中考数学黄冈卷精解

中考数学黄冈卷精解

‎2012年中考数学卷精析版——黄冈卷 ‎（本试卷满分120分，考试时间120分钟）‎ 一、选择题(下列各题A、B、C、D 四个选项中，有且仅有一个是正确的，每小题3 分，共24 分)‎ ‎3. （2012湖北黄冈3分）下列运算正确的是【 】‎ A．x4•x3=x12 B．（x3）4=x‎81 ‎‎ C．x4÷x3=x（x≠0） D．x4+x3=x7‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项。‎ ‎【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项运算法则，结合选项即可作出判断：‎ A、x4•x3=x7，故本选项错误；B、（x3）4=x12，故本选项错误；‎ C、x4÷x3=x（x≠0），故本选项正确；D、x4和x3不是同类项，不可合并，故本选项错误。故选C。‎ ‎4. （2012湖北黄冈3分）如图，水平放置的圆柱体的三视图是【 】‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】简单几何体的三视图。‎ ‎【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，即可得出答案：‎ 依据圆柱体放置的方位来说，从正面和上面可看到的长方形是一样的；从左面可看到一个圆。故选A。‎ ‎5. （2012湖北黄冈3分）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是【 】‎ A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线互相垂直的四边形 D. 对角线相等的四边形 ‎【答案】 C。‎ ‎【考点】矩形的性质，三角形中位线定理。‎ ‎【分析】如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，‎ 根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG。‎ ‎∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD。‎ 故选C。‎ ‎6. （2012湖北黄冈3分）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于E，已知CD=12，则⊙O 的直径为【 】‎ A. 8 B. ‎10 ‎‎ C.16 D.20‎ ‎【答案】D．‎ ‎【考点】垂径定理，勾股定理。‎ ‎【分析】连接OC，根据题意，CE=CD=6，BE=2．‎ 在Rt△OEC中，设OC=x，则OE=x-2，∴（x-2）2+62=x2，解得：x=10。‎ ‎∴直径AB=20。故选D．‎ ‎7. （2012湖北黄冈3分）下列说法中 ‎①若式子有意义，则x＞1.‎ ‎②已知∠α=27°，则∠α的补角是153°.‎ ‎③已知x=2 是方程x2－6x+c=0 的一个实数根，则c 的值为8.‎ ‎④在反比例函数中，若x＞0 时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是k＞2. ‎ ‎8. （2012湖北黄冈3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=‎6cm，点P 从点A 出发，沿AB方向以 每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒‎1cm 的速度向终点C 运动，将 ‎△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设Q点运动的时间t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为【 】‎ A. B. ‎2 C. D. 4 ‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】动点问题，等腰直角三角形的性质，翻折对称的性质，菱形的性质，矩形。‎ ‎【分析】如图，过点P作PD⊥AC于点D，连接PP′。‎ ‎ 由题意知，点P、P′关于BC对称，∴BC垂直平分PP′。‎ ‎ ∴QP=QP′，PE=P′E。‎ ‎ ∴根据菱形的性质，若四边形QPCP′是菱形则CE=QE。‎ ‎ ∵∠C=90°，AC=BC，∴∠A=450。‎ ‎ ∵AP=t，∴PD= t。‎ ‎ 易得，四边形PDCE是矩形，∴CE=PD= t，即CE=QE= t。‎ ‎ 又BQ= t，BC=6，∴3 t=6，即t=2。‎ ‎ ∴若四边形QPCP′为菱形，则t的值为2。故选B。 ‎ 二、填空题（共8 小题，每小题3 分，共24 分）‎ ‎9. （2012湖北黄冈3分）的倒数是 ▲ .‎ ‎【答案】－3。‎ ‎【考点】倒数。‎ ‎【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．所以的倒数为1÷。‎ ‎10. （2012湖北黄冈3分）分解因式x3－9x= ▲ ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】提公因式法和应用公式法因式分解。‎ ‎【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，‎ ‎。‎ ‎11. （2012湖北黄冈3分）化简的结果是 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】分式的混合运算。‎ ‎【分析】原式被除式括号中的第一项分子利用平方差公式分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律将括号外边的项乘到括号中的每一项，约分后，找出两分母的最简公分母，通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分后得到最简结果：‎ ‎ ‎ ‎。‎ ‎12. （2012湖北黄冈3分）如图，在△ ABC 中，AB=AC，∠A=36° ，AB的垂直平分线交AC 于点E，垂 足为点D，连接BE，则∠EBC 的度数为 ▲ .‎ ‎【答案】36°。‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE。‎ ‎∵∠A=36° ，∴∠ABE=∠A=36°。‎ ‎∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=。∴∠EBC=∠ABC－∠ABE=72°－36°=36°。‎ ‎13. （2012湖北黄冈3分）已知实数x 满足，则的值为 ▲ _.‎ ‎【答案】7。‎ ‎【考点】配方法的应用，完全平方公式。‎ ‎【分析】∵，∴。‎ ‎14. （2012湖北黄冈3分）如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC ，AD=4，AB=CD=5，∠B=60°，则下底BC 的长为 ▲ .‎ ‎【答案】9。‎ ‎【考点】等腰梯形的性质，含30度角直角三角形的性质，矩形的判定。‎ ‎【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，‎ ‎∵AB=5，∠B=60°，∴∠BAE=30°。∴BE=2.5 。‎ 同理可得CF=2.5。‎ 又∵AD=4，∴EF=AD=4（矩形的性质）。‎ ‎∴BC =BE+EF+FC=5+4=9。‎ ‎15. （2012湖北黄冈3分）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A（－2，3），B（－4，‎ ‎－1），C（2，0），将△ABC平移至△A1B‎1C1 的位置，点A、B、C 的对应点分别是A1B‎1C1，若点A1 的 坐标为（3，1）.则点C1 的坐标为 ▲ .‎ ‎【答案】（7，－2）。‎ ‎【考点】坐标与图形的平移变化。‎ ‎【分析】根据A点平移后的坐标变化，确定三角形的平移方法，得到C点的平移方法：‎ 由A（－2，3）平移后点A1的坐标为（3，1），可得A点横坐标加5，纵坐标减2，‎ 则点C的坐标变化与A点的变化相同，故C1（2＋5，0－2），即（7，－2）。‎ ‎16．（2012湖北黄冈3分）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，‎ 快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为‎60千米／时，两车之间的距离y(千米)与货车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：‎ ‎①快递车从甲地到乙地的速度为100千米／时；‎ ‎②甲、乙两地之间的距离为120千米；‎ ‎③图中点B的坐标为(，75)；‎ ‎④快递车从乙地返回时的速度为90千米／时．‎ 以上4个结论中正确的是 ▲ (填序号)‎ ‎【答案】①③④。‎ ‎【考点】一次函数的应用。‎ ‎【分析】①设快递车从甲地到乙地的速度为v‎1千米／时，‎ ‎ 由已知，货车的速度为60千米／时，‎ ‎ 由图象知，货车行驶时间3小时时，两车相距120千米，得 ‎ ，解得v1=100。‎ ‎ ∴快递车从甲地到乙地的速度为100千米／时。故结论①正确。‎ ‎② 由图象知，快递车行驶3小时到达乙地，∴甲、乙两地之间的距离为3×100=300（千米）。‎ 故结论②错误。‎ ‎③ ∵快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，即小时，‎ ‎ ∴点B的横坐标为3＋。‎ ‎ 又∵小时货车行驶了（千米），‎ ‎∴此时两车相距120－45=75（千米），即点B的纵坐标为75。‎ ‎∴图中点B的坐标为(，75)。故结论③正确。‎ ‎④ 设快递车从乙地返回时的速度为v‎2千米／时，‎ ‎ 由③和图象可得，，解得v2=90。‎ ‎ ∴快递车从乙地返回时的速度为90千米／时。故结论④正确。‎ 综上所述，结论①③④正确。‎ 三、解答题（共9 小题，共72 分）‎ ‎17. （2012湖北黄冈5分）解不等式组 ‎【答案】解： ，‎ 由①得：x＜，由②得：x≥－2，‎ ‎∴不等式组的解集为：－2≤x＜。‎ ‎【考点】解一元一次不等式组。‎ ‎【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。‎ ‎18. （2012湖北黄冈7分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E、F 分别在OD、OC ‎ 上，且DE=CF，连接DF、AE，AE 的延长线交DF于点M. ‎ 求证：AM⊥DF.‎ ‎【答案】解：（1）画树状图得：‎ ‎ ∵共有12种等可能的结果，小明获胜的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）共6种情况，‎ ‎∴小明获胜的概率为：。‎ ‎（2）不公平，理由如下：画树状图得：‎ ‎∵共有16种等可能的结果，小明获胜的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）共6种情况，‎ ‎∴P（小明获胜）=6 16 =3 8 ，P（小强获胜）=。‎ ‎∵P（小明获胜）≠P（小强获胜），‎ ‎∴他们制定的游戏规则不公平。‎ ‎【考点】列表法或树状图法，概率，游戏公平性。‎ ‎【分析】（1‎ ‎）根据题意画出树状图或列表，由图表求得所有等可能的结果与小明获胜的情况，从而利用概率公式即可求得答案，注意此题属于不放回实验。‎ ‎（2）据题意画出树状图或列表，由图表求得所有等可能的结果与小明、小强获胜的情况，从而利用概率公式求得其概率，比较概率，则可得到他们制定的游戏规则是否公平。注意此题属于放回实验。‎ ‎20．（2012湖北黄冈6分）为了全面了解学生的学习、生活及家庭的基本情况，加强学校、家庭的联系，‎ 梅灿中学积极组织全体教师开展“课外访万家活动”，王老师对所在班级的全体学生进行实地家访，了解 到每名学生家庭的相关信息，现从中随机抽取15名学生家庭的年收入情况，数据如下表：‎ ‎(1)求这15 名学生家庭年收入的平均数、中位数、众数.‎ ‎(2)你认为用(1)中的哪个数据来代表这15名学生家庭年收入的一般水平较为合适?请简要说明理由．‎ 年收入（单位：万元）‎ ‎2‎ ‎2. 5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎13‎ 家庭个数 ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎【答案】解：（1）这15名学生家庭年收入的平均数是：（2+2.5×3+3×5+4×2+5×2+9+13）÷15=4.3万元。‎ 将这15个数据从小到大排列，最中间的数（第8个）是3，所以中位数是3万元。‎ ‎ 在这一组数据中3出现次数最多的3，所以众数3万元。 （2）众数代表这15名学生家庭年收入的一般水平较为合适，因为3出现的次数最多，所以能 代表家庭年收入的一般水平。‎ ‎【考点】平均数，中位数，众数。‎ ‎【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义求解即可。‎ ‎（2）在平均数，众数两数中，平均数受到极端值的影响较大，所以众数更能反映家庭年收入的 一般水平。‎ ‎21. （2012湖北黄冈6分）某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8800 件投入市场，服装厂有A、B 两 个制衣车间，A 车间每天加工的数量是B车间的1．2 倍，A、B 两车间共同完成一半后，A 车间出现故 障停产，剩下全部由B 车间单独完成，结果前后共用20 天完成，求A、B 两车间每天分别能加工多少件．‎ ‎【答案】解：设B车间每天能加工x件，则A车间每天能加工1.2x件，由题意得：‎ ‎，解得：x=320。‎ 经检验：x=320是原分式方程的解。‎ ‎1.2×320=384。‎ 答：A车间每天能加工384件，B车间每天能加工320件。‎ ‎【考点】分式方程的应用。‎ ‎【分析】设B车间每天能加工x件，则A车间每天能加工1.2x件，由题意可得等量关系：A、B两车间生产4400件所用的时间+B两车间生产4400件所用的时间=20天，由等量关系可列出方程，解方程可得答案。‎ ‎22. （2012湖北黄冈8分）如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB 为直径作半圆⊙O，交AC 于点D.连结 DB，‎ 过点D 作DE⊥BC，垂足为点E.‎ ‎（1）求证：DE 为⊙O 的切线；‎ ‎（2）求证：DB2=AB·BE.‎ ‎【答案】证明：（1）连接OD、BD，则∠ADB=90°（圆周角定理），‎ ‎∵BA=BC，∴CD=AD（三线合一）。‎ 又∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位线。‎ ‎∴OD∥BC。‎ ‎∵∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE。‎ ‎∴DE为⊙O的切线。‎ ‎（2）∵∠BED=∠BDC =900，∠EBD=∠DBC，‎ ‎∴△BED∽△BDC，∴。‎ 又∵AB=BC，∴。∴BD2=AB•BE。‎ ‎【考点】切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）连接OD、BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，从而得出点D是AC中点，判断出OD是△ABC的中位线，利用中位线的性质得出∠ODE=90°，这样可判断出结论。‎ ‎（2）根据题意可判断△BED∽△BDC，从而可得BD2=BC•BE，将BC替换成AB即可得出结论。‎ ‎23．（2012湖北黄冈8分）新星小学门口有一直线马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的 斑马线，斑马线的宽度为‎4 米，为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得低于‎2 米，现有一旅 游车在路口遇红灯刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为∠FAE＝15° 和∠FAD=30° .司机 距车头的水平距离为‎0.8 米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准?(E、D、C、B 四点在平行于斑马 线的同一直线上.) ‎ ‎(参考数据：tan15°=2－，sin15°=cos15°=≈1.732，≈1.414）‎ ‎【答案】解：∵∠FAE=15°，∠FAD=30°，∴∠EAD=15°。‎ ‎∵AF∥BE，∴∠AED=∠FAE=15°，∠ADB=∠FAD=30°。‎ 设AB=x，则在Rt△AEB中，。‎ ‎∵ED=4，ED+BD=EB，∴BD=－4。‎ 在Rt△ADB中，，‎ ‎∴，即，解得x=2。‎ ‎∴。‎ ‎∵BD=CD+BC=CD+0.8，∴CD= －0.8≈2×1.732＋0.8≈2.7＞2，故符合标准。‎ 答：该旅游车停车符合规定的安全标准。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】由∠FAE=15°，∠FAD=30°可知∠EAD=15°，根据AF∥BE可知∠AED=∠FAE=15°，∠ADB=∠FAD=30°，设AB=x，则在Rt△AEB中， ，在Rt△ADB中， ，联立两式即可求出CD的值。‎ ‎24．（2012湖北黄冈12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价 定为3000 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种 新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购 买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元．‎ ‎(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元?‎ ‎(2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并 写出自变量x 的取值范围．‎ ‎(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)‎ ‎【答案】解：（1）设件数为x，依题意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。‎ 答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。‎ ‎（2）当0≤x≤10时，y=（3000－2400）x=600x；‎ 当10＜x≤50时，y=[3000－10（x－10）－2400]x，即y=－10x2+700x；‎ 当x＞50时，y=（2600－2400）x=200x。‎ ‎∴。‎ ‎（3）由y=－10x2+700x可知抛物线开口向下，当时，利润y有最大值，‎ 此时，销售单价为3000－10（x－10）=2750元，‎ 答：公司应将最低销售单价调整为2750元。‎ ‎【考点】二次函数的应用。‎ ‎【分析】（1）设件数为x，则销售单价为3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解。‎ ‎（2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三种情况列出函数关系式。‎ ‎（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价。‎ ‎25．（2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:与x 轴相交于点B、‎ C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧.‎ ‎(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值．‎ ‎(2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．‎ ‎(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标．‎ ‎(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线C1过点M(2，2)，∴，解得m=4。‎ ‎（2）由（1）得。‎ ‎ 令x=0，得。∴E（0，2），OE=2。‎ ‎ 令y=0，得，解得x1=－2，x=4。‎ ‎∴B（－2，，0），C（4，0），BC=6。‎ ‎ ∴△BCE的面积=。‎ ‎（3）由（2）可得的对称轴为x=1。‎ ‎ 连接CE，交对称轴于点H，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，知此时BH+EH最小。‎ ‎ 设直线CE的解析式为，则 ‎ ，解得。∴直线CE的解析式为。‎ ‎ 当x=1时，。∴H（1，）。‎ ‎（4）存在。分两种情形讨论：‎ ‎ ①当△BEC∽△BCF时，如图所示。‎ 则，∴BC2=BE•BF。‎ 由（2）知B（－2，0），E（0，2），即OB=OE，‎ ‎∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°。‎ 作FT⊥x轴于点F，则BT=TF。‎ ‎∴令F（x，－x－2）（x＞0），‎ 又点F在抛物线上，∴－x－2=，‎ ‎∵x+2＞0（∵x＞0），∴x=‎2m，F（‎2m，－‎2m－2）。‎ 此时，‎ 又BC2=BE•BF，∴（m+2）2= •，解得m=2±。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值。‎ ‎（2）求出B、C、E点的坐标，从而求得△BCE的面积。‎ ‎（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x=1对称，连接EC与对称轴的交点即为所求的H点。‎ ‎（4）分两种情况进行讨论：‎ ‎①当△BEC∽△BCF时，如图所示，此时可求得+2。‎ ‎②当△BEC∽△FCB时，如图所示，此时得到矛盾的等式，故此种情形不存在。‎