【数学】2018届一轮复习人教A版空间几何体的结构特征及三视图与直观图学案

【数学】2018届一轮复习人教A版空间几何体的结构特征及三视图与直观图学案

‎　‎ ‎1.能画出柱、锥、台、球等简易组合体的三视图，并能识别三视图所表示的立体模型．会用斜二测画法画出它们的直观图．‎ ‎2．了解平行投影与中心投影，了解空间图形的不同表示形式．‎ 知识点一　空间几何体的结构特征 ‎ ‎1．多面体 ‎(1)棱柱的侧棱都________，上下底面是______且______的多边形．‎ ‎(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个________的三角形．‎ ‎(3)棱台可由________________的平面截棱锥得到，其上下底面是________且______的多边形．‎ ‎2．旋转体 ‎(1)圆柱可以由______绕其任一边旋转得到．‎ ‎(2)圆锥可以由直角三角形绕其__________________旋转得到．‎ ‎(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由______于圆锥底面的平面截圆锥得到．‎ ‎(4)球可以由半圆或圆绕____________旋转得到．‎ 答案 ‎1．(1)互相平行　互相平行　全等　(2)公共顶点 ‎(3)平行于棱锥底面　相互平行　相似 ‎2．(1)矩形　(2)一条直角边所在直线　(3)平行 ‎(4)直径所在直线 ‎1．下列说法正确的是(　　)‎ A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 解析：A错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．‎ 答案：B ‎2．下图所示的几何体中，是棱柱的为________(填写所有正确的序号)．‎ 解析：根据棱柱的结构特征可知③⑤是棱柱．‎ 答案：③⑤‎ 知识点二　　空间几何体的三视图 ‎ ‎1．三视图的名称 几何体的三视图包括________、________、________.‎ ‎2．三视图的画法 ‎(1)画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．‎ ‎(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的______方、______方、______方观察几何体得到的正投影图．‎ 答案 ‎1．正视图　侧视图　俯视图 ‎2．(2)正前　正左　正上 ‎3．(2016·天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为(　　)‎ 解析：由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为B.‎ 答案：B ‎4．如图所示，图①②③是图④所示的几何体的三视图，若图①是正视图，则图②是________，图③是________．‎ 解析：根据三视图的概念知图②是侧视图，图③是俯视图．‎ 答案：侧视图　俯视图 知识点三　空间几何体的直观图 ‎ 空间几何体的直观图常用________画法来画，其规则是：‎ ‎1．原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为____，z′轴与x′轴和y′轴所在平面______．‎ ‎2．原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别____________．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段在直观图中长度变为__________．‎ 答案 斜二测　1.45°或135°　垂直 ‎2．平行于坐标轴　不变　原来的一半 ‎5．用斜二测画法画一个水平放置的水平图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(　　)‎ 解析：由直观图的画法可知，落在y轴上的对角线的长度为2.‎ 答案：A 热点一　空间几何体的结构特征 ‎ ‎【例1】　给出下列命题：‎ ‎①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；‎ ‎②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；‎ ‎③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；‎ ‎④存在每个面都是直角三角形的四面体；‎ ‎⑤棱台的侧棱延长后交于一点．‎ 其中正确命题的序号是________．‎ ‎【解析】　‎ ‎①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；⑤正确，由棱台的概念可知．‎ ‎【答案】　②③④⑤‎ ‎【总结反思】‎ ‎(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断．‎ ‎(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析.‎ 给出下列命题：‎ ‎①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；‎ ‎②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；‎ ‎③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；‎ ‎④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．‎ 答案：A 热点二 空间几何体的三视图 ‎ 考向1　由直观图判断三视图 ‎【例2】　(2017·贵州七校联考)如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)(　　)‎ A．①②⑥ B．①②③‎ C．④⑤⑥ D．③④⑤‎ ‎【解析】　正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.‎ ‎【答案】　B 考向2　由三视图还原直观图 ‎【例3】　(2016·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(　　)‎ A.　　　B.　　　C.　　　D．1‎ ‎【解析】　‎ 由三视图可得该几何体的直观图为三棱锥A－BCD，将其放在长方体中如图所示，其中BD＝CD＝1，CD⊥BD，三棱锥的高为1，所以三棱锥的体积为××1×1×1＝.故选A.‎ ‎【答案】　A 考向3　由部分视图确定剩余视图 ‎【例4】　已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中AB＝AC，四边形BCDE为矩形，则该组合体的俯视图可以是________(把你认为正确的图的序号都填上)．‎ ‎【解析】　直观图如图1的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为①；直观图如图2的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个圆柱)的俯视图为②；直观图如图3的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个圆柱)的俯视图为③；直观图如图4的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为④.‎ ‎【答案】　①②③④‎ ‎【总结反思】‎ 三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．‎ ‎(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．‎ ‎(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图.‎ ‎(1)(2017·南昌一模)如图，在正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，点P是平面A1B‎1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为(　　)‎ A．11 B．21‎ C．23 D．32‎ ‎(2)(2017·汕头模拟)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(　　)‎ ‎(3)(2016·四川卷)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．‎ 解析：(1)根据题意，三棱锥P－BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高，故三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为11.‎ ‎(2)A，B，D选项满足三视图作法规则，C不满足三视图作法规则中的宽相等，故C不可能是该锥体的俯视图．‎ ‎(3)由正视图知，底面三角形是腰长为2，底边为2的等腰三角形，三棱锥的高为1，所以该三棱锥的体积V＝×(×2×1)×1＝.‎ 答案：(1)A　(2)C　(3) 热点三 空间几何体的直观图 ‎ ‎【例5】　如图所示，四边形A′B′C′D′是一平面图形的水平放置的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2.求这个平面图形的实际面积．‎ ‎【解】　根据斜二测直观图画法规则可知 该平面图形是直角梯形，且AB＝6，CD＝4保持不变．‎ 由于C′B′＝A′D′＝2.所以CB＝4.‎ 故平面图形的实际面积为 ×(6＋4)×4＝20.‎ ‎【总结反思】‎ 对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S与直观图面积S′之间的关系S′＝S，能更快捷地进行相关问题的计算.‎ 已知平面△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．‎ 解：‎ 如图所示，△A′B′C′是边长为a的正三角形，作C′D′∥A′B′交y′轴于点D′，则D′到x′轴的距离为a，∵∠D′A′B′‎ ‎＝45°，∴A′D′＝a，‎ 由斜二测画法的法则知，在△ABC中，AB＝A′B′＝a，AB边上的高是A′D′的二倍，即为a，∴S△ABC＝a·a＝a2.‎ ‎1．对于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决，这种题目难度不大．‎ ‎2．在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线．在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚线．并做到“长对正、高平齐、宽相等”．‎ ‎3．能够由空间几何体的三视图得到它的直观图；也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图．提升空间想象能力．‎ 找出三视图中扰人的最大值 关于三视图，主要有两种考查形式：一是根据给定几何体判断或补画视图，二是由三视图想象出原几何体，进而计算它的面积或体积．而在考查第二种形式时会发现，有一种和求最大值相关的题型，尤其是最大面的面积问题，学生容易理解不到位，感到比较棘手，因此本文对此类问题作详细分析，以便让学生透彻理解这扰人的最大值，使得这类问题的解答变得简单流畅．‎ ‎【例1】　某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱的长度中，最大的是(　　)‎ A．2 B．2 C．2 D．4 ‎【解析】　由三视图可知该四面体为三棱锥V－ABC，如图，其中EC＝CB＝2，AE＝2，VC＝2，AE⊥BE，VC⊥平面ABE，所以六条棱中，最大的棱为VA或者AB.AC2＝AE2＋EC2＝(2)2＋22＝16，所以VA2＝AC2＋VC2＝16＋22＝20，此时VA＝＝2，AB2＝AE2＋EB2＝(2)2＋42＝28，所以AB＝＝2>2，所以棱长最大的为2，选C.‎ ‎【答案】　C 解题策略：立体几何中的大量问题均以棱锥为背景，其中出现最频繁的莫过于三棱锥，此题只要将三视图还原为三棱锥，利用垂直关系，理清位置和数量关系，由勾股定理可得到答案．‎ ‎【例2】　一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是(　　)‎ A．2　　　　B．‎2‎　　　　C.　　　　D．2 ‎【解析】　将该几何体放入边长为2的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，由三视图可知该四面体为D－BD‎1C1，由直观图可知，最大的面为等边三角形BDC1.在等边三角形BDC1中，BD＝2，所以△BDC1的面积S＝×(2)2×＝2，选D.‎ ‎【答案】　D 解题策略：由于正方体本身就是一个完美的对称体，比较容易观察和了解到它基本的图形性质，棱柱、平行六面体等几何体一般都可看作是正方体演化而来的．立体几何中的所有点、线、面之间的相互位置关系都可以在正方体中找到，所以当找不到模型时不妨回到正方体中找找看，且它在高考立体几何题中也是大量问题的背景．本题考查将三视图还原为几何体，线面垂直关系，将几何体放入正方体中是解题的关键，考查了空间想象能力和转化能力．‎ ‎【例3】　某几何体的三视图如图所示，当a＋b取最大值时，这个几何体的体积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　该几何体是长方体的一部分，如图所示，可知AC＝，BD＝1，BC＝b，AB＝a.设CD＝x，AD＝y，则x2＋y2＝6，x2＋1＝b2，y2＋1＝a2，消去x2，y2得a2＋b2＝8≥，所以a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，此时x＝，y＝，所以V＝××1××＝.故选D.‎ ‎【答案】　D 解题策略：本题主要考查三视图，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图的视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题．本题与基本不等式相结合，扩大了试题考查的覆盖面．‎