高考福建理科数学试题及答案高清

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高考福建理科数学试题及答案高清

‎2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试 数学理工农医类(福建卷)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.理科:第Ⅱ卷第21题为选考题,其他题为必考题,满分150分.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:(理科)本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(文科)本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数z满足zi=1-i,则z等于(  )‎ A.-1-i B.1-i C.-1+i D.1+i A.3+4i B.5+4i C.3+2i D.5+2i ‎2.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎3.下列命题中,真命题是(  )‎ A.x0∈R,‎ B.x∈R,2x>x2‎ C.a+b=0的充要条件是 D.a>1,b>1是ab>1的充分条件 ‎4.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是(  )‎ A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 ‎5.下列不等式一定成立的是(  )‎ A.lg(x2+)>lg x(x>0)‎ B.sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)‎ C.x2+1≥2|x|(x∈R)‎ D.(x∈R)‎ ‎6.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.设函数则下列结论错误的是(  )‎ A.D(x)的值域为{0,1} B.D(x)是偶函数 C.D(x)不是周期函数 D.D(x)不是单调函数 ‎8.已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(  )‎ A. B. C.3 D.5‎ ‎9.若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为(  )‎ A. B.1 C. D.2‎ ‎10.函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有,则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:‎ ‎①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的;‎ ‎②f(x2)在[1,]上具有性质P;‎ ‎③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3];‎ ‎④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)].‎ 其中真命题的序号是(  )‎ A.①② B.①③ C.②④ D.③④‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:(理科)本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.(文科)本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎11. (a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a=________.‎ ‎12.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的s值等于________.‎ ‎13.已知△ABC的三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为________.‎ ‎14.数列{an}的通项公式,前n项和为Sn,则S2 012=________.‎ ‎15.对于实数a和b,定义运算“*”:‎ 设f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是__________.‎ 三、解答题:(理科)本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(文科)本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如下:‎ 品牌 甲 乙 首次出现故障 时间x(年)‎ ‎0<x≤1‎ ‎1<x≤2‎ x>2‎ ‎0<x≤2‎ x>2‎ 轿车数量(辆)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎45‎ ‎5‎ ‎45‎ 每辆利润 ‎(万元)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1.8‎ ‎2.9‎ 将频率视为概率,解答下列问题:‎ ‎(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率;‎ ‎(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列;‎ ‎(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.‎ ‎17.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:‎ ‎①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;‎ ‎②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;‎ ‎③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;‎ ‎④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;‎ ‎⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;‎ ‎(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.‎ ‎18.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD中点.‎ ‎(1)求证:B1E⊥AD1.‎ ‎(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.‎ ‎(3)若二面角A-B1E-A1的大小为30°,求AB的长.‎ ‎19.如图,椭圆E:(a>b>0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率.过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎20.已知函数f(x)=ex+ax2-ex,a∈R.‎ ‎(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)试确定a的取值范围,使得曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.‎ ‎21. (1)选修4-2:矩阵与变换 设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1.‎ ‎①求实数a,b的值;‎ ‎②求A2的逆矩阵.‎ ‎(2)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点M,N的极坐标分别为(2,0),,圆C的参数方程为(θ为参数).‎ ‎①设P为线段MN的中点,求直线OP的平面直角坐标方程;‎ ‎②判断直线l与圆C的位置关系.‎ ‎(3)选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].‎ ‎①求m的值;‎ ‎②若a,b,c∈R+,且,求证:a+2b+3c≥9.‎ ‎22.(文)已知函数f(x)=axsinx-(a∈R),且在[0,]上的最大值为.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)判断函数f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明.‎ ‎1. A 由zi=1-i,得.‎ ‎2. B ∵a1+a5=10=2a3,‎ ‎∴a3=5.故d=a4-a3=7-5=2.‎ ‎3. D ∵a>1>0,b>1>0,∴由不等式的性质得ab>1,‎ 即a>1,b>1⇒ab>1.‎ ‎4. D ∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆,‎ ‎∴这个几何体不可以是圆柱.‎ ‎5. C ∵x2+1≥2|x|⇔x2-2|x|+1≥0,‎ ‎∴当x≥0时,x2-2|x|+1=x2-2x+1=(x-1)2≥0成立;‎ 当x<0时,x2-2|x|+1=x2+2x+1=(x+1)2≥0成立.‎ 故x2+1≥2|x|(x∈R)一定成立.‎ ‎6. C ∵由图象知阴影部分的面积是,∴所求概率为.‎ ‎7. C ∵D(x)是最小正周期不确定的周期函数,‎ ‎∴D(x)不是周期函数是错误的.‎ ‎8. A 由双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,知,c2=9=4+b2,于是b2=5,.因此该双曲线的渐近线的方程为,即.故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为.‎ ‎9. B 由约束条件作出其可行域如图所示:‎ 由图可知当直线x=m经过函数y=2x的图象与直线x+y-3=0的交点P时取得最大值,即得2x=3-x,即x=1=m.‎ ‎10. D ①如图1,‎ 图1‎ 在区间[1,3]上f(x)具有性质P,但是是间断的,故①错.‎ ‎②可设f(x)=|x-2|(如图2),当x∈[1,3]时易知其具有性质P,但是f(x2)=|x2-2|=不具有性质P(如图3).‎ 故②错.‎ 图2‎ 图3‎ ‎③任取x0∈[1,3],则4-x0∈[1,3],‎ ‎1=f(2)=≤[f(x0)+f(4-x0)].‎ 又∵f(x0)=1,f(4-x0)≤1,‎ ‎∴[f(x0)+f(4-x0)]≤1.‎ ‎∴f(x0)=f(4-x0)=1.故③正确.‎ ‎④‎ ‎≤≤[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],故④正确.‎ ‎11.答案:2‎ 解析:∵Tr+1=arx4-r,∴当4-r=3,即r=1时,T2=·a·x3=4ax3=8x3.故a=2.‎ ‎12.答案:-3‎ 解析:(1)k=1,1<4,s=2×1-1=1;‎ ‎(2)k=2,2<4,s=2×1-2=0;‎ ‎(3)k=3,3<4,s=2×0-3=-3;‎ ‎(4)k=4,直接输出s=-3.‎ ‎13.答案:‎ 解析:设△ABC的最小边长为a(m>0),则其余两边长为,2a,故最大角的余弦值是.‎ ‎14.答案:3 018‎ 解析:∵函数的周期,‎ ‎∴可用分组求和法:‎ a1+a5+…+a2 009=;‎ a2+a6+…+a2 010=(-2+1)+(-6+1)+…+(-2 010+1)=-1-5-…-2 009==-503×1 005;‎ a3+a7+…+a 2 011=;‎ a4+a8+…+a2 012=(4+1)+(8+1)+…+(2 012+1)==503×1 009;‎ 故S2 012=503-503×1 005+503+503×1 009‎ ‎=503×(1-1 005+1+1 009)=3 018.‎ ‎15.答案:(,0)‎ 解析:由已知,得 作出其图象如图,结合图象可知m的取值范围为0<m<,‎ 当x>0时,有-x2+x=m,即x2-x+m=0,‎ 于是x1x2=m.‎ 当x<0时,有2x2-x-m=0,‎ 于是.‎ 故.‎ 设h(m)=m(1-),‎ ‎∵h′(m)=(1-)+[m()]‎ ‎=,‎ ‎∴函数h(m)单调递减.‎ 故x1x2x3的取值范围为(,0).‎ ‎16.解:(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,‎ 则.‎ ‎(2)依题意得,X1的分布列为 X1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X2的分布列为 X2‎ ‎1.8‎ ‎2.9‎ P ‎(3)由(2)得,E(X1)=1×+2×+3×==2.86(万元),‎ E(X2)=1.8×+2.9×=2.79(万元).‎ 因为E(X1)>E(X2),所以应生产甲品牌轿车.‎ ‎17.解:方法一:(1)选择②式,计算如下:‎ sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=.‎ ‎(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α)=.‎ 证明如下:‎ sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)‎ ‎=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα·(cos30°cosα+sin30°sinα)‎ ‎=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinα·cosα-sin2α ‎=sin2α+cos2α=.‎ 方法二:(1)同方法一.‎ ‎(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α)=.‎ 证明如下:‎ sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)‎ ‎=-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)‎ ‎=-cos2α++(cos60°·cos2α+sin60°sin2α)-sinαcosα-sin2α ‎=-cos2α++cos2α+sin2α-sin2α-(1-cos2α)‎ ‎=.‎ ‎18.解:(1)以A为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).‎ 设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(,1,0),B1(a,0,1),故=(0,1,1),=(,1,-1),=(a,0,1),=(,1,0).‎ ‎∵·=×0+1×1+(-1)×1=0,‎ ‎∴B1E⊥AD1.‎ ‎(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),‎ 使得DP∥平面B1AE.‎ 此时=(0,-1,z0).‎ 又设平面B1AE的法向量n=(x,y,z).‎ ‎∵n⊥平面B1AE,‎ ‎∴n⊥,n⊥,得 取x=1,得平面B1AE的一个法向量n=(1,,-a).‎ 要使DP∥平面B1AE,只要n⊥,有-az0=0,解得.‎ 又DP平面B1AE,∴存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时.‎ ‎(3)连接A1D,B1C,由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.‎ ‎∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.‎ 又由(Ⅰ)知B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1,‎ ‎∴AD1⊥平面DCB1A1.∴是平面A1B1E的一个法向量,此时=(0,1,1).‎ 设与n所成的角为θ,则.‎ ‎∵二面角A-B1E-A1的大小为30°,‎ ‎∴|cosθ|=cos30°,即,‎ 解得a=2,即AB的长为2.‎ ‎19.解:方法一:(1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8,‎ 即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8,‎ 又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,‎ 所以4a=8,a=2.‎ 又因为,即,所以c=1.‎ 所以.‎ 故椭圆E的方程是.‎ ‎(2)由得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.‎ 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),所以m≠0且=0,‎ 即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,‎ 化简得4k2-m2+3=0.(*)‎ 此时,y0=kx0+m=,‎ 所以P(,).‎ 由得Q(4,4k+m).‎ 假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上.‎ 设M(x1,0),则对满足(*)式的m,k恒成立.‎ 因为=(,),=(4-x1,4k+m),‎ 由,‎ 得,‎ 整理,得(4x1-4)+x12-4x1+3=0.(**)‎ 由于(**)式对满足(*)式的m,k恒成立,所以解得x1=1.‎ 故存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.‎ 方法二:(1)同方法一.‎ ‎(2)由得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.‎ 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),所以m≠0且=0,‎ 即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,‎ 化简得4k2-m2+3=0.(*)‎ 此时,y0=kx0+m=,‎ 所以P(,).‎ 由得Q(4,4k+m).‎ 假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上.‎ 取k=0,,此时P(0,),Q(4,),以PQ为直径的圆为(x-2)2+(y-)2=4,交x轴于点M1(1,0),M2(3,0);取,m=2,此时P(1,),Q(4,0),以PQ为直径的圆为,交x轴于点M3(1,0),M4(4,0).所以若符合条件的点M存在,则M的坐标必为(1,0).‎ 以下证明M(1,0)就是满足条件的点:‎ 因为M的坐标为(1,0),所以=(,),=(3,4k+m),‎ 从而,‎ 故恒有,即存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.‎ ‎20.解:(1)由于f′(x)=ex+2ax-e,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线斜率k=2a=0,‎ 所以a=0,即f(x)=ex-ex.‎ 此时f′(x)=ex-e,由f′(x)=0得x=1.‎ 当x∈(-∞,1)时,有f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,有f′(x)>0.‎ 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(1,+∞).‎ ‎(2)设点P(x0,f(x0)),曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x0)(x-x0)+f(x0),‎ 令g(x)=f(x)-f′(x0)(x-x0)-f(x0),故曲线y=f(x)在点P处的切线与曲线只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点.‎ 因为g(x0)=0,且g′(x)=f′(x)-f′(x0)=ex-ex0+2a(x-x0).‎ ‎(1)若a≥0,当x>x0时,g′(x)>0,则x>x0时,g(x)>g(x0)=0;‎ 当x<x0时,g′(x)<0,则x<x0时,g(x)>g(x0)=0.‎ 故g(x)只有唯一零点x=x0.‎ 由P的任意性,a≥0不合题意.‎ ‎(2)若a<0,令h(x)=ex-ex0+2a(x-x0),则h(x0)=0,h′(x)=ex+2a.‎ 令h′(x)=0,得x=ln(-2a),记x′=ln(-2a),则当x∈(-∞,x*)时,h′(x)<0,从而h(x)在(-∞,x*)内单调递减;当x∈(x*,+∞)时,h′(x)>0,从而h(x)在(x*,+∞)内单调递增.‎ ‎①若x0=x*,由x∈(-∞,x*)时,g′(x)=h(x)>h(x*)=0;x∈(x*,+∞)时,g′(x)=h(x)>h(x*)=0,知g(x)在R上单调递增.‎ 所以函数g(x)在R上有且只有一个零点x=x*.‎ ‎②若x0>x*,由于h(x)在(x*,+∞)内单调递增,且h(x0)=0,则当x∈(x*,x0)时有g′(x)=h(x)<h(x0)=0,g(x)>g(x0)=0;任取x1∈(x*,x0)有g(x1)>0.‎ 又当x∈(-∞,x1)时,易知g(x)=ex+ax2-[e+f′(x0)]x-f(x0)+x0f′(x0)<ex1+ax2-[e+f′(x0)]x-f(x0)+x0f′(x0)=ax2+bx+c,‎ 其中b=-[e+f′(x0)],c=ex1-f(x0)+x0f′(x0).‎ 由于a<0,则必存在x2<x1,‎ 使得ax22+bx2+c<0.‎ 所以g(x2)<0.故g(x)在(x2,x1)内存在零点,‎ 即g(x)在R上至少有两个零点.‎ ‎③若x0<x*,仿②并利用,可证函数g(x)在R上至少有两个零点.‎ 综上所述,当a<0时,曲线y=f(x)上存在唯一点P(ln(-2a),f(ln(-2a))),曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.‎ ‎21. (1)选修4-2:矩阵与变换 解:①设曲线2x2+2xy+y2=1上任意点P(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′,y′).‎ 由,得 又点P′(x′,y′)在x2+y2=1上,所以x′2+y′2=1,即a2x2+(bx+y)2=1,‎ 整理得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1.‎ 依题意得解得或 因为a>0,所以 ‎②由①知,,,‎ 所以|A2|=1,(A2)-1=.‎ ‎(2)选修4-4:坐标系与参数方程 解:①由题意知,M,N的平面直角坐标分别为(2,0),(0,).‎ 又P为线段MN的中点,从而点P的平面直角坐标为(1,),‎ 故直线OP的平面直角坐标方程为.‎ ‎②因为直线l上两点M,N的平面直角坐标分别为(2,0),(0,),‎ 所以直线l的平面直角坐标方程为.‎ 又圆C的圆心坐标为(2,),半径r=2,‎ 圆心到直线l的距离,故直线l与圆C相交.‎ ‎(3)选修4-5:不等式选讲 解:①因为f(x+2)=m-|x|,f(x+2)≥0等价于|x|≤m,‎ 由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}.‎ 又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1.‎ ‎②由①知,又a,b,c∈R+,由柯西不等式得 a+2b+3c=(a+2b+3c)()‎ ‎≥.‎
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