【数学】2018届一轮复习人教A版（理）9-3圆的方程学案
§9.3 圆的方程
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1.掌握确定圆的几何要素．
2．掌握圆的标准方程与一般方程．
考点1 圆的方程
1.圆的定义及方程
答案：定点 定长 (a，b) r
2．点与圆的位置关系
(1)理论依据：________到________的距离与半径的大小关系．
(2)三种情况：
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
①(x0－a)2＋(y0－b)2________r2⇔点在圆上；
②(x0－a)2＋(y0－b)2________r2⇔点在圆外；
③(x0－a)2＋(y0－b)2________r2⇔点在圆内．
答案：(1)点 圆心 (2)①＝ ②> ③<
(1)[教材习题改编]圆x2＋y2－2ax＋4ay＝0(a≠0)的圆心坐标是________，半径r＝________.
答案：(a，－2a) |a|
解析：根据圆的一般方程的圆心公式和半径公式，可得圆的圆心坐标为(a，－2a)，半径为|a|.
(2)[教材习题改编]以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为________．
答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)的两端点分别为(2,0)，(0,2)，
所以圆心为(1,1)，圆的半径为＝，
所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
圆的一般方程：注意表示圆的条件．
(1)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．
答案：－2
0，
解得－20)，半径r＝2b.
又圆C截x轴所得弦的长为2，圆心C到x轴的距离为b，
所以由勾股定理＝，解得b＝1.
因此圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
解法二：因为圆C的圆心在直线x－2y＝0上，设圆心C(2b，b)，
所以圆C的方程为(x－2b)2＋(y－b)2＝r2，
因为圆C与y轴正半轴相切，则r＝2b>0.①
又圆C截x轴所得弦的长为2，
由勾股定理，得圆心C到x轴的距离为＝.②
联立①②，得b＝1，r＝2.
因此圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
[点石成金] 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．
考点2 与圆有关的最值问题
[考情聚焦] 与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．
主要有以下几个命题角度：
角度一
斜率型最值问题
[典题2] [2017·辽宁抚顺模拟]已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．
[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，
表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，
此时＝，
解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
角度二
截距型最值问题
[典题3] 在[角度一]条件下求y－x的最大值和最小值．
[解] y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，
当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，
解得b＝－2±.
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
角度三
距离型最值问题
[典题4] 在[角度一]条件下求x2＋y2的最大值和最小值．
[解] 如图所示，
x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，
由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
角度四
建立目标函数求最值问题
[典题5] 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 和两点A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6 C．5 D．4
[答案] B
[解析] 由(x－3)2＋(y－4)2＝1知，圆上点P(x0，y0)可化为
∵∠APB＝90°，即·＝0，
∴(x0＋m)(x0－m)＋y＝0，
∴m2＝x＋y＝26＋6cos θ＋8sin θ
＝26＋10sin(θ＋φ)≤36，
∴0＜m≤6，即m的最大值为6.
[点石成金] 求解与圆有关的最值问题的两大规律
(1)借助几何性质求最值
处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．
(2)建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．
考点3 与圆有关的轨迹问题
(1)[教材习题改编]已知点P与两个定点O(0,0)，A(－3,3)的距离之比为，则点P的轨迹方程是________．
答案：x2＋y2－2x＋2y－6＝0
解析：依题意，得＝.
设P(x，y)，则＝，
整理得x2＋y2－2x＋2y－6＝0.
(2)[教材习题改编]若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．
答案：(－1,1)
解析：因为点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，即a2<1，故－1
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