河北省中考数学试卷及详细解析

河北省中考数学试卷及详细解析

‎2018年河北省中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共16小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分）‎ ‎1．（3分）（2018•河北）下列图形具有稳定性的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（3分）（2018•河北）一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（　　）‎ A．4 B．6 C．7 D．10‎ ‎3．（3分）（2018•河北）图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（　　）‎ A．l1 B．l2 C．l3 D．l4‎ ‎4．（3分）（2018•河北）将9.52变形正确的是（　　）‎ A．9.52=92+0.52 B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）‎ C．9.52=102﹣2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52‎ ‎5．（3分）（2018•河北）图中三视图对应的几何体是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（3分）（2018•河北）尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；‎ Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．‎ 如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：‎ 则正确的配对是（　　）‎ A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ ‎7．（3分）（2018•河北）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（3分）（2018•河北）已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（　　）‎ A．作∠APB的平分线PC交AB于点C B．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC C．取AB中点C，连接PC D．过点P作PC⊥AB，垂足为C ‎9．（3分）（2018•河北）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：==13，==15：s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3．则麦苗又高又整齐的是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎10．（3分）（2018•河北）图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的题数是（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎11．（2分）（2018•河北）如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（　　）‎ A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°‎ ‎12．（2分）（2018•河北）用一根长为a（单位：cm）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1（单位：cm）得到新的正方形，则这根铁丝需增加（　　）‎ A．4cm B．8cm C．（a+4）cm D．（a+8）cm ‎13．（2分）（2018•河北）若2n+2n+2n+2n=2，则n=（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．‎ ‎14．（2分）（2018•河北）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：‎ 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　）‎ A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁 ‎15．（2分）（2018•河北）如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（　　）‎ A．4.5 B．4 C．3 D．2‎ ‎16．（2分）（2018•河北）对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（　　）‎ A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 ‎　‎ 二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分：19小题有2个空，每空3分，把答案写在题中横线上）‎ ‎17．（3分）（2018•河北）计算：=　 　．‎ ‎18．（3分）（2018•河北）若a，b互为相反数，则a2﹣b2=　 　．‎ ‎19．（6分）（2018•河北）如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．‎ 图2中的图案外轮廓周长是　 　；‎ 在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共计66分）‎ ‎20．（8分）（2018•河北）嘉淇准备完成题目：发现系数“”印刷不清楚．‎ ‎（1）他把“”猜成3，请你化简：（3x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）；‎ ‎（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？‎ ‎21．（9分）（2018•河北）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2），其中条形图被墨迹遮盖了一部分．‎ ‎（1）求条形图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；‎ ‎（2）在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想，求选中读书超过5册的学生的概率；‎ ‎（3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了　 　人．‎ ‎22．（9分）（2018•河北）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．‎ 尝试 （1）求前4个台阶上数的和是多少？‎ ‎（2）求第5个台阶上的数x是多少？‎ 应用 求从下到上前31个台阶上数的和．‎ 发现 试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．‎ ‎23．（9分）（2018•河北）如图，∠A=∠B=50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α．‎ ‎（1）求证：△APM≌△BPN；‎ ‎（2）当MN=2BN时，求α的度数；‎ ‎（3）若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．‎ ‎24．（10分）（2018•河北）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．‎ ‎（1）求m的值及l2的解析式；‎ ‎（2）求S△AOC﹣S△BOC的值；‎ ‎（3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．‎ ‎25．（10分）（2018•河北）如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB=，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．‎ ‎（1）若优弧上一段的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；‎ ‎（2）求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；‎ ‎（3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．‎ ‎26．（11分）（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y=（x≥1）交于点A，且AB=1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M，A的水平距离是vt米．‎ ‎（1）求k，并用t表示h；‎ ‎（2）设v=5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；‎ ‎（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．‎ ‎　‎ ‎2018年河北省中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共16小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分）‎ ‎1．（3分）（2018•河北）下列图形具有稳定性的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：三角形具有稳定性．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2018•河北）一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（　　）‎ A．4 B．6 C．7 D．10‎ ‎【解答】解：∵8.1555×1010表示的原数为81555000000，‎ ‎∴原数中“0”的个数为6，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2018•河北）图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（　　）‎ A．l1 B．l2 C．l3 D．l4‎ ‎【解答】解：该图形的对称轴是直线l3，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2018•河北）将9.52变形正确的是（　　）‎ A．9.52=92+0.52 B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）‎ C．9.52=102﹣2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52‎ ‎【解答】解：9.52=（10﹣0.5）2=102﹣2×10×0.5+0.52，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2018•河北）图中三视图对应的几何体是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：观察图形可知选项C符合三视图的要求，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2018•河北）尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；‎ Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．‎ 如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：‎ 则正确的配对是（　　）‎ A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ ‎【解答】解：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；‎ Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．‎ 如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：‎ 则正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2018•河北）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：设的质量为x，的质量为y，的质量为：a，‎ 假设A正确，则，x=1.5y，此时B，C，D选项中都是x=2y，‎ 故A选项错误，符合题意．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2018•河北）已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（　　）‎ A．作∠APB的平分线PC交AB于点C B．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC C．取AB中点C，连接PC D．过点P作PC⊥AB，垂足为C ‎【解答】解：A、利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；‎ C、利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；‎ D、利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意，‎ B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2018•河北）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：==13，==15：s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3．则麦苗又高又整齐的是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【解答】解：∵=＞=，‎ ‎∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高，‎ ‎∵s甲2=s丁2＜s乙2=s丙2，‎ ‎∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，‎ 综上，麦苗又高又整齐的是丁，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2018•河北）图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的题数是（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【解答】解：①﹣1的倒数是﹣1，原题错误，该同学判断正确；‎ ‎②|﹣3|=3，原题计算正确，该同学判断错误；‎ ‎③1、2、3、3的众数为3，原题错误，该同学判断错误；‎ ‎④20=1，原题正确，该同学判断正确；‎ ‎⑤2m2÷（﹣m）=﹣2m，原题正确，该同学判断正确；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．（2分）（2018•河北）如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（　　）‎ A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°‎ ‎【解答】解：如图，‎ AP∥BC，‎ ‎∴∠2=∠1=50°．‎ ‎∠3=∠4﹣∠2=80°﹣50°=30°，‎ 此时的航行方向为北偏东30°，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．（2分）（2018•河北）用一根长为a（单位：cm）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1（单位：cm）得到新的正方形，则这根铁丝需增加（　　）‎ A．4cm B．8cm C．（a+4）cm D．（a+8）cm ‎【解答】解：∵原正方形的周长为acm，‎ ‎∴原正方形的边长为cm，‎ ‎∵将它按图的方式向外等距扩1cm，‎ ‎∴新正方形的边长为（+2）cm，‎ 则新正方形的周长为4（+2）=a+8（cm），‎ 因此需要增加的长度为a+8﹣A=8cm．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎13．（2分）（2018•河北）若2n+2n+2n+2n=2，则n=（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．‎ ‎【解答】解：∵2n+2n+2n+2n=2，‎ ‎∴4•2n=2，‎ ‎∴2•2n=1，‎ ‎∴21+n=1，‎ ‎∴1+n=0，‎ ‎∴n=﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎14．（2分）（2018•河北）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：‎ 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　）‎ A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁 ‎【解答】解：∵÷‎ ‎=•‎ ‎=•‎ ‎=•‎ ‎=‎ ‎=，‎ ‎∴出现错误是在乙和丁，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎15．（2分）（2018•河北）如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（　　）‎ A．4.5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【解答】解：连接AI、BI，‎ ‎∵点I为△ABC的内心，‎ ‎∴AI平分∠CAB，‎ ‎∴∠CAI=∠BAI，‎ 由平移得：AC∥DI，‎ ‎∴∠CAI=∠AID，‎ ‎∴∠BAI=∠AID，‎ ‎∴AD=DI，‎ 同理可得：BE=EI，‎ ‎∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，‎ 即图中阴影部分的周长为4，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎16．（2分）（2018•河北）对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（　　）‎ A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 ‎【解答】解：∵抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点 ‎∴①如图1，抛物线与直线相切，‎ 联立解析式 得x2﹣2x+2﹣c=0‎ ‎△=（﹣2）2﹣4（2﹣c）=0‎ 解得c=1‎ ‎②如图2，抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点 此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5）在抛物线上 ‎∴cmin=2，但取不到，cmax=5，能取到 ‎∴2＜c≤5‎ 又∵c为整数 ‎∴c=3，4，5‎ 综上，c=1，3，4，5‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分：19小题有2个空，每空3分，把答案写在题中横线上）‎ ‎17．（3分）（2018•河北）计算：=　2　．‎ ‎【解答】解：==2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2018•河北）若a，b互为相反数，则a2﹣b2=　0　．‎ ‎【解答】解：∵a，b互为相反数，‎ ‎∴a+b=0，‎ ‎∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=0．‎ 故答案为：0．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）（2018•河北）如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．‎ 图2中的图案外轮廓周长是　14　；‎ 在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是　21　．‎ ‎【解答】解：图2中的图案外轮廓周长是：8﹣2+2+8﹣2=14；‎ 设∠BPC=2x，‎ ‎∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为：=，‎ 以∠APB为内角的正多边形的边数为：，‎ ‎∴图案外轮廓周长是=﹣2+﹣2+﹣2=+﹣6，‎ 根据题意可知：2x的值只能为60°，90°，120°，144°，‎ 当x越小时，周长越大，‎ ‎∴当x=30时，周长最大，此时图案定为会标，‎ 则会标的外轮廓周长是=+﹣6=21，‎ 故答案为：14，21．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共计66分）‎ ‎20．（8分）（2018•河北）嘉淇准备完成题目：发现系数“”印刷不清楚．‎ ‎（1）他把“”猜成3，请你化简：（3x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）；‎ ‎（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？‎ ‎【解答】解：（1）（3x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）‎ ‎=3x2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2‎ ‎=﹣2x2+6；‎ ‎（2）设“”是a，‎ 则原式=（ax2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）‎ ‎=ax2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2‎ ‎=（a﹣5）x2+6，‎ ‎∵标准答案的结果是常数，‎ ‎∴a﹣5=0，‎ 解得：a=5．‎ ‎　‎ ‎21．（9分）（2018•河北）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2），其中条形图被墨迹遮盖了一部分．‎ ‎（1）求条形图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；‎ ‎（2）在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想，求选中读书超过5册的学生的概率；‎ ‎（3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了　3　人．‎ ‎【解答】解：（1）抽查的学生总数为6÷25%=24（人），‎ 读书为5册的学生数为24﹣5﹣6﹣4=9（人），‎ 所以条形图中被遮盖的数为9，册数的中位数为5；‎ ‎（2）选中读书超过5册的学生的概率==；‎ ‎（3）因为4册和5册的人数和为14，中位数没改变，所以总人数不能超过27，即最多补查了3人．‎ 故答案为3．‎ ‎　‎ ‎22．（9分）（2018•河北）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．‎ 尝试 （1）求前4个台阶上数的和是多少？‎ ‎（2）求第5个台阶上的数x是多少？‎ 应用 求从下到上前31个台阶上数的和．‎ 发现 试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．‎ ‎【解答】解：尝试：（1）由题意得前4个台阶上数的和是﹣5﹣2+1+9=3；‎ ‎（2）由题意得﹣2+1+9+x=3，‎ 解得：x=﹣5，‎ 则第5个台阶上的数x是﹣5；‎ 应用：由题意知台阶上的数字是每4个一循环，‎ ‎∵31÷4=7…3，‎ ‎∴7×3+1﹣2﹣5=15，‎ 即从下到上前31个台阶上数的和为15；‎ 发现：数“1”所在的台阶数为4k﹣1．‎ ‎　‎ ‎23．（9分）（2018•河北）如图，∠A=∠B=50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α．‎ ‎（1）求证：△APM≌△BPN；‎ ‎（2）当MN=2BN时，求α的度数；‎ ‎（3）若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．‎ ‎【解答】（1）证明：∵P是AB的中点，‎ ‎∴PA=PB，‎ 在△APM和△BPN中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△APM≌△BPN（ASA）；‎ ‎（2）解：由（1）得：△APM≌△BPN，‎ ‎∴PM=PN，‎ ‎∴MN=2PN，‎ ‎∵MN=2BN，‎ ‎∴BN=PN，‎ ‎∴α=∠B=50°；‎ ‎（3）解：∵△BPN的外心在该三角形的内部，‎ ‎∴△BPN是锐角三角形，‎ ‎∵∠B=50°，‎ ‎∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）（2018•河北）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．‎ ‎（1）求m的值及l2的解析式；‎ ‎（2）求S△AOC﹣S△BOC的值；‎ ‎（3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．‎ ‎【解答】解：（1）把C（m，4）代入一次函数y=﹣x+5，可得 ‎4=﹣m+5，‎ 解得m=2，‎ ‎∴C（2，4），‎ 设l2的解析式为y=ax，则4=2a，‎ 解得a=2，‎ ‎∴l2的解析式为y=2x；‎ ‎（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，‎ y=﹣x+5，令x=0，则y=5；令y=0，则x=10，‎ ‎∴A（10，0），B（0，5），‎ ‎∴AO=10，BO=5，‎ ‎∴S△AOC﹣S△BOC=×10×4﹣×5×2=20﹣5=15；‎ ‎（3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，‎ ‎∴当l3经过点C（2，4）时，k=；‎ 当l2，l3平行时，k=2；‎ 当11，l3平行时，k=﹣；‎ 故k的值为或2或﹣．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）（2018•河北）如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB=，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．‎ ‎（1）若优弧上一段的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；‎ ‎（2）求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；‎ ‎（3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，‎ 由=13π，‎ 解得n=90°，‎ ‎∴∠POQ=90°，‎ ‎∵PQ∥OB，‎ ‎∴∠PQO=∠BOQ，‎ ‎∴tan∠PQO=tan∠QOB==，‎ ‎∴OQ=，‎ ‎∴x=．‎ ‎（2）如图当直线PQ与⊙O相切时时，x的值最小．‎ 在Rt△OPQ中，OQ=OP÷=32.5，‎ 此时x的值为﹣32.5．‎ ‎（3）分三种情况：‎ ‎①如图2中，作OH⊥PQ于H，设OH=4k，QH=3k．‎ 在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，‎ ‎∴262=（4k）2+（12.5﹣3k）2，‎ 整理得：k2﹣3k﹣20.79=0，‎ 解得k=6.3或﹣3.3（舍弃），‎ ‎∴OQ=5k=31.5．‎ 此时x的值为31.5．‎ ‎②如图3中，作OH⊥PQ交PQ的延长线于H．设OH=4k，QH=3k．‎ 在Rt△在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，‎ ‎∴262=（4k）2+（12.5+3k）2，‎ 整理得：k2+3k﹣20.79=0，‎ 解得k=﹣6.3（舍弃）或3.3，‎ ‎∴OQ=5k=16.5，‎ 此时x的值为﹣16.5．‎ ‎③如图4中，作OH⊥PQ于H，设QH=4k，AH=3k．‎ 在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，‎ ‎∴262=（4k）2+（12.5﹣3k）2，‎ 整理得：k2﹣3k﹣20.79=0，‎ 解得k=6.3或﹣3.3（舍弃），‎ ‎∴OQ=5k=31.5不合题意舍弃．‎ 此时x的值为﹣31.5．‎ 综上所述，满足条件的x的值为﹣16.5或31.5或﹣31.5．‎ ‎　‎ ‎26．（11分）（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y=（x≥1）交于点A，且AB=1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M，A的水平距离是vt米．‎ ‎（1）求k，并用t表示h；‎ ‎（2）设v=5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；‎ ‎（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，点A（1，18）带入y=‎ 得：18=‎ ‎∴k=18‎ 设h=at2，把t=1，h=5代入 ‎∴a=5‎ ‎∴h=5t2‎ ‎（2）∵v=5，AB=1‎ ‎∴x=5t+1‎ ‎∵h=5t2，OB=18‎ ‎∴y=﹣5t2+18‎ 由x=5t+1‎ 则t=‎ ‎∴y=﹣‎ 当y=13时，13=﹣‎ 解得x=6或﹣4‎ ‎∵x≥1‎ ‎∴x=6‎ 把x=6代入y=‎ y=3‎ ‎∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3=10（米）‎ ‎（3）把y=1.8代入y=﹣5t2+18‎ 得t2=‎ 解得t=1.8或﹣1.8（负值舍去）‎ ‎∴x=10‎ ‎∴甲坐标为（10，1.8）恰好落在滑道y=上 此时，乙的坐标为（1+1.8v乙，1.8）‎ 由题意：1+1.8v乙﹣（1+5×1.8）＞4.5‎ ‎∴v乙＞7.5‎ ‎　‎