【数学】2018届一轮复习人教A版第五章第1讲数列的概念与简单表示法学案
知识点
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数列的概念和简单表示法
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．
2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．
等差数列
1.理解等差数列的概念．
2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．
4．了解等差数列与一次函数的关系．
等比数列
1.理解等比数列的概念．
2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．
4．了解等比数列与指数函数的关系．
第1讲 数列的概念与简单表示法
, [学生用书P95])
1．数列的定义、分类与通项公式
(1)数列的定义
①数列：按照一定顺序排列的一列数．
②数列的项：数列中的每一个数．
(2)数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
递增数列
an＋1>an
其中，n∈N*
项与项间的
递减数列
an＋1
1)，则a2 017＝__________，|an＋an＋1|＝__________(n>1)．
[解析] 由a1＝1，an＝a－1，得
a2＝a－1＝12－1＝0，a3＝a－1＝02－1＝－1，
a4＝a－1＝(－1)2－1＝0，a5＝a－1＝02－1＝－1，
由此可猜想当n>1时，n为奇数时an＝－1，n为偶数时an＝0，所以a2 017＝－1，|an＋an＋1|＝1.
[答案] －1 1
5．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________．
[解析] 由Sn＝an＋，得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，两式相减，得an＝an－an－1，
所以当n≥2时，an＝－2an－1.
又n＝1时，S1＝a1＝a1＋，a1＝1，
所以an＝(－2)n－1.
[答案] (－2)n－1
由an与Sn的关系求通项公式an(高频考点)[学生用书P96]
an与Sn关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，属容易题．
高考对an与Sn关系的考查主要有以下两个命题角度：
(1)利用an与Sn的关系求通项公式an；
(2)利用an与Sn的关系求Sn.
[典例引领]
(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( )
A．2n－1 B．
C． D．
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为________．
【解析】 (1)由已知Sn＝2an＋1，得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，＝，而S1＝a1＝1，所以Sn＝.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－2n－1＝2n－1，a1不适合此等式．所以an＝
【答案】 (1)B (2)an＝
已知Sn求an的三个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1(n≥2)替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．
[题点通关]
角度一 利用an与Sn的关系求通项公式an
1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝2n－3 B．an＝2n＋3
C．an＝ D．an＝
C [解析] 当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于n＝1时a1的值不适合n≥2的解析式，故通项公式为C.
角度二 利用an与Sn的关系求Sn
2．(2015·高考全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．
[解析] 因为 an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，
所以 Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
因为 Sn≠0，所以 －＝1，即－＝－1.
又＝－1，所以 {}是首项为－1，公差为－1的等差数列．
所以 ＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以 Sn＝－.
[答案] －
由数列的递推关系求通项公式[学生用书P97]
[典例引领]
分别求出满足下列条件的数列的通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；
(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)．
【解】 (1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，
所以数列的通项公式为an＝(n－1)2.
(2)当n≥2，n∈N*时，
an＝a1×××…×
＝1×××…×××＝n，
当n＝1时，也符合上式，
所以该数列的通项公式为an＝n.
[通关练习]
1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，求an.
[解] an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋＋2＝3－.
2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan，求an.
[解] 由于＝2n，
故＝21，＝22，…，＝2n－1，
将这n－1个等式叠乘，
得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2.
数列的性质[学生用书P97]
[典例引领]
已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n
都成立．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设a1>0，λ＝100.当n为何值时，数列的前n项和最大？
【解】 (1)取n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0.
若a1＝0，则Sn＝0，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，
所以an＝0.
若a1≠0，则a1＝，当n≥2时，2an＝＋Sn，2an－1＝＋Sn－1，
两式相减得2an－2an－1＝an，
所以an＝2an－1(n≥2)，
从而数列{an}是等比数列，
所以an＝a1·2n－1＝·2n－1＝.
综上，当a1＝0时，an＝0；
当a1≠0时，an＝.
(2)当a1>0且λ＝100时，
令bn＝lg，
由(1)知bn＝lg＝2－nlg 2.
所以数列{bn}是单调递减的等差数列(公差为－lg 2)．
b1>b2>…>b6＝lg＝lg>lg 1＝0，
当n≥7时，bn≤b7＝lg＝lg0⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an<0⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列．
②作商比较法：
〈1〉当an>0时，>1⇔数列{an}是单调递增数列；<1⇔数列{an}是单调递减数列；＝1⇔数列{an}是常数列．
〈2〉当an<0时，>1⇔数列{an}是单调递减数列；<1⇔数列{an}是单调递增数列；＝1⇔数列{an}是常数列．
(2)求数列最大项或最小项的方法
①可以利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项；
②利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项．
[通关练习]
1．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是( )
A． B．
C．4 D．0
D [解析] an＝－3＋，由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an取最大值，最大值为a2＝a3＝0.故选D.
2．设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C．(1，3) D．(2，3)
D [解析] 因为数列{an}是递增数列，又an＝f(n)(n∈N*)．
所以⇒2an(n∈N*)，则该函数的图象是( )
A [解析] 由an＋1＝f(an)，an＋1>an知f(an)>an，
可以知道x∈(0，1)时f(x)>x，
即f(x)的图象在y＝x图象的上方，
由选项中所给的图象可以看出，A符合条件．
, [学生用书P263(独立成册)])
1．已知n∈N*，给出四个表达式：①an＝
②an＝，③an＝，④an＝.
其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是( )
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
A [解析] 检验知①②③都是所给数列的通项公式．
2．已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，则是这个数列的( )
A．第8项 B．第9项
C．第10项 D．第12项
C [解析] 由题意知＝，n∈N*，解得n＝10，即是这个数列的第10项．
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，则a10＝( )
A．64 B．32
C．16 D．8
B [解析] 因为an＋1an＝2n，所以an＋2an＋1＝2n＋1，两式相除得＝2.又a1a2＝2，a1＝1，所以a2＝2.
法一：···＝24，即a10＝25＝32.
法二：数列{a2n}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以a10＝2×24＝32.
4．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝( )
A． B．
C． D．
A [解析] 法一：令n＝2，3，4，5分别求出a3＝，a5＝，所以a3＋a5＝.
法二：当n≥2时，a1·a2·a3·…·an＝n2.当n≥3时，a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2.
两式相除得an＝，所以a3＝，a5＝，
所以a3＋a5＝.
5．在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9等于( )
A．256 B．510
C．512 D．1 024
C [解析] 在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.所以a6＝a3·a3＝64，a3＝8.所以a9＝a6·a3＝64×8＝512.
6．在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈N*)的个位数，则a2 017＝( )
A．8 B．6
C．4 D．2
D [解析] 由题意得：a3＝4，a4＝8，a5＝2，a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8；所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a2 017＝a335×6＋7＝a7＝2.
7．(2017·杭州模拟)数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝若an＝，则n的值为________．
[解析] 因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以n＝9.
[答案] 9
8．下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是________．
[解析] 从题图中可观察星星的构成规律，n＝1时，有1个，n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…，所以an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
[答案] an＝
9．已知数列{an}满足a1＝1，an＝(n≥2)，其中Sn为{an}的前n项和，则S2 016＝________．
[解析] 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝，
整理得－＝2，
所以数列是公差为2的等差数列，
又＝＝1，
所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，Sn＝，
所以S2 016＝＝.
[答案]
10．(2017·长春模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an
＝________．
[解析] 由题意知，Sn＋nan＝2，当n≥2时，(n＋1)an＝(n－1)an－1，从而···…·＝··…·，有an＝，
当n＝1时上式成立，所以an＝.
[答案]
11．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的通项公式．
[解] (1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n.
因为a1也适合此等式，
所以an＝2n(n∈N*)．
(2)因为bn＝an＋an＋1，
且an＝2n，an＋1＝2n＋1，
所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n.
12．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则该数列的前2 017项的乘积a1·a2·a3·…·a2 017＝________．
[解析] 因为a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，
所以a2＝＝＝－3，
a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝2＝a1.
所以数列{an}的周期T＝5－1＝4.
而a2 017＝a504×4＋1＝a1＝2.
a1a2a3a4＝2×(－3)××＝1，
所以a1·a2·a3·…·a2 016·a2 017＝1504·a2 017＝2.
[答案] 2
13．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
[解] (1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，
解得a2＝3a1＝3.
由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
解得a3＝(a1＋a2)＝6.
(2)由题设知a1＝1.
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
整理得an＝an－1.
于是
a1＝1，
a2＝a1，
a3＝a2，
…
an－1＝an－2，
an＝an－1.
将以上n个等式两端分别相乘，
整理得an＝.
显然，当n＝1时也满足上式．
综上可知，{an}的通项公式an＝.
14．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)若对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．
[解] (1)由n2－5n＋4<0，解得1an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3.
所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．
