【数学】2019届一轮复习人教B版 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案
第34讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
2017·山东卷，3
2017·浙江卷，3
2016·全国卷Ⅰ，16
2016·江苏卷，4
对线性规划的考查常以线性目标函数的最值为重点，兼顾考查代数式的几何意义，有时也考查用线性规划知识解决实际问题.
分值：5分
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)__不包括__边界直线，把边界直线画成虚线；不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)__包括__边界直线，把边界直线画成实线．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足Ax＋By＋C＞0，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足__Ax＋By＋C<0__.
(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的__符号__就可以判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．
(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各不等式所表示的平面区域的__公共部分__.
2．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的__不等式(组)__
线性约束条件
由x，y的__一次__不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
欲求___最大值__或__最小值__的函数
线性目标函数
关于x，y的__一次__解析式
可行解
满足__线性约束条件__的解(x，y)
可行域
所有__可行解__组成的集合
最优解
使目标函数取得___最大值__或__最小值__的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的__最大值__或__最小值__问题
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( × )
(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( × )
(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( √ )
(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( × )
解析 (1)错误．当B<0时，不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域在直线Ax＋By＋C＝0的下方．
(2)错误．当二元一次不等式组中的不等式所表示的区域没有公共部分时，就无法表示平面上的一个区域．
(3)正确．当线性目标函数转化成的直线和某个边界重合时，最优解无穷多．
(4)错误．目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．
2．点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则( B )
A．a＜－7或a＞24 B．－7＜a＜24
C．a＝－7或a＝24 D．以上都不对
解析 依题意，(9－2＋a)(－12－12＋a)<0，解得－7
1.
一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法
(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．若直线不过原点，特殊点一般取(0,0)点．
(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线．
【例1】 (1)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为( A )
A． B．
C． D．
(2)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为( B )
A．－3 B．1
C． D．3
解析 (1)两直线方程分别为x－2y＋2＝0与x＋y－1＝0.
由(0,0)点在直线x－2y＋2＝0右下方，
可知x－2y＋2≥0，
又(0,0)点在直线x＋y－1＝0左下方可知x＋y－1≥0.
即为所表示的可行域．
(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2,0)，B(1－m,1＋m)，C，D(－2m,0)．
S△ABC＝S△ADB－S△ADC
＝·
＝(2＋2m)
＝(1＋m)＝.
解得m＝1或m＝－3(舍去)．
二 线性目标函数的最值问题
(1)求线性目标函数的最值．线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值．
(2)由目标函数的最值求参数．求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．
(3)利用可行域及最优解求参数及其范围．利用约束条件作出可行域，通过分析可行域及目标函数确定最优解的点，再利用已知可求参数的值或范围．
【例2】 (1)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋5y的最小值为( B )
A．－4 B．6
C．10 D．17
(2)x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( D )
A．或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
解析 (1)由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分)．
当直线2x＋5y－z＝0过点A(3,0)时，zmin＝2×3＋5×0＝6.故选B．
(2)作出可行域(如图所示的△ABC及其内部)．
由题设z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数取最大值时对应的直线与可行域某一边界重合．
又kAB＝－1，kAC＝2，kBC＝，∴a＝－1或a＝2或a＝，
验证：a＝－1或a＝2时，满足题意；a＝时，不满足题意，故选D．
三 非线性目标函数的最值问题
非线性目标函数常见类型的几何意义
(1)(x－a)2＋(y－b)2为点(x，y)与点(a，b)距离的平方．
(2)为点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
(3)|Ax＋By＋C|是点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍．
【例3】 设x，y满足条件
(1)求u＝x2＋y2的最大值与最小值；
(2)求v＝的最大值与最小值；
(3)求z＝|2x＋y＋4|的最大值与最小值．
解析 画出满足条件的可行域，如图所示．
(1)x2＋y2＝u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图象可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过点(0,0)时，u最小．
又C(3,8)，所以umax＝73，umin＝0.
(2)v＝表示可行域内的点P(x，y)到定点D(5,0)的斜率，由图象可知，kBD最大，kCD最小．
又因为C(3,8)，B(3，－3)，
所以vmax＝＝，vmin＝＝－4.
(3)因为z＝|2x＋y＋4|＝·表示可行域内点P(x，y)到直线2x＋y＋4＝0的距离的倍，由图象知A到直线2x＋y＋4＝0的距离最小，C到直线2x＋y＋4＝0的距离最大．又因为A，C(3,8)，
故当x＝－，y＝时，
zmin＝·＝.
当x＝3，y＝8时，zmax＝·＝18.
四 线性规划的实际应用
解线性规划应用题的一般步骤
第一步：分析题意，设出未知量；
第二步：列出线性约束条件和目标函数；
第三步：作出可行域并利用数形结合求解；
第四步：将数学问题的答案还原为实际问题的答案．
【例4】 (2016·天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示.
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
解析 (1)由已知，x，y满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．
(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(20,24)．
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
故生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．
1．(2017·浙江卷)若x，y满足约束条件则z＝x＋2y的取值范围是( D )
A．[0,6] B．[0,4]
C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)
解析 画出可行域如图阴影部分所示，平移直线x＋2y＝0，可知，直线z＝x＋2y过点(2,1)时取得最小值4，无最大值，故选D．
2．若实数x，y满足不等式组目标函数t＝x－2y的最大值为2，则实数a的值是( D )
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析 可行域为△ABC及其内部，如图所示．由图可知，当目标函数t＝x－2y过点A时有最大值，由直线x－2y＝2与直线x－2＝0的交点坐标为(2,0)，代入直线x＋2y－a＝0，得a＝2，故选D．
3．已知实数x，y满足则k＝的最大值为( C )
A． B．
C．1 D．
解析 如图，不等式组表示的平面区域为△AOB的边界及其内部区域，
k＝＝表示点(x，y)和(－1,0)的连线的斜率．
由图知，点(0,1)和点(－1,0)连线的斜率最大，所以kmax＝＝1，故选C．
4．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．
生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为__216_000__元．
解析 设生产产品A x件，生产产品B y件，利润之和为z元，则z＝2 100x＋900y.
根据题意得即
作出可行域(如图)．
由得
当直线2 100x＋900y－z＝0过点M(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000.
故所求的最大值为216 000元．
易错点 不能准确确定最优解的位置
错因分析：“截距型”最优解问题一是要弄清z与截距的关系，二是要看与目标函数相应的直线的斜率的正负以及与可行域边界直线斜率的大小关系．
【例1】 已知约束条件目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的值最大为12，则＋的最小值为________.
解析 画出可行域，如图中阴影部分所示．
由z＝ax＋by得，y＝－x＋.
∵－＜0，∴一定是过点A时z取最大值．
由得A(4,6)，
∴zmax＝4a＋6b＝12，∴＋＝1.
∴＋＝＝＋＋＋≥＋＋2＝(当且仅当a＝b＝时，取等号)．
∴＋的最小值为.
答案
【跟踪训练1】 设变量x，y满足约束条件若目标函数z＝x＋ky(k>0)的最小值为13，则实数k＝( C )
A．7 B．5或13
C．5或 D．13
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，可知z＝x＋ky(k>0)过点A或B时取得最小值，所以＋k＝13或＋k＝13，解得k＝5或.
课时达标 第34讲
[解密考纲]考查线性规划以选择题或填空题的形式出现．
一、选择题
1．已知实数x，y满足则z＝4x＋y的最大值为( B )
A．10 B．8
C．2 D．0
解析 画出可行域，根据图形可知，当目标函数的图象经过点A(2,0)时，z＝4x＋y取得最大值8.
2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是( A )
A． B．
C．[－1,6] D．
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，当直线z＝3x－y过点A(2,0)时，z取得最大值6，过点B时，z取得最小值－，故选A．
3．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x2＋y2的取值范围为( C )
A．[2,8] B．[4,13]
C．[2,13] D．
解析 作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，从而可得zmin＝|OA|2＝2＝2，zmax＝|OB|2＝32＋22＝13.故z∈[2,13]．
4．若实数x，y满足且z＝y－x的最小值为－2，则k＝( B )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析 当k≥0时，直线z＝y－x不存在最小值，
∴k＜0.当k＜0时，当有且仅当直线z＝y－x经过kx－y＋2＝0与x轴的交点，(－，0)时，z取得最小值－2，∴－2＝，即k＝－1.
5．若关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积等于2，则a＝( A )
A．3 B．6
C．5 D．4
解析 先作出不等式组对应的区域，如图．因为直线ax－y＋1＝0过定点(0,1)，且不等式ax－y＋1≥0表示的区域在直线ax－y＋1＝0的下方，所以△ABC为不等式组对应的平面区域．
因为A到直线BC的距离为1，所以S△ABC＝×1×BC＝2，
所以BC＝4.当x＝1时，yC＝1＋a，所以yC＝1＋a＝4，
解得a＝3.
6．设实数x, y满足则z＝＋的取值范围是( D )
A． B．
C． D．
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影所示．解方程组得可行域的顶点分别为A(3,1)，B(1,2)，C(4,2)．由于表示可行域内的点(x，y)与原点(0,0)的连线的斜率，则kOA＝，kOB＝2，kOC＝，所示∈.结合对勾函数的图象，得z∈，故选D．
二、填空题
7．(2016·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则的最大值为__3__.
解析 由约束条件画出可行域，如图．
的几何意义是可行域内的点(x，y)与原点连线的斜率，所以的最大值即为直线OA的斜率，又由得点A的坐标为(1,3)，于是max＝kOA＝3.
8．已知实数x，y满足x2＋(y－2)2＝1，则ω＝的取值范围是__[1,2]__.
解析 设P(x，y)，M(1，)，则cos〈，〉＝＝，过原点O作⊙C的切线OA，OB，切点为A，B，
易知：∠MOx＝∠AOx＝60°，∠BOx＝120°，
∴0°≤〈，〉≤60°，
∴≤cos〈，〉≤1，∴1≤ω≤2.
9．已知a>0，实数x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a的值为____.
解析 由题意得直线y＝a(x－3)过x＝1与2x＋y＝1的交点(1，－1)，因此a的值为.
三、解答题
10．已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示．
(1)写出表示区域D的不等式组；
(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．
解析 (1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.
原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为
(2)依题意[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0，
即(14－a)(－18－a)<0，
解得－18
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