25，
（1）在圆 C 内部或边界上任取一点，求该点落在区域 D 内的概率．
（2）在圆 C 内部或边界上任取一整点（纵横坐标都是整数的点），求该整点落在区域 D 内
的概率．
12．（2015•遵义校级一模）已知二次函数 f（x）=ax2﹣4bx+1（a≠0）．
（1）若 a=1，b
∈
[﹣1，1
]
，求函数 y=f（x）在[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设（a，b）是区域 ，内的随机点，求函数 y=f（x）在[1，+∞）上的增函
数的概率．
13．（2015•朝阳区模拟）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现
从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组：第 1 组[20，25），第 2 组[25，30），第
3 组[30，35），第 4 组[35，40），第 5 组[40，45
]
，得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）若从第 3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动，应从第 3，
4，5 组各抽取多少名志愿者？
（Ⅱ） 在（1）的条件下，该市决定在第 3，4 组的志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传
经验，求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率．
14．（2008•北京）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A，B，C，D 四个不同的岗位服
务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．
15．（2014•东城区一模）某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 5 名工人，
其中有 3 名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中
共抽取 3 名工人进行技术考核．
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率；
（Ⅲ）记ξ表示抽取的 3 名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．
16．（2015•重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽
2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个．
（Ⅰ）求三种粽子各取到 1 个的概率；
（Ⅱ）设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望．
17．（2015•福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将
被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确
密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试．若密码正确，
则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X，求 X 的分布列和数学期望．
18．（2015•河池一模）某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立，
且都是整数分钟，经统计以往为 100 位顾客准备泡茶工具所需的时间（t），结果如下：
类别 铁观音 龙井 金骏眉 大红袍
顾客数（人） 20 30 40 10
时间 t（分钟/人） 2 3 4 6
注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．
（1）求服务员恰好在第 6 分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；
（2）用 X 表示至第 4 分钟末已准备好了工具的顾客人数，求 X 的分布列及数学期望．
19．（2015•梅州一模）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取 60 名同学将其成绩（百分
制）（均为整数）分成 6 组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答
下列问题．
（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；
（Ⅲ）若从 60 名学生中随机抽取 2 人，抽到的学生成绩在[40，70）记 0 分，在[70，100
]
记 1 分，用 X 表示抽取结束后的总记分，求 X 的分布列和数学期望．
20．（2015•西安模拟）某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了
增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有 5 次选题答题
的机会，选手累计答对 3 题或答错 3 题即终止其初赛的比赛，答对 3 题者直接进入决赛，答
错 3 题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为 ．
（Ⅰ）求选手甲可进入决赛的概率；
（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
21．（2014•和平区四模）在一个选拔项目中，每个选手都需要进行 4 轮考核，每轮设有一个
问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、
四轮问题的概率分别为 、 、 、 ，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为 X，求随机变量 X 的分布列和期望．
22．（2014•宝鸡一模）为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出 18 人组成女子排
球国家队，队员来源人数如下表：
队别 北京 上海 天津 八一
人数 4 6 3 5
（Ⅰ）从这 18 名队员中随机选出两名，求两人来自于同一支球队的概率；
（Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来
自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列，并求ξ的均值（数学期望）．
23．（2015•陕西二模）某中学为丰富教工生活，国庆节举办教工趣味投篮比赛，有 A、B 两
个定点投篮位置，在 A 点投中一球得 2 分，在 B 点投中一球得 3 分．其规则是：按先 A 后
B 再 A 的顺序投篮．教师甲在 A 和 B 点投中的概率分别是 和 ，且在 A、B 两点投中与否
相互独立．
（Ⅰ）若教师甲投篮三次，试求他投篮得分 X 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若教师乙与甲在 A、B 点投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率．
24．（2014•安徽模拟）前不久，省社科院发布了 2013 年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜
湖市成为本年度安徽最“幸福城”．随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10 分制”随机调
查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取 16 名，如图所示的茎叶图记录了他
们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：
（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；
（Ⅱ）若幸福度不低于 9.5 分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这 16 人中随机选取 3
人，至多有 1 人是“极幸福”的概率；
（Ⅲ）以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选 3
人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．
25．（2008 秋•徐州期末）某热水瓶胆生产的 6 件产品中，有 4 件正品，2 件次品，正品和次
品在外观上没有区别，从这 6 件产品中任意抽检 2 件，计算
（1）2 件都是正品的概率
（2）至少有一件次品的概率．
26．（2015•山东一模）2008 年中国北京奥运会吉祥物由 5 个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、
晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有 8 个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量
如下表：
福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮
数量 1 1 1 2 3
从中随机地选取 5 只．
（Ⅰ）求选取的 5 只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；
（Ⅱ）若完整地选取奥运会吉祥物记 10 分；若选出的 5 只中仅差一种记 8 分；差两种记 6
分；以此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列及数学期望．
27．（2015•贵州二模）为了促进学生的全面发展，贵州某中学重视学生社团文化建设，2014
年该校某新生确定争取进入曾获团中央表彰的“海济社”和“话剧社”．已知该同学通过考核选
拨进入两个社团成功与否相互独立，根据报名情况和他本人的才艺能力，两个社团都能进入
的概率为 ，至少进入一个社团的概率为 ，并且进入“海济社”的概率小于进入“话剧社”的
概率．
（1）求该同学分别通过选拨进入“海济社”的概率 p1 和进入“话剧社”的概率 p2；
（2）学校根据这两个社团的活动安排情况，对进入“海济社”的同学增加 1 个校本选修课学
分，对进入“话剧社”的同学增加 0.5 个校本选修课学分．求该同学在社团方面获得校本选修
加分分数的分布列和数学期望．
28．（2015•茂名二模）从某企业的某种产品中随机抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指
标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（1）求这 500 件产品中质量指标值落在区间[185，205）内的产品件数；
（2）以这 500 件产品的样本数据来估计总体数据，若从该企业的所有该产品中任取 2 件，
记产品质量指标值落在区间[215，235
]
内的件数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列．
29．（2015•保定一模）小明参加某项资格测试，现有 10 道题，其中 6 道客观题，4 道主观
题，小明需从 10 道题中任取 3 道题作答
（1）求小明至少取到 1 道主观题的概率
（2）若取的 3 道题中有 2 道客观题，1 道主观题，设小明答对每道客观题的概率都是 ，答
对每道主观题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立，设 X 表示小明答对题的个数，求 x
的分布列和数学期望．
30．（2015•东城区一模）某地区有 800 名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方
图如图所示．其中成绩分组区间是：[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100
]
．规
定 90 分及其以上为合格．
（Ⅰ）求图中 a 的值
（Ⅱ）根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；
（Ⅲ）若三个人参加交通法规考试，用 X 表示这三人中考试合格的人数，求 X 的分布列与
数学期望．
2015 年 12 月 15 日江门市天骄教育咨询有限公司的高中
数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共 5 小题）
1．（2015•秦安县一模）已知集合 表示的平面区域为Ω，若在
区域Ω内任取一点 P（x，y），则点 P 的坐标满足不等式 x2+y2≤2 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型；简单线性规划． 菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求
解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，
则对应的区域为△AOB，
由 ，解得 ，即 B（4，﹣4），
由 ，解得 ，即 A（ ， ），
直线 2x+y﹣4=0 与 x 轴的交点坐标为（2，0），
则△OAB 的面积 S= = ，
点 P 的坐标满足不等式 x2+y2≤2 区域面积 S= ，
则由几何概型的概率公式得点 P 的坐标满足不等式 x2+y2≤2 的概率为 = ，
故选：D
【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件
A 的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根
据几何概型的概率公式进行求解．
2．（2014•南岗区校级三模）王明早晨在 6：30～7：00 之间离开家去上学，送奶员在早上 6：
45～7：15 之把牛奶送到王明家，则王明离开家之前能取到牛奶的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】根据题意，设送报人到达的时间为 x，小明爸爸离家去工作的时间为 y；则（x，y）
可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事
件 A 所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案．
【解答】解：设送奶员到达的时间为 Y，王明离开家去上学的时间为 X，记王明离开家之前
能取到牛奶为事件 A；
以横坐标表示牛奶送到时间，以纵坐标表示王明离家时间，建立平面直角坐标系，
王明离开家之前不能取到牛奶的事件构成区域如图示：
由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．
根据题意，只要点不落到阴影部分，就表示王明离开家之前能取到牛奶，即事件 A 发生，
所以 P（A）= ，
故选：A．
【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键在于设出 X、Y，将（X，Y）以及事件 A
在平面直角坐标系中表示出来．
3．（2015•铜仁市模拟）在区域 内任取一点 P，则点 P 落在单位圆 x2+y2=1
内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域．菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式即可得
到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
则 B（﹣ ，0），C（ ，0），A（0， ），
则△ABC 的面积 S= ，
点 P 落在单位圆 x2+y2=1 内的面积 S= ，
则由几何概型的概率公式得则点 P 落在单位圆 x2+y2=1 内的概率为 = ，
故选：C．
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，利用数形结合求出对应的区域面积是解决本
题的关键．
4．（2014•宜昌二模）设点（a，b）是区域 内的随机点，函数 f（x）=ax2﹣4bx+1
在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型；简单线性规划． 菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据概率的几何概型的概率公式进行计算即可得到
结论．
【解答】解：作出不等式组 对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其
中对应面积为 S= ，
若 f（x）=ax2﹣4bx+1 在区间[1，+∞）上是增函数，
则满足 a＞0 且对称轴 x= ，
即 ，对应的平面区域为△OBC，
由 ，
解得 ，
∴对应的面积为 S ，
∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为 ，
故选：C
【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，作出不等式组对应的平面区域是解决本
题的关键．
5．（2014•南平二模）某小学数学组组织了“自主招生选拔赛”从参加考试的学生中抽出 60 名
学生，将其成绩分为六组[40，50）[50，60），…[90，100
]
，其部分频率分布直方图如图所示，
观察图形，从成绩在[40，50）和[90，100
]
的学生中随即选两个人，则他们在同一分数段的
概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】先求出成绩在[40，50）和[90，100
]
的学生人数，再得到从成绩在[40，50）和[90，
100
]
的学生中随即选两个人的事件总数，以及他们在同一分数段包含的事件个数，即可求得
他们在同一分数段的概率．
【解答】解：由频率分布直方图知，成绩在[40，50）的学生人数为 60×0.01×10=60×0.1=6．
成绩落在区间[90，100
]
上的人数为 60×0.005×10=3，
从成绩在[40，50）和[90，100
]
的学生中随即选两个人，
则共有 =36 种情况，
从中选出的两人在同一分数段，共有 种情况，
则他们在同一分数段的概率是 P= ，
故选：A．
【点评】本题主要考查频率分布直方图、用样本估计总体、等可能事件的概率，属于基础题．
二．填空题（共 1 小题）
6．（2015•市中区校级四模）若在区域 内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1
内的概率为 ．
【考点】几何概型．菁优网版 权所有
【专题】计算题．
【分析】由 我们易画出图象求出其对应的面积，即所有基本事件总数对应的
几何量，再求出区域内也单位圆重合部分的面积，代入几何概型计算公式，即可得到答案．
【解答】解：满足约束条件 区域为△ABC 内部（含边界），
与单位圆 x2+y2=1 的公共部分如图中阴影部分所示，
则点 P 落在单位圆 x2+y2=1 内的概率概率为
P= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件
A 的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根
据 P= 求解．
三．解答题（共 24 小题）
7．（2015 春•三明校级期中）某商场欲研究每天平均气温与商场空调日销量的关系，抽取了
去年 10 月 1 日至 5 日每日平均气温与空调销量的数据，得到如下资料：
日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日
平均气温 x（°C） 29 26 24 22 20
销量 y（件） 11 8 7 5 3
该商场确定的研究方案是：先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，
再对被选取的 2 组数据进行检验．
（1）求选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率；
（2）若选取的是 10 月 1 日至 2 日的两组数据，请根据 10 月 3 日至 10 月 5 日的数据，求出
y 关于 x 的线性回归方程 ；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过 2 件，则认为得
到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？
【考点】线性回归方程．菁优网版 权所有
【专题】应用题；概率与统计．
【分析】（1）利用列举法求出对应的基本事件数，计算对应的概率即可；
（2）利用公式计算 与 ，求出回归直线方程的系数，即得所求线性回归方程；
（3）验证 x=29 与 x=26 时，观测值与估计值，是否满足条件即可．
【解答】解：（1）设“选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据”为事件 A，
∵所有基本事件（m，n）（其中 m，n 为 1 月份的日期数）有：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），
（3，4），（3，5），（4，5）共有 10 种；
事件 A 包括的基本事件有（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）共 4 种；
∴抽出的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率为
P（A）= = ；
（2）∵ = =22， = =5，
∴由公式，得
b= =1，
a= ﹣b =5﹣22=﹣17，
∴所求的线性回归方程为： =x﹣17；
（3）∵当 x=29 时， =29﹣17=12，满足|12﹣11|＜2，
当 x=26 时， =26﹣17=9，也满足|9﹣8|＜2，
∴认为得到的线性回归方程是可靠的．
【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率问题，也考查了求线性回归方程的应用问题，
是中档题目．
8．（2014 秋•赫山区校级月考）某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利 y（元）与该
周每天销售这种服装件数 x 之间的一组数据关系如表所示：
x 3 4 5 6 7 8 9
y 66 69 73 81 89 90 91
参考数据： xi2=280， yi2=45309， xiyi=3487．
（1）求纯利 y 与每天销售件数 x 之间的回归直线方程（结果精确到 0.01）；
（2）若该周内某天销售服装 20 件，估计可获纯利多少元．
【考点】线性回归方程．菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】（1）首先，求解 =6， ≈79.86，然后，得到回归直线方程；
（2）根据（1），得 =4.75x+51.36，将 x=20 代入，得 =4.75×20+51.36≈146 元，从而得到答
案．
【解答】解：（1）根据题意，得到 = =6，
= = ≈79.86．
设回归直线方程为 =bx+a．
∴ = = =4.75，
= ﹣6×4.75≈51.36，
∴回归直线方程为 =4.75x+51.36，
（2）根据（1），得 =4.75x+51.36
将 x=20 代入，得 =4.75×20+51.36≈146 元，
∴本周内某天的销售为 20 件时，估计这天的纯收入大约为 146 元．
【点评】本题重点考查了平均值、线性回归直线方程及其求解过程，属于中档题，解题关键
是记住回归系数的求解公式．
9．（2015 春•重庆校级期末）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传
费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年
的宣传费 xi 和年销售量 yi（i=1，2，3，..8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些
统计量的值．
（xi﹣ ）2 （wi﹣ ）2 （xi﹣ ）（yi﹣ ） （wi﹣ ）（yi﹣ ）
46.6 5636.8289.8 1.6 1469 108.8
表中： = wi
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与 ，哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x
的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（I）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z=0.2y﹣x，根据（II）的结果回答下列问
题：
（i）当年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？并求出最大值
【考点】线性回归方程．菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，
（Ⅱ）先建立中间量 w= ，建立 y 关于 w 的线性回归方程，根据公式求出 w，问题得以
解决；
（Ⅲ）（i）年宣传费 x=49 时，代入到回归方程，计算即可，
（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．
【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回
归方程类型；
（Ⅱ）令 w= ，先建立 y 关于 w 的线性回归方程，由于 = =68，
= ﹣ =563﹣68×6.8=100.6，
所以 y 关于 w 的线性回归方程为 =100.6+68w，
因此 y 关于 x 的回归方程为 =100.6+68 ，
（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当 x=49 时，年销售量 y 的预报值 =100.6+68 =576.6，
年利润 z 的预报值 =576.6×0.2﹣49=66.32，
（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润 z 的预报值 =0.2（100.6+68 ）﹣x=﹣x+13.6 +20.12，
当 = =6.8 时，年利润的预报值最大．
【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中
档题
10．（2014•顺义区一模）已知关于 x 的一次函数 y=ax+b．
（Ⅰ）设集合 A={﹣2，﹣1，1，2}和 B={﹣2，2}，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数作
为 a，b，求函数 y=ax+b 是增函数的概率；
（Ⅱ）若实数 a，b 满足条件 ，求函数 y=ax+b 的图象不经过第四象限的概率．
【考点】几何概型；古典概型及其概率计算公式． 菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据古典概型的概率公式即可得到结论；
（Ⅱ）作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）抽取全部结果所构成的基本事件空间为（﹣2，﹣2），（﹣2，2），（﹣1，
﹣2），（﹣1，2），（1，﹣2），（1，2），（2，﹣2），（2，2），共 8 个．
设函数是增函数为事件 A，∴a＞0，有 4 个，
∴
（Ⅱ）实数 a，b 满足条件 要函数 y=ax+b 的图象不经过第四象限
则需使 a，b 满足 ，即 ，对应的图形为正方形，面积为 1，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则根据几何概型的概率公式可得函数 y=ax+b 的图象不经过第四象限的概率为 ．
【点评】本题主要考查古典概型和几何概型的概率的计算，要求熟练掌握相应的概率公式．
11．（2015•河南模拟）如果实数 x，y 满足 ，表示的平面区域 D，且圆 C 的
方程为 x2+y2=25，
（1）在圆 C 内部或边界上任取一点，求该点落在区域 D 内的概率．
（2）在圆 C 内部或边界上任取一整点（纵横坐标都是整数的点），求该整点落在区域 D 内
的概率．
【考点】几何概型；简单线性规划；古典概型及其概率计算公式．菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】（1）作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式即
可求该点落在区域 D 内的概率．
（2）利用列举法求出对应的整点格式，利用古典概型的概率公式进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，区域 D 在圆内，如图所示．设“在圆 C 内部或边界上任取一
点，求点落在区域 D 内”为事件 A，由于圆 C 的面积为 25π，而区域 D 的面积为 ，
由几何概型概率计算公式可得，在圆 C 内部或边界上任取一点，落在区域 D 内的概率 P（A）
= ，
（Ⅱ）设“在圆 C 内部或边界上任取一整点，整点落在区域 D 内”为事件
B，由圆 C 的对称性，第一象限内及 x 轴正半轴上的整点有
（4，1），（4，2），（4，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（2，1），（2，2），（2，3），
（2，4），
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（5，0），（4，0），（3，0），（2，0），（1，0），
共计 20 个，所以圆 C 内部或边界上整点共计 20×4+1=81 个，其中落在区域 D 内的整点在 x
轴上方的有
（﹣3，1），（﹣2，1），（﹣1，1），（﹣1，2），（0，1），（0，2），（1，1），（1，2），（1，3），
（2，1），（2，2），
（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共计 16 个，
根据区域 D 关于 x 轴对称，故落在区域 D 内的整点有 16×2+9=41 个，
所以圆 C 内部或边界上任取一整点，整点落在区域 D 内的概率 P（B）= ．
【点评】本题主要考查概率的计算，要求熟练掌握几何概型和古典概型的概率的计算．
12．（2015•遵义校级一模）已知二次函数 f（x）=ax2﹣4bx+1（a≠0）．
（1）若 a=1，b
∈
[﹣1，1
]
，求函数 y=f（x）在[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设（a，b）是区域 ，内的随机点，求函数 y=f（x）在[1，+∞）上的增函
数的概率．
【考点】几何概型．菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】（1）求出函数 y=f（x）在[1，+∞）上是增函数的 b 的范围，利用区域长度比求概
率；
（2）画出区域，求出满足条件的区域面积，利用面积比求概率．
【解答】解：函数 y=f（x）在[1，+∞）上是增函数，则 a＞0 且 ，即 a＞0 且 a≥2b；
（1）因为 a=1，则 时，函数 f（x）为增函数
所以函数 y=f（x）在[1，+∞）上是增函数的概率 ；
（2）由（1）知当且仅当 a≥2b，且 a＞0 时，函数 f（x）=ax2﹣4bx+1 在区间[1，+∞）上为
增函数，
依条件可知实验的全部结果所构成的区域为不等式组所表示的平面区域．
构成所求事件的区域为图中的阴影部分．
由 ，得交点的坐标为 ，故所求事件的概率为 ．
【点评】本题考查了几何概型公式的运用；关键是明确满足条件的 a，b 的范围，找出集合
测度（区域长度，面积或者体积），利用概率公式解答．
13．（2015•朝阳区模拟）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现
从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组：第 1 组[20，25），第 2 组[25，30），第
3 组[30，35），第 4 组[35，40），第 5 组[40，45
]
，得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）若从第 3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动，应从第 3，
4，5 组各抽取多少名志愿者？
（Ⅱ） 在（1）的条件下，该市决定在第 3，4 组的志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传
经验，求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率．
【考点】等可能事件的概率；频率分布直方图．菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）先分别求出这 3 组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；
（Ⅱ）从 5 名志愿者中抽取 2 名志愿者有 10 种情况，其中第 4 组的 2 名志愿者 B1，B2 至少
有一名志愿者被抽中有 7 种情况，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ） 第 3 组的人数为 0.3×100=30，第 4 组的人数为 0.2×100=20，第 5 组的
人数为 0.1×100=10．
因为第 3，4，5 组共有 60 名志愿者，
所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者，
每组抽取的人数分别为：第 3 组： ×6=3； 第 4 组： ×6=2； 第 5 组： ×6=1．
所以应从第 3，4，5 组中分别抽取 3 人，2 人，1 人；
（Ⅱ） 记第 3 组的 3 名志愿者为 A1，A2，A3，第 4 组的 2 名志愿者为 B1，B2，．则从 5 名
志愿者中抽取 2 名志愿者有：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），
（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），
（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）共有 10 种．
其中第 4 组的 2 名志愿者 B1，B2 至少有一名志愿者被抽中的有：
（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），
（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），共有 7 种
所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 ．
【点评】熟练掌握频率分布直方图、分层抽样的定义、古典概型的概率计算公式、互斥事件
及相互独立事件的概率计算公式是解题的关键．
14．（2008•北京）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A，B，C，D 四个不同的岗位服
务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．
【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列． 菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）甲、乙两人同时参加 A 岗位服务，则另外三个人在 B、C、D 三个位置进行
全排列，所有的事件数是从 5 个人中选 2 个作为一组，同其他 3 人共 4 个元素在四个位置进
行排列．
（Ⅱ）总事件数同第一问一样，甲、乙两人不在同一个岗位服务的对立事件是甲、乙两人同
时参加同一岗位服务，即甲、乙两人作为一个元素同其他三个元素进行全排列．
（Ⅲ）五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数ξ可能的取值是 1、2，ξ=2”是指有两人同时参加
A 岗位服务，同第一问类似做出结果．写出分布列．
【解答】解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 EA，
总事件数是从 5 个人中选 2 个作为一组，同其他 3 人共 4 个元素在四个位置进行排列 C52A44．
满足条件的事件数是 A33，
那么 ，
即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 ．
（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E，
满足条件的事件数是 A44，
那么 ，
∴甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 ．
（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为 1，2．事件“ξ=2”是指有两人同时参加 A 岗位服务，
则 ．
∴ ，ξ的分布列是
ξ 1 2
P
【点评】本题考查概率，随机变量的分布列，近几年新增的内容，整体难度不大，可以作为
高考基本得分点．总的可能性是典型的“捆绑排列”，易把 C52 混淆为 A52，
15．（2014•东城区一模）某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 5 名工人，
其中有 3 名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中
共抽取 3 名工人进行技术考核．
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率；
（Ⅲ）记ξ表示抽取的 3 名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．
【考点】离散型随机变量及其分布列；分层抽样方法；离散型随机变量的期望与方差． 菁优网版 权所有
【专题】计算题；分析法．
【分析】（Ⅰ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此
分层抽样与性别无关．
（Ⅱ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工
里面抽取一人，除以在总的里面抽取 2 人的种数即可得到答案．
（Ⅲ）求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为 0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根
据期望公式求得结果即可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）因为甲组有 10 名工人，乙组有 5 名工人，从甲、乙两组中共抽取 3 名工
人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取 2 名，乙中抽取 1 名．
（Ⅱ）因为由上问求得；在甲中抽取 2 名工人，
故从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率
（Ⅲ）ξ的可能取值为 0，1，2，3
，
，
，
ξ 0 1 2 3
P
故 Eξ= = ．
【点评】本题较常规，比 08 年的概率统计题要容易．在计算 P（ξ=2）时，采用求反面的方
法，用直接法也可，但较繁琐．考生应增强灵活变通的能力．
16．（2015•重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽
2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个．
（Ⅰ）求三种粽子各取到 1 个的概率；
（Ⅱ）设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；
（Ⅱ）随机变量 X 的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．
【解答】解：（Ⅰ）令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”，
则由古典概型的概率公式有 P（A）= = ．
（Ⅱ）随机变量 X 的取值为：0，1，2，
则 P（X=0）= = ，P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，
X 0 1 2
P
EX=0× +1× +2× = ．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题
的关键．
17．（2015•福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将
被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确
密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试．若密码正确，
则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X，求 X 的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式． 菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（2）随机变量 X 的取值为：1，2，3，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．
【解答】解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A，
则 P（A）= ．
（2）有可能的取值是 1，2，3
又则 P（X=1）= ，
P（X=2）= = ，
P（X=3）= = ，
所以 X 的分布列为：
X 1 2 3
P
EX=1× +2× +3× = ．
【点评】本小题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等
基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．
18．（2015•河池一模）某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立，
且都是整数分钟，经统计以往为 100 位顾客准备泡茶工具所需的时间（t），结果如下：
类别 铁观音 龙井 金骏眉 大红袍
顾客数（人） 20 30 40 10
时间 t（分钟/人） 2 3 4 6
注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．
（1）求服务员恰好在第 6 分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；
（2）用 X 表示至第 4 分钟末已准备好了工具的顾客人数，求 X 的分布列及数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】（1）设 Y 表示服务员准备工具所需的时间，用 P 表示对应的概率，求出 Y 的分布
列，
计算“服务员在第 6 分钟开始为第三位顾客准备泡茶工具”的概率；
（2）分析 X 的可能取值，求出 X 的分布列与数学期望．
【解答】解：（1）设 Y 表示服务员准备工具所需的时间，用 P 表示概率，得 Y 的分布列如
下；
Y2 3 4 6
P
A 表示事件“服务员在 6 分钟开始为第三位顾客准备泡茶工具”，则事件 A 对应两种情形：
①为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为 2 分钟，且为第二位所需的时间为 3 分钟；
②为第一位顾客所需的时间为 3 分钟，且为第一位顾客准备所需的时间为 2 分钟；
∴P（A）=P（Y=2）•P（Y=3）+P（Y=3）•P（Y=2）
= × + × = ；
（2）X 的取值为 0、1、2，
X=0 时对应为第一位顾客准备所需的时间超过 4 分钟，
∴P（X=0）=P（Y＞4）= ；
X=1 对应为第一位顾客所需的时间 2 分钟且为第二位顾客准备所需的时间超过 2 分钟，
或为第一位顾客准备所需的时间 3 分钟或为第一位顾客准备所需的时间 4 分钟，
∴P（X=1）=P（Y=2）•P（Y＞2）+P（Y=3）+P（ Y=4）
= × + + = ；
X=2 对应准备两位顾客泡茶工具的时间均为 2 分钟，
∴P（X=2）=P（Y=2）P（Y=2）= × = ；
∴X 的数学期望是 E（X）=0× +1× +2× = ．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，解题的关键是得出随机变量的可
能取值，把随机变量与事件结合起来，是中档题．
19．（2015•梅州一模）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取 60 名同学将其成绩（百分
制）（均为整数）分成 6 组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答
下列问题．
（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；
（Ⅲ）若从 60 名学生中随机抽取 2 人，抽到的学生成绩在[40，70）记 0 分，在[70，100
]
记 1 分，用 X 表示抽取结束后的总记分，求 X 的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．菁优网版 权所有
【专题】计算题；图表型．
【分析】（I）由题意及频率分布直方图，设分数在[70，80）内的频率为 x，建立方程解出即
可；
（II）有图及平均数的定义即可求估计本次考试的平均分；
（III）由题意若从 60 名学生中随机抽取 2 人，抽到的学生成绩在[40，70）记 0 分，在[70，
100
]
记 1 分，用 X 表示抽取结束后的总记分，得到 X 的分布列，在有期望的定义即可求得．
【解答】解：（Ⅰ）设分数在[70，80）内的频率为 x，根据频率分布直方图，则有
（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，可得 x=0.3，
所以频率分布直方图如图所示．
（Ⅱ）平均分为：
（Ⅲ）学生成绩在[40，70）的有 0.4×60=24 人，
在[70，100
]
的有 0.6×60=36 人，并且 X 的可能取值是 0，1，2．所以 X 的分布列为：
．
∴EX=0× +1× +2× = = ．
【点评】此题考查了学生识图的能力，还考查了统计中的平均数的定义及离散型随机变量的
分布列及期望的定义．
20．（2015•西安模拟）某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了
增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有 5 次选题答题
的机会，选手累计答对 3 题或答错 3 题即终止其初赛的比赛，答对 3 题者直接进入决赛，答
错 3 题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为 ．
（Ⅰ）求选手甲可进入决赛的概率；
（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率；离散型
随机变量及其分布列． 菁优网版 权所有
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）由于答对 3 题者直接进入决赛，故可分为三类：一类是三题全对；一类是答
4 题，前 3 题错一题，第 4 题答对；一类是答 5 题，前 4 题错两题，第 5 题答对，故可求求
选手甲可进入决赛的概率；
（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为 3，4，5．利用独立重复试验的概率公式分别求出相应的概
率，从而得出ξ的分布列，进而可求概率．
【解答】解：（Ⅰ） 选手甲答 3 道题可进入决赛的概率为 ； …1 分
选手甲答 4 道题可进入决赛的概率为 ；…3 分
选手甲答 5 道题可进入决赛的概率为 ； …5 分
∴选手甲可进入决赛的概率 + + = ． …7 分
（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为 3，4，5．则有 ，
，
，…10 分
因此，有
ξ 3 4 5
p
∴ ． …12 分．
【点评】本题的考点是离散型随机变量的期望与方差，主要考查等可能事件的概率，考查离
散型随机变量的分布列和期望，考查独立重复试验的概率公式，本题是一个综合题目，考查
的知识点比较全面，在应用独立重复试验的概率公式时，注意数字运算不要出错．
21．（2014•和平区四模）在一个选拔项目中，每个选手都需要进行 4 轮考核，每轮设有一个
问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、
四轮问题的概率分别为 、 、 、 ，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为 X，求随机变量 X 的分布列和期望．
【考点】离散型随机变量及其分布列；互斥事件的概率加法公式．菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰即第一、二轮均通过，而第三轮未通过，利用
独立事件的概率求解即可．
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核分为三类，第一轮被淘汰、第二轮被淘汰、第三轮被淘
汰，此三类事件互斥，分别求概率取和即可．
（Ⅲ）X 的所有可能取值为 1，2，3，4，分别求概率即可．
【解答】解：设事件 Ai（i=1，2，3，4）表示“该选手能正确回答第 i 轮问题”，
由已知 ， ， ， ，
（Ⅰ）设事件 B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”，
则 = ．
（Ⅱ）设事件 C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，
则
=
．
（Ⅲ）X 的可能取值为 1，2，3，4. ，
，
P（X=3）=P（ ）= = ，
P（X=4）=P（ ）+P（A1A2A3A4）= = ，
所以，X 的分布列为
．
【点评】本题考查相互独立事件的概率和随机事件的分布列、期望问题，考查运用概率知识
解决实际问题的能力．
22．（2014•宝鸡一模）为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出 18 人组成女子排
球国家队，队员来源人数如下表：
队别 北京 上海 天津 八一
人数 4 6 3 5
（Ⅰ）从这 18 名队员中随机选出两名，求两人来自于同一支球队的概率；
（Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来
自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列，并求ξ的均值（数学期望）．
【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望
与方差． 菁优网版 权所有
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是这 18 名队员中随机选出两名，
共有 C182 种结果，满足条件的事件是两人来自于同一支球队，包括四种情况，表示出结果
数，得到概率．
（II）由题意知ξ的所有可能取值为 0，1，2，结合变量对应的事件和古典概型的概率公式写
出变量的概率，写出分布列，求出期望值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的事件是这 18 名队员中随机选出两名，共有 C182 种结果，
“从这 18 名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件 A，
满足条件的事件是两人来自于同一支球队，包括四种情况，共有 C42+C62+C32+C52
∴ ．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为 0，1，2．
∵ ，
，
，
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
∴ ．
【点评】本题考查古典概型及其概率公式，考查离散型随机变量的分布列和期望值，本题是
一个适合理科做到题目，解题过程注意解法规范．这是一个送分题目．
23．（2015•陕西二模）某中学为丰富教工生活，国庆节举办教工趣味投篮比赛，有 A、B 两
个定点投篮位置，在 A 点投中一球得 2 分，在 B 点投中一球得 3 分．其规则是：按先 A 后
B 再 A 的顺序投篮．教师甲在 A 和 B 点投中的概率分别是 和 ，且在 A、B 两点投中与否
相互独立．
（Ⅰ）若教师甲投篮三次，试求他投篮得分 X 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若教师乙与甲在 A、B 点投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望
与方差． 菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）由题意可知随机变量 X 表示他投篮所得积分，由题意可得 X 的所有可能值为：
0，2，3，4，5，7，利用随机变量的定义及独立事件的概率公式即可求得其分布列及期望；
（Ⅱ）教师甲在一场比赛中获胜：分为五种情况，故所求的概率为
P= + + + ×（ + + + ）+ ．
【解答】解：设“教师甲在 A 点投中”的事件为 A，“教师甲在 B 点投中”的事件为 B．
（Ⅰ）根据题意知 X 的可能取值为 0，2，3，4，5，7
P（X=0）=P（ • • ）= ×（1﹣ ）= ，
P（X=2）=P（A• • + • •A）= × ×（1﹣ ）×（1﹣ ）= ，
P（X=3）=P（ •B• ）=（1﹣ ）× ×（1﹣ ）= ，
P（X=4）=P（A• •A）= ×（1﹣ ）× = ，
P（X=5）=P（A•B• + •B•A）= × × ×（1﹣ ）= ，
P（X=7）=P（A•B•A）= × × = ，
所以 X 的分布列是：
X 0 2 3 4 5 7
P
则 X 的数学期望是 EX=0× +2× +3× +4× +5× +7× =3；
（Ⅱ）教师甲胜乙包括：甲得 2 分、3 分、4 分、5 分、7 分五种情形．
这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率 P 为：
P= + + + ×（ + + + ）
+ = ．
【点评】此题考查了离散型随机变量的定义及独立事件的概率公式，还考查了随机变量的分
布列及期望，另外还考查了互斥事件的概率公式及学生的计算能力．
24．（2014•安徽模拟）前不久，省社科院发布了 2013 年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜
湖市成为本年度安徽最“幸福城”．随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10 分制”随机调
查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取 16 名，如图所示的茎叶图记录了他
们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：
（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；
（Ⅱ）若幸福度不低于 9.5 分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这 16 人中随机选取 3
人，至多有 1 人是“极幸福”的概率；
（Ⅲ）以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选 3
人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图． 菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】（1）根据所给的茎叶图看出 16 个数据，找出众数和中位数，中位数需要按照从小
到大的顺序排列得到结论．
（2）由题意知本题是一个古典概型，至多有 1 人是“极幸福”包括有一个人是极幸福和有零
个人是极幸福，根据古典概型公式得到结果．
（3）由于从该社区任选 3 人，记ξ表示抽到“极幸福”学生的人数，得到变量的可能取值是 0、
1、2、3，结合变量对应的事件，算出概率，写出分布列和期望．
【解答】解：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75；
（Ⅱ）设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人是“极幸福”，至多有 1 人是“极幸福”记为事件 A，则
；
（Ⅲ）ξ的可能取值为 0，1，2，3．
； ；
； ．
则ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
所以 Eξ= ．
另解：ξ的可能取值为 0，1，2，3．
则ξ～B（3， ）， ．所以 Eξ= ．
【点评】本题是一个统计综合题，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，
平均数，题目分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题，考查最基
本的知识点．
25．（2008 秋•徐州期末）某热水瓶胆生产的 6 件产品中，有 4 件正品，2 件次品，正品和次
品在外观上没有区别，从这 6 件产品中任意抽检 2 件，计算
（1）2 件都是正品的概率
（2）至少有一件次品的概率．
【考点】超几何分布；等可能事件的概率．菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】（1）从这 6 件产品中任意抽检 2 件的基本事件总个数共有 C62 种，我们计算出满足
条件 2 件都是正品的基本事件个数，代入古典概型计算公式，即可得到 2 件都是正品的概率；
（2）根据（1）的结论，我们根据抽取的产品有都是正品和有次品为对立事件，根据对立事
件概率减法公式，即可得到至少有一件次品的概率．
【解答】解：从 6 件产品中，抽取 2 件的概率有 C62= 种
（1）其中两件都是正品的基本事件有：C42=6 种
故 2 件都是正品的概率 P=
（2）由于“抽检的 2 件产品中有次品”与“2 件都是正品”为对立事件
故抽检的 2 件产品中至少有一件次品的概率 P=1﹣ =
即至少有一件次品的概率 ．
【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中根据（1）与（2）中的两个
事件是对立事件，结合对立事件概率减法公式，是解答本题的关键．
26．（2015•山东一模）2008 年中国北京奥运会吉祥物由 5 个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、
晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有 8 个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量
如下表：
福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮
数量 1 1 1 2 3
从中随机地选取 5 只．
（Ⅰ）求选取的 5 只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；
（Ⅱ）若完整地选取奥运会吉祥物记 10 分；若选出的 5 只中仅差一种记 8 分；差两种记 6
分；以此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列及数学期望．
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据排列组合知识得出 P= 运算求解即可．
（Ⅱ）确定ξ的取值为：10，8，6，4．分别求解 P（ξ=10），P（ξ=8），P（ξ=6），P（ξ=4），
列出分布列即可．
【解答】解：（Ⅰ）选取的 5 只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率 P= = = ，
（Ⅱ）ξ的取值为：10，8，6，4．
P（ξ=10）= = ，
P（ξ=8）= ，
P（ξ=6）= = ，
P（ξ=4）= =
ξ的分布列为：
ξ 10 8 6 4
P
﹣
Eξ= =7.5．
【点评】本题综合考查了运用排列组合知识，解决古典概率分布的求解问题，关键是确定随
机变量的数值，概率的求解，难度较大，仔细分类确定个数求解概率，属于难题．
27．（2015•贵州二模）为了促进学生的全面发展，贵州某中学重视学生社团文化建设，2014
年该校某新生确定争取进入曾获团中央表彰的“海济社”和“话剧社”．已知该同学通过考核选
拨进入两个社团成功与否相互独立，根据报名情况和他本人的才艺能力，两个社团都能进入
的概率为 ，至少进入一个社团的概率为 ，并且进入“海济社”的概率小于进入“话剧社”的
概率．
（1）求该同学分别通过选拨进入“海济社”的概率 p1 和进入“话剧社”的概率 p2；
（2）学校根据这两个社团的活动安排情况，对进入“海济社”的同学增加 1 个校本选修课学
分，对进入“话剧社”的同学增加 0.5 个校本选修课学分．求该同学在社团方面获得校本选修
加分分数的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】（1）仔细阅读题意得出有 求解即可．
（2）得出不等式 ，确定 a＞0 的取值有 0、0.5、1、1.5．分别求
解相应的概率即可．
【解答】解：（1）据题意，有
解得
（2）令该同学在社团方面获得校本选修课加分分数为 ，则 a＞0
的取值有 0、0.5、1、1.5．
P（ξ=0）=（1﹣ ）（1﹣ ）= ，
a|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤3
﹣2x+1+x﹣1≤3，0 0.5 1 1.5
x≥﹣3
p 2x﹣1+x﹣1≤3
所以 x≥1 的数学期望为：2x﹣1﹣x+1≤3．
【点评】本题考查了综合运用离散型的概率分布知识求解问题，关键是准确求解概率，列出
分布列，得出相应的数学期望，也可以转化为不等式求解，综合性较强
28．（2015•茂名二模）从某企业的某种产品中随机抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指
标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（1）求这 500 件产品中质量指标值落在区间[185，205）内的产品件数；
（2）以这 500 件产品的样本数据来估计总体数据，若从该企业的所有该产品中任取 2 件，
记产品质量指标值落在区间[215，235
]
内的件数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列．
【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图．菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】（1）根据样本与总体的关系得出为 0.55×500 求解即可．
（2）求出落在区间[215，235
]
，内的概率为 0.1，利用题意可得：～B（2，0.1），根据概率
分布知识求解即可．
【解答】解：（1）产品质量指标值落在区间[185，205）内的频率为（0.022+0.033）×10=0.55
∴质量指标值落在区间[185，205）内的产品件数为 0.55×500=275
（2）根据样本频率分布直方图，每件产品质量指标值落在区间[215，235
]
，内的概率为 0.1，
由题意可得：P～B（2，0.1）
∴ξ的概率分布列为
ξ 0 1 2
P 0.81 0.18 0.01
【点评】本题考查概率分布在实际问题中的应用，结合了统计的知识，综合性较强，属于中
档题．
29．（2015•保定一模）小明参加某项资格测试，现有 10 道题，其中 6 道客观题，4 道主观
题，小明需从 10 道题中任取 3 道题作答
（1）求小明至少取到 1 道主观题的概率
（2）若取的 3 道题中有 2 道客观题，1 道主观题，设小明答对每道客观题的概率都是 ，答
对每道主观题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立，设 X 表示小明答对题的个数，求 x
的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】（1）确定事件 A=“小明所取的 3 道题至少有 1 道主观题”则有 =“小明所取的 3 道
题都是客观题”利用对立事件求解即可．
（2）根据题意 X 的所有可能的取值为 0，1，2，3．分别求解相应的概率，求出分布列，运
用数学期望公式求解即可．
【解答】解：（1）设事件 A=“小明所取的 3 道题至少有 1 道主观题”
则有 =“小明所取的 3 道题都是客观题”
因为 P（ ）= =
P（A）=1﹣P（ ）= ．
（2）X 的所有可能的取值为 0，1，2，3．
P（X=0）=（ ）2 = ．
P（X=1）= •（ ）1•（ ）1+（ ）2 = ．
P（X=2）=（ ）2 + •（ ）1•（ ）1 = ，
P（X=3）=（ ）2 =
∴X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴E（X）=0× =2．
【点评】本题综合考查了离散型的概率分布问题，数学期望，需要直线阅读题意，准确求解
概率，计算能力要求较高，属于中档题．
30．（2015•东城区一模）某地区有 800 名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方
图如图所示．其中成绩分组区间是：[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100
]
．规
定 90 分及其以上为合格．
（Ⅰ）求图中 a 的值
（Ⅱ）根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；
（Ⅲ）若三个人参加交通法规考试，用 X 表示这三人中考试合格的人数，求 X 的分布列与
数学期望．
【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．菁优网版 权所有
【专题】概率与统计．
【分析】（I）根据直方图知．（0.01+0.02+0.06+0.07+a）×5=1．
（II）设事件根据直方图得出（0.06+0.02）×5=0.4．求解即可．
（III）以题意得出 X 的取值为 0，1，2，3．
据概率公式求解得出 P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）．
再求解分布列得出数学期望．
【解答】解：（I）由直方图知．（0.01+0.02+0.06+0.07+a）×5=1．
解得 a=0.04．
（Ⅱ）设事件 A 为“某名学员交通考试合格”．
由直方图知，P（A）=（0.06+0.02）×5=0.4．
（III）以题意得出 X 的取值为 0，1，2，3．
P（X=0）=（1﹣0.4）3=0.216．
P（X=1）= ×0.4×（0.6）2=0.432．
P（X=2）= ×（0.4）2×（0.6）=0.288．
P（X=3）= ×（0.4）3=0.064．
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.216 0.432 0.288 0.064
E（X）=0×0.216+1×0.432×2×0.288+3×0.064=1.2．
【点评】本题考查了离散型的随机变量的分布列，频率分布直方图，数学期望的求解与运用，
属于中档题，需要很好地计算能力．
